精品解析：浙江省湖州市县域联盟2024-2025学年高三下学期5月月考数学试题

2024学年第二学期浙江省县域教研联盟高三年级模拟考试 数学 命题：东阳市教育局教研室 审题：临海市教研中心 长兴县教育研究中心 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 若单位向量，满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环，且，的弧长分别为，．若，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和是，若，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 7. 在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 对于任意的，不等式恒成立，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线C 的焦点F到准线的距离是4，经过F的直线与C交于两点，分别记C在点A，B处的切线为，，则下列说法正确的是（ ） A. C准线方程为 B. C. D. 若 ，则 11. 设函数满足，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于中心对称 C. 是函数的图象的一条对称轴 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若，则________．（用数字作答） 13. 已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是________． 14. 已知曲线方程，，，点为曲线右支上一点，且与不重合，直线，分别与直线交于，两点，则以，为直径的圆面积的最小值是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 中国春节档电影《哪吒之魔童闹海》票房突破百亿，是中国第一部冲入全球影史票房前5的作品．同学小华在某影院用简单随机抽样的方法调查了200位观影人观看该电影的次数，并对他们的观影次数作出统计，具体如下： 年龄（岁） 少年组（18及以下） 青年组（19-35） 中年组（36-60） 老年组（61及以上） 调查人数 70 80 30 20 少年组、青年组、中年组、老年组分别有，，，的人看了2次该电影，其余的人都只看了1次． （1）求这200位观众观看该电影的平均次数； （2）小华记少年组与青年组为“组”，记中年组和老年组为“组”．请完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为观影次数与年龄层次有关联？ 观影次数 年龄层次 合计 组 组 1次 2次 合计 附表： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 参考公式：，． 16. 如图，在三棱锥中，，，平面平面，． （1）证明：； （2）若为的垂心，求与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数在处有极大值，且函数在定义域内单调递增． （1）求的值； （2）求的取值范围． 18. 已知椭圆的离心率是，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）记圆的方程是． ①若与圆相切的直线经过的右焦点，且与交于，两点，求； ②斜率为的直线经过坐标原点，与交于，两点，若是的上顶点，直线交圆于点，直线交圆于点，记直线的斜率为，求值：． 19. 1679年，德国数理哲学大师莱布尼茨发明了二进制，即在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示．现代的计算机和依赖计算机的设备里都使用二进制．设正整数，，其中，，那么，十进制数可以用二进制表示为，记作，此时，令，数列满足． （1）二进制思想在中国古代也有所体现，如《周易》中的阴阳思想．若记阳爻“-”为1，阴爻“--”为0，如震卦“”对应的二进制数为100．请写出巽卦“”和兑卦“”对应的十进制数． （2）证明：，． （3）是否存在正偶数，使得对任意，满足．若存在，请写出符合要求的；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期浙江省县域教研联盟高三年级模拟考试 数学 命题：东阳市教育局教研室 审题：临海市教研中心 长兴县教育研究中心 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷； 4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解指数不等式有，即可得集合的交集. 【详解】由且，所以. 故选：A 2. 在复平面内，若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数除法求复数，再由共轭复数的定义确定. 【详解】由题设，则. 故选：D 3. 若单位向量，满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量数量积的运算，将两边平方，然后运算即可得解 【详解】因为，是单位向量，则，， 又，则， 解得. 故选：B. 4. 若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题设易知直线过圆心得，再应用基本不等式求目标式的最小值. 【详解】由题设，直线过圆心，则， 由，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 5. 已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环，且，的弧长分别为，．若，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设确定圆台上下底面半径及高，再应用圆台的体积公式求体积. 【详解】由题设，圆台上下底面半径分别为，高， 所以圆台的体积. 故选：C 6. 已知数列的前项和是，若，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设可得，令得，再令即可得目标项. 【详解】当，则，故， 当，则， 当，则. 故选：D 7. 在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】令，且，根据已知得、，再由列方程求边长即可. 【详解】令，则， 由题设，有，， 所以，则， 所以，可得（负值舍）. 故选：B 8. 对于任意的，不等式恒成立，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，易知当时，，当时，，令，根据零点存在性定理可得，由此解出的值即可. 【详解】令，易知在上单调递增，且， 所以当时，，当时，， 令，则在上连续， 因为不等式恒成立， 所以当时，，当时，， 由零点存在性定理可知，即， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，则， 所以，解得， 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】应用对立事件概率求法、全概率及条件概率公式判断A、B、D；由概率的性质判断C. 【详解】由题设，且， ， ， 所以A、C对，B、D错. 故选：AC 10. 已知抛物线C 的焦点F到准线的距离是4，经过F的直线与C交于两点，分别记C在点A，B处的切线为，，则下列说法正确的是（ ） A. C准线方程为 B. C. D. 若 ，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件得出抛物线方程为，对选项进行逐一判断：准线方程为，判断选项A；设直线的方程为：，联立抛物线，根据韦达定理得出，联立抛物线方程得出；选项C：联立切线方程得出的坐标为，结合得出，利用两点间距离公式表示当取最小值；利用抛物线焦点弦长公式计算. 【详解】抛物线中，焦点到准线的距离为，故抛物线方程为， 焦点，准线. 选项A：准线方程为，故A错； 选项B：设直线的方程为：，联立抛物线得： 则，故B对. 选项C：抛物线方程为，设过的切线斜率为，则切线方程为： ，联立抛物线方程得：，即 ， 因为为切点，方程有唯一解， 所以，结合，化简得. 所以 同理，. 联立抛物线在A、B处切线方程：， 故点的坐标为，由B知，，故点. 所以， 最小值在时取得，此时，故C对. 选项D：根据抛物线焦点弦长公式：，故D对. 故选：BCD. 11. 设函数满足，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于中心对称 C. 是函数的图象的一条对称轴 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】围绕函数，依据给定的等式关系，通过对不同变量赋值，来判断函数的奇偶性、周期性、对称中心以及计算函数值的和等性质. 【详解】对于A，令，代入等式可得.得到，开方后解得，所以A选项正确. 对于B，令，则原等式变为. 因为前面已求得，所以，即，移项可得. 根据偶函数的定义，可知函数是偶函数，所以B选项错误. 对于C，令，原等式变为. 由于，则，即. 令，则，那么. 根据周期函数的定义，所以是函数的一个周期. 当，时，可得， 可得，①； 当时，可得 ②. 由①+②可得，由于， 所以， 代入②式得到，由于，进而解得. 令，原等式变为. 因为，所以，移项可得. 又因为，所以. 根据函数对称中心的性质可知是函数图象的一个对称中心. 因为是函数的一个周期，，所以也是函数图象的一个对称中心，所以C选项错误. 对于D，根据前面的分析，有，，，，且是函数的一个周期，所以. 因为，所以，所以D选项正确. 故选：AD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若，则________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题设易知与的所有系数和相等，代入即可得. 【详解】由题设，与的所有系数和相等， 令，则. 故答案为： 13. 已知直三棱柱中，，，侧棱，若点，分别是线段，的中点，则点到直线的距离是________． 【答案】## 【解析】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点的坐标，应用向量法求点线距离. 【详解】由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，则， 所以， 则点到直线的距离. 故答案为： 14. 已知曲线方程，，，点为曲线右支上一点，且与不重合，直线，分别与直线交于，两点，则以，为直径的圆面积的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】设且，写出直线，的方程，求出，纵坐标，进而得到，进而得到关于的表达式，即可求面积最小值. 【详解】设且，则，， 令，则，， 所以， 以，为直径的圆面积， 令，则， 所以，则， 当，即，时，，则， 所以以，为直径的圆面积的最小值是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 中国春节档电影《哪吒之魔童闹海》票房突破百亿，是中国第一部冲入全球影史票房前5的作品．同学小华在某影院用简单随机抽样的方法调查了200位观影人观看该电影的次数，并对他们的观影次数作出统计，具体如下： 年龄（岁） 少年组（18及以下） 青年组（19-35） 中年组（36-60） 老年组（61及以上） 调查人数 70 80 30 20 少年组、青年组、中年组、老年组分别有，，，的人看了2次该电影，其余的人都只看了1次． （1）求这200位观众观看该电影的平均次数； （2）小华记少年组与青年组为“组”，记中年组和老年组为“组”．请完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为观影次数与年龄层次有关联？ 观影次数 年龄层次 合计 组 组 1次 2次 合计 附表： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 参考公式：，． 【答案】（1） （2）列联表见解析；认为观影次数与年龄层次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【解析】 【分析】（1）先分别算出观看不同次数电影的人数，再根据公式计算平均次数. （2）零假设是认为两个变量无关联，通过计算卡方统计量，并与给定的小概率值对应的临界值比较，来判断是否拒绝零假设. 【小问1详解】 70人的群体中观看2次电影的人数为人； 80人的群体中观看2次电影的人数为人； 30人的群体中观看2次电影的人数为人； 20人的群体中观看2次电影的人数为人. 将这些人数相加，可得观看2次该电影总人数为人. 已知观看1次电影的总人数为200-72=128人，观看2次电影的总人数为72人，总人数为200人. 这200位观众观看该电影的平均次数为. 【小问2详解】 零假设：观影次数与年龄层次无关联. 从题目中可知，A组观看1次电影的有90人，B组观看1次电影的有38人，所以观看1次电影的合计128人； A组观看2次电影的有60人，B组观看2次电影的有12人，所以观看2次电影的合计72人； A组合计150人，B组合计50人，总人数200人. 整理数据得到列联表： 观影次数 年龄层次 合计 A组 B组 1次 90 38 128 2次 60 12 72 合计 150 50 200 计算卡方统计量：代入可得. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为观影次数与年龄层次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 16. 如图，在三棱锥中，，，平面平面，． （1）证明：； （2）若为的垂心，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取中点，连接，由， 所以，都在平面内，则平面， 由平面，故； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，易得，再由线面垂直的判定和性质即可证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注相关点的坐标，求出平面的法向量及，再应用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），易知两两垂直，如下图，构建空间直角坐标系， 而，则，且， 设平面的一个法向量为，取的中点，又， 所以，为的垂心，则在上， 设，则，故，而， 所以，可得，故， 所以与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数在处有极大值，且函数在定义域内单调递增． （1）求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对求导，根据在处有极大值，得到，解出的可能值.再分别代入的值，分析的单调性，判断是极大值点还是极小值点，从而确定的值. （2）由的值得到表达式，对求导.因为单调递增，所以恒成立.化简不等式，求出的最小值，进而得到关于的不等式，结合的取值范围求出的取值范围. 【小问1详解】 首先对求导，可得： . 因为在处有极大值，所以，即，解得或. 当时，. 令，可得或. 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以是极小值点，不符合题意，舍去. 当时，. 令，可得或. 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以是极大值点，符合题意. 综上，. 【小问2详解】 由（1）可知，则，其定义域为. 对求导可得： . 因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立. 化简不等式可得：，，即. 令，对其进行配方可得，其对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，. 则在上恒成立，即在上恒成立. 因为，所以，则. 当且仅当时取得最值，与前面最值条件一样. 那么在上恒成立，即. 因为，所以，则，解得. 18. 已知椭圆的离心率是，且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）记圆的方程是． ①若与圆相切的直线经过的右焦点，且与交于，两点，求； ②斜率为的直线经过坐标原点，与交于，两点，若是的上顶点，直线交圆于点，直线交圆于点，记直线的斜率为，求值：． 【答案】（1）； （2）①2；②. 【解析】 【分析】（1）根据离心率及点在椭圆上求椭圆参数值，即可得方程； （2）①令，与圆的相切关系求得，联立椭圆并应用韦达定理及弦长公式求；②设，则，则，，联立圆的方程求得，，应用两点式求斜率，即可得. 【小问1详解】 由题设，可得，即椭圆方程为； 【小问2详解】 ①由题设，令，与圆相切，知，可得， 所以，联立整理得， 所以，则，， 所以； ②设，则，而，则，， 与联立得，整理得， 所以或，显然，同理可得， 所以，而，则. 19. 1679年，德国数理哲学大师莱布尼茨发明了二进制，即在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示．现代的计算机和依赖计算机的设备里都使用二进制．设正整数，，其中，，那么，十进制数可以用二进制表示为，记作，此时，令，数列满足． （1）二进制思想在中国古代也有所体现，如《周易》中的阴阳思想．若记阳爻“-”为1，阴爻“--”为0，如震卦“”对应的二进制数为100．请写出巽卦“”和兑卦“”对应的十进制数． （2）证明：，． （3）是否存在正偶数，使得对任意，满足．若存在，请写出符合要求的；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）巽卦“”对应的十进制为，兑卦“”对应的十进制为 （2）证明见解析 （3）不存在正偶数，使得对任意，满足．理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用二进制与十进制的换算关系直接计算即可； （2）利用已知可得，利用，可得，可得结论； （3）不存在正偶数，使得对任意，满足，利用反证法证明即可. 【小问1详解】 巽卦“”的二进制为，故对应的十进制为， 兑卦“” 的二进制为，故对应的十进制为； 【小问2详解】 由，可得，故， 所以，， 因为， 所以， 所以，. 【小问3详解】 不存在正偶数，使得对任意，满足． 反证法，假设存在正偶数，使得对任意，满足． 当时，①，当时，②， 当时，③， 由（2）可知，，因此④， 所以由⑤可得，对于正偶数，，， 而，，所以， 由①②③可知：， 令正偶数，， 则 则根据④可得：， 若为偶数，由⑤得，矛盾， 若为奇数，则为偶数，由⑤可知：， 综上所述，不存在正偶数，使得对任意，满足． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $