精品解析：黑龙江省哈尔滨市第六中学校2024-2025学年高三下学期第四次模拟考试数学试卷

哈尔滨市第六中学校2022级高三第四次模拟考试 数学试题 （时间120分钟，满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解即可. 【详解】集合，由题意， 则. 故答案为：D 2. 设复数满足，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数及其模长的运算公式直接计算即可. 【详解】设，则， 即， 所以， 即，解得， 即， 故选：B. 3. 对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（ ） A. 图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B. 图1数据正相关，图2数据负相关 C. 图1相关系数小于图2相关系数 D. 图1相关系数和图2相关系数之和小于0 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图及相关性判断AB，由相关系数性质判断CD. 【详解】对A，因为散点图都呈直线型，所以图1、图2两组数据都具有线性相关关系，A正确； 对B，图1散点从左至右呈上升趋势，所以数据正相关，图2散点从左至右呈下降趋势，所以数据负相关，故B正确； 对C，图1正相关，图2负相关，所以C不正确； 对D，因为图2相关程度更强，所以D正确. 故选：C. 4. 已知，则“”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】若，则， 所以， 则，即， 当为奇数时，，为奇函数， 当为偶数时，，为奇函数， 故充分性满足； 若是奇函数，则，即， 即，故必要性也满足； 所以“”是“是奇函数”的充要条件. 故选：C 5. 函数的零点的个数为（ ） A. B. C. D. 无法确定，与的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用指数函数的图象与性质，即可求解. 【详解】因为时，由指数函数的图象与性质知， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 又当时，，所以函数只有一个零点， 故选：A. 6. 已知圆柱的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为，若圆柱和圆台的高和体积都相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆台和圆柱的体积公式，得出，做差可判断，再结合基本不等式，可得.即可得到答案. 【详解】不妨设圆柱和圆台的高为，由体积公式可知，即； . 圆台中，故，即，，选项A错误，选项B正确. 由基本不等式，结合，得，平方后得到，选项CD错误. 故选：B 7. 设.为抛物线的焦点，的准线与轴交于一点，过的直线与交于、两点.若的面积是的面积的3倍，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题给条件设出直线方程和，又因为的面积是的面积的3倍，可得.联立直线与抛物线方程根据韦达定理可得的值，再根据抛物线定义即可求出的值，即可求得. 【详解】 由题意不妨设分别在第一、四象限，，其中. 由题意，直线斜率存在且不为，所以设直线的方程为，易知. 联立直线与抛物线方程，得，则. 因为，则，即. 所以， 得则，且. ，得，则. 故选：A. 8. 设等差数列的前项和为，已知，，则下列选项正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据立方和公式与立方差公式化简，结合等差数列求和公式可得解. 【详解】由已知，， 则， 即， 即， 又恒成立， 所以，即，； 又由，， 可知， 即， 又恒成立， 所以，即， 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 已知向量与满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 向量与的夹角为 B. C. 向量与向量垂直 D. 若向量与向量共线，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条件得，对于A，利用向量的夹角公式，即可求解；对于B，利用模长的计算公式，即可求解；对于C，利用向量的垂直表示，计算，即可求解；对于D，利用向量共线定理得，从而有，即可求解. 【详解】因为，，，则，得到， 对于A，，又，所以，故A错误， 对于B，因为，则，所以B正确， 对于C，因为，所以向量与向量不垂直，故C错误， 对于D，若向量与向量共线，则存在实数，使， 所以，解得，所以D正确， 故选：BD. 10. 已知为坐标原点，双曲线的左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与轴正半轴交于点，过且垂直于轴的直线与的某条渐近线交于点，且与轴垂直，双曲线的离心率为，渐近线的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题给条件可得，再根据相似三角形的比例关系即可判断A选项；由A知，，，，离心率，即可判断B、C两项；由题知点横坐标为，纵坐标与相同，所以可得，又点在渐近线上，得，则可得，再代入即可判断D. 【详解】 由题知，且，所以. 又因为为直径，在圆上，所以. 结合图像易知与相似，则有，即， 则，故A正确； 由A知，，， ，故B错误； ，故C正确； 由A知，，则，且点在渐近线上， 不妨设渐近线方程为，则，则，即. 则，故D正确. 故选：ACD. 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，在处的切线方程为 B. 若函数在上恰有一个极值，则 C. 对任意，恒成立 D. 当时，在上恰有2个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D选项. 【详解】解：对于A，当时，，， 所以，故切点为（0，0）， 则，所以，故切线斜率为1， 所以在处的切线方程为：，即，故A正确； 对于B，，，则， 若函数在上恰有一个极值，即在上恰有一个变号的解， 令，即在上恰有一个变号的解， 则在上恰有一个变号的解， 即与的图象在上恰有一个变号交点， ，， 令，解得：，， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以极大值为，极小值为， 而， 作出，的大致图象，如下： 由图可知，当时，与的图象在上恰有一个变号交点， 即函数在上恰有一个极值，则，故B正确； 对于C，要使得恒成立， 即在上，恒成立， 即在上，恒成立，即， 设，，则，， 令，解得：，， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以极大值为，， 所以在上的最大值为， 所以时，在上，恒成立， 即当时，才恒成立， 所以对任意，不恒成立，故C不正确； 对于D，当时，，， 令，则，即， 作出函数和的图象，可知在内，两个图象恰有两个交点， 则在上恰有2个零点，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心在直线上设出圆心坐标，再根据圆过坐标原点及圆心与圆上任一点距离即为半径列等式即可，再进行配方即可得到半径最小时的圆心坐标，最后写圆的方程即可. 【详解】由题意圆心在直线上运动，设圆心坐标为. 又圆经过坐标原点，即，整理得. 当半径最小时，，则圆心为. 故圆的方程为. 故答案为：. 13. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合余弦定理可求，再由关系结合内角和公式求，由此可求，再求结论. 【详解】因为， 所以，又， 所以， 因为，所以， 即， 所以， 所以， 所以，又， 所以或， 所以或， 若，则，此时， 若，则，此时， 所以， 故答案为：. 14. 若为1，2，3，4的任意排列，设，，则满足的排列有_____个；的概率为_____.（已知表示中最小的数，表示中最大的数） 【答案】 ①. 12 ②. 【解析】 【分析】答题空1：先选后排，先任选两个数作为，且满足，再将剩下的2个数随机排列即可求解；答题空2：根据题意分析讨论的所有取值，即可求出，再根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】答题空1：若，则从1，2，3，4中任选两个数作为，且满足，共有种选法， 再将剩下的2个数随机排列，共有种排法， 所以满足的排列有个； 答题空2：因为随机变量满足，， 所以当或时，，， 当或时，，， 当或时，，， 其中当或时，满足，共有种， 所以的概率， 故答案为：12； 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答时要求写出必要的文字说明或证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是正项等比数列，满足，，且， （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2） 因为，所以，则， ， ， 所以 所以. 【解析】 【分析】（1）应用等比数列的性质求基本量，进而写出通项公式； （2）由已知可得，再应用错位相减法求，即可证结论. 【小问1详解】 ， ，又，， 则，，故. 【小问2详解】 略 16. 近年来，直播带货成为电商销售的新模式，某质检部门为了评估某知名主播直播间所售商品的质量，随机抽取了该直播间近3个月销售的600件产品，统计了它们的用户评分（1~5分）和退货率，见下表： 评分 1分 2分 3分 4分 5分 评分分布 5% 10% 20% 45% 20% 退货率 80% 50% 20% 5% 2% （1）从600件商品中随机抽取1件，求该商品评分不低于4分且未被退货的概率； （2）假设该直播间每售出1件商品，若未退货则盈利50元，若退货则亏损30元（含运费和售后成本）.设单件商品的盈利为随机变量，求的分布列和期望，并据此判断该直播间的销售模式是否可持续； （3）质检部门规定，若直播间的商品评分的中位数低于4分，则需要整改.计算该直播间评分的中位数，根据结果判断是否需要整改，若将评分标准改为“众数低于4分”，结论是否改变?解释这种修改对商家可能产生的影响. 【答案】（1） （2）分布列： X 50 -30 P 0.8435 0.1565 ，可持续 （3）中位数为4，不需要整改；结论不变，这种修改会使商家更关注获得最多评分的质量水平 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算即可； （2）判断X的取值为50，－30，求出对应的概率，用期望公式求出期望，依据期望的正负判断是否可持续； （3）中位数为第300个和第301个评分的均值，计算得中位数为4，不需要整改，并通过众数的概念解释影响即可. 【小问1详解】 设“评分不低于4分且未被退货”，“评分为分”，，“没被退货”， 则； 【小问2详解】 X的取值为50，－30， ， ， 分布列为： X 50 -30 P 0.8435 0.1565 ， ，可持续； 【小问3详解】 评分为1分、2分、3分、4分的累计频数分别为30，90，210，480， 第300个和第301个评分均为4分，故中位数为， 不低于4分，不需要整改. 众数也为4，所以改成众数后结论不变，也不需要整改. 众数并未告诉它比别的数值多的程度，这种修改会使商家更关注获得最多评分的质量水平. 17. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性； （2）分类参数，得，构造函数，求导，判断函数单调性与最值情况，即可得参数范围. 【小问1详解】 由已知，，则，， 当时，由恒成立，即恒成立，即在上单调递增； 当时，令，解得，，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 综上所述， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由已知，即，又， 所以恒成立，设，， 则， 设，，则恒成立， 即函数在上单调递增，且， 当时，，即，在上单调递减； 当时，，即，在上单调递增； 所以， 所以，即. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 18. 正方形的边长为，分别为边的中点，是线段的中点，如图，把正方形沿折起，设. （1）求证：无论取何值，与不可能垂直； （2）当时，求四棱锥的体积； （3）设二面角的大小为，当时，求的值. 【答案】（1）证明：假设，又因为正方形的边长为， 且是线段的中点，所以，所以，又因为， 有，所以， 因为，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以，这与矛盾，所以假设不成立， 所以无论取何值，与不可能垂直. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先假设，利用几何关系得，从而有，利用线面垂直的判定定理得平面，再利用线面垂直的性质得，从而得，与矛盾，即可求解； （2）过过D作于点，利用线面垂直的判定可得平面，利用线面垂直的性质可得，从而有平面，再利用棱锥的体积公式，即可求解； （3）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，结合条件，利用面面角的向量法建立方程，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过D作于点， 因为，所以平面， 又平面，所以， 又面， 平面，则， 所以. 【小问3详解】 由题可得，分别以为轴，过点垂直平面向上为轴，建立空间直角坐标系， 所以， ， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，即，取，可得， 设平面的一个法向量为， 所以，即，取，可得 又，则，又，所以 所以， 整理得到，又，解得. 19. 椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交于，两点（点位于轴上方），为坐标原点. （1）若，求的值； （2）已知二次曲线在点处的切线方程为，现过，两点作的两条切线相交于点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线直接可得解. （2）联立直线与椭圆，根据弦长公式可得，再根据切线方程可得点，进而可得三角形面积，设，构造函数，根据导数判断最值. 【小问1详解】 由椭圆的对称性可知， 则， 即， 又，，三点共线， 则， 解得； 【小问2详解】 如图所示，易知直线斜率不为， 且点， 设直线方程为，，， 联立直线与椭圆方程，， 整理可得， 则， 且，， 则， 由已知可得直线，， 设点，联立直线与得，， 则点到直线的距离， 则 设， 则， 设，， 则恒成立， 所以在上单调递增， 所以的最小值为， 即面积的最小值为. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六中学校2022级高三第四次模拟考试 数学试题 （时间120分钟，满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，那么（ ） A. B. C. D. 3. 对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（ ） A. 图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B. 图1数据正相关，图2数据负相关 C. 图1相关系数小于图2相关系数 D. 图1相关系数和图2相关系数之和小于0 4. 已知，则“”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的零点的个数为（ ） A. B. C. D. 无法确定，与的取值有关 6. 已知圆柱的底面半径为，圆台的上、下底面半径分别为，若圆柱和圆台的高和体积都相等，则（ ） A. B. C. D. 7. 设.为抛物线的焦点，的准线与轴交于一点，过的直线与交于、两点.若的面积是的面积的3倍，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 设等差数列的前项和为，已知，，则下列选项正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 已知向量与满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 向量与的夹角为 B. C. 向量与向量垂直 D. 若向量与向量共线，则 10. 已知为坐标原点，双曲线的左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与轴正半轴交于点，过且垂直于轴的直线与的某条渐近线交于点，且与轴垂直，双曲线的离心率为，渐近线的斜率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，在处的切线方程为 B. 若函数在上恰有一个极值，则 C. 对任意，恒成立 D. 当时，在上恰有2个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为_____. 13. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的值为_____. 14. 若为1，2，3，4的任意排列，设，，则满足的排列有_____个；的概率为_____.（已知表示中最小的数，表示中最大的数） 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答时要求写出必要的文字说明或证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是正项等比数列，满足，，且， （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：. 16. 近年来，直播带货成为电商销售的新模式，某质检部门为了评估某知名主播直播间所售商品的质量，随机抽取了该直播间近3个月销售的600件产品，统计了它们的用户评分（1~5分）和退货率，见下表： 评分 1分 2分 3分 4分 5分 评分分布 5% 10% 20% 45% 20% 退货率 80% 50% 20% 5% 2% （1）从600件商品中随机抽取1件，求该商品评分不低于4分且未被退货的概率； （2）假设该直播间每售出1件商品，若未退货则盈利50元，若退货则亏损30元（含运费和售后成本）.设单件商品的盈利为随机变量，求的分布列和期望，并据此判断该直播间的销售模式是否可持续； （3）质检部门规定，若直播间的商品评分的中位数低于4分，则需要整改.计算该直播间评分的中位数，根据结果判断是否需要整改，若将评分标准改为“众数低于4分”，结论是否改变?解释这种修改对商家可能产生的影响. 17. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 正方形的边长为，分别为边的中点，是线段的中点，如图，把正方形沿折起，设. （1）求证：无论取何值，与不可能垂直； （2）当时，求四棱锥的体积； （3）设二面角的大小为，当时，求的值. 19. 椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交于，两点（点位于轴上方），为坐标原点. （1）若，求的值； （2）已知二次曲线在点处的切线方程为，现过，两点作的两条切线相交于点，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $