广西南宁市第三中学五象校区2024-2025学年高一下学期数学专项练习（21）

南宁三中五象校区2024级高一下学期数学专项练习（21) 使用时间：2025.05.13出题人：沈飞龙审题人：李富奇 一、单进题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个近项中，只有一项是符合 题目要求) 1,已知m,m是不重合的直线，α，B是不重合的平面，有下列命题，其中正确的命题的个数是() ①若mca,na,则mlm②若m/la,m/1B,则alB③若a∩B=n,mm,则m/la,mllB A.0 B.1 C.2 D.3 2.在长方体ABCD-ARGD中，4C与平面ADD4所成的角为a,AC与AB所成的角为B,则(、 A.a=B B.a+B=π c.a+月-月 D.a-= 4 3.在正四棱锥P-ABCD中，PA=2,AB=√互，E是PC中点，则异面直线PA与BE所成的角为() A月 B月 c D君 4.半径为2的球O内切于正三棱柱ABC-4BG,则正三梭柱ABC-ABC的体积为() A.485 B.965 C.32万 D.165 5.已知四面体PMBC中，∠MBC=于，PA=2,AB=山，BC=2,则当四面体PMBC的体积最大时， 四面体PABC的外接球体积为() A.22x 3 B C.82x 3 D.32x 6.己知正三棱锥严-ABC中，侧面与底面所成角的正切值为√互，AB=6,这个三棱锥的内切球和外 接球的半径之比为() A.25- B.5-】 3 3 c 7.已知正四棱台BCD-A8GA的上，下底面边长分别为√5和2N5.若该棱台的体积为4 ,则 该棱台的外接球表面积为() A.7元 C.16元 D.19元 试卷第1页，共4页 C3扫描全能王 3亿人题在用的扫猫真P中 8.在四棱锥S-ABCD中，侧面SAD⊥底面ABCD,侧面S4D是正三角形，底面ABCD是边长为2√6的 正方形，则该四棱锥外接球表面积为（) A.5π B.10m C.28m D.56m 二、多远愿（本题共3小愿，每小愿6分，共18分.在每小厘给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.如图所示的圆台O,O,在轴裁面ABCD中，AB=BC=D=CD,CD=4,则( A.该圆台的高为1 B.该圆台轴截面面积为3 C.该圆台的体积为N3m 3 D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 10.如图，在正方体ABCD-ARGD中，M,N分别是AD,BD的中点，则( A,四点A,M,N,C共面 B.MN∥CD C.AD∥平面BCD D.若MN=1,则正方体ABCD-ARGD外接球的表面积为12r 1H.在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=120°，将菱形ABCD沿对角线BD折成四面体∥-BCD,使 得C=2,则(】 A.AC⊥BD B.直线AC与平面BCD所成角为30° C.四面体！-BCD的体积为4 D.二面角A-BC-D的正弦值为25 三、填空题（体题共3小愿，每小题5分，共15分.） 12.已知空间向量a,元，c两两夹角均为60，其模均为1，则6+6+- 13.正三棱锥P-ABC侧棱长为√万，底面棱长为25，三棱锥P-ABC内切球表面积是 14,已知三棱锥P-ABC的棱长均为4，先在三棱锥P-ABC内放入一个内切球O,然后再放入一个球 O2,使得球O2与球Q及三棱锥P-A8C的三个侧面都相切，则球O的表面积为」 试卷第2页，共4页 CS扫描全能王 3亿人整在用的扫随真P时 四、解答温（体题共5小愿，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步绿） 15.15.记△ABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,若m=(b-a,c),元=(a+c,b+a),m/. (1)求B: (2)若b=2W5,求AC边上的高的最大值 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，且PA=AB=2,E,F分别 为PD,PB的中点， (I)证明？直线EF⊥平面PAC; (2)求直线CF与平面ABCD所成角的正弦值： (3)点A到平面EFC的距离. B 试卷第3页，共4页 CS扫描全能王 3亿人整在用的行障Ap中 17.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,BC=1且bcosC.+3sinB=1+2c, (1)求∠B的大小 (2)如图所示，D为△ABC外一点，∠DCB=∠B,CDm√5，AC=AD,求sin∠BCA值 18.如图，四棱柱ABCD-A8CD的棱长均为2，且D=2,c0s∠AAB=cs∠AD=,E是4C中点. (I)求证：平面ABD⊥平面ABCD: (2)求二面角A-BC-E的余弦值. B 试卷第4页，共4页 CS扫描全能王 3亿人题在用的扫猫真P印南宁三中五象校区2024级高一下学期数学专项练习(21)参考答案 邀号 2 3 6 7 8 9 10 答案 A A B D BCD BD 题号 11 答案 ACD 1.A【详解】对于①，nWa,过n作平面B与a相交.n与其交线平行，mCa,m不-一定与其交线平 行，所以①错误， 对于②，设a∩B=l,m1,也可有m/la,且m/1B,此时a与B不平行，所以②错误， 对于③，当a∩B=n,mln时，可能有mCa或mCB,所以③错误， 所以正确的命题的个数是0故选：A 2,C【详解】连接AD,由长方体的性质可得CD⊥平面ADDA, 所以AC与平面ADD,A所成的角为a=∠CAD. 又ADc平面ADDA,所以CD⊥AD,即∠CDA= B 因为CD/1AB,故AC与AB所成的角与AC与CD所成角相等，所以A,C与AB所成的角为B=∠ACD, 又∠4CD+∠C4D+∠CDA=x,所以a+B=x-∠CDA=故选：C 3,C【详解】连接AC,BD相交于O,连接OE,则O是AC,BD的中点， 故OE∥PA,故∠BEO即为异面直线PA与BE所成的角或其补角， 由于PA=2.B=5,故BD=2.0E=A-l,0B=8D=1 由于cos∠PCB= BC PC 4 放aG=GR+Bc-2EBc-PC8-+(2xK票 放BE2=OE+B0:,OE1OB,结合OE=OB,放∠BE0=,即异面直线PA与8E所成的角为号 4,A【详解】因为半径为2的球O内切于正三棱柱ABC-ABC,所以正三棱柱ABC-ABC的高h=4, 且该组合体过球心O且平行于平面ABC的截面为球O的大圆O内切于与A.ABC全等的正三角形ABC, 如图 答案第1页，共7页 CS扫描全能王 3亿人题在用的日福AP分 由正三角形及其内切圆的性质，得A8到=AB叫=45， 所以a1c的直职为9可矿-1B5. 所以正三棱柱ABC-AB,C的体积为12√3×4=48、V5.故选：A B 5.C【详解】设P到平面A8C的距离为d,则c=} -d 32 6 又0<d≤PA=2,所以当PA⊥平面ABC时四面体PABC的体积最大， 在△ABC中，由余弦定理得AC?=AB2+BC2-2AB·BC.cos∠ABC=3, 则AC2+AB2=4=BC2,所以AC⊥AB, 当四面体PABC的体积最大时，可以将四面体PABC补成图所示的长方体， 枝此时四面休PABC外接球的半径R=PA+B+AC。互， 四面体P18C外接球的体积v=R=2放透：C 6.B【详解】因为三棱锥V-ABC为正三枝锥，底面边长为6，日侧面与底面所成角的正切值为√互： 所以可得正三校推的高方=√6，侧而的高3：设正三校谁底而中心为D,其外接球的半径为R,内切球 半径为，则有OD+DA=R,也即(、6-R+12-R,解得：R36 正三棱推的体积y=青3ch=3xx6x3xxr+c7 3 3 也即x95x6=9r+35r,解得：，95-5-6】 所以二35-651，故选：B 9+3V52 R 36 3 【点睛】内切球的球心到各面的距离是相等的，球心和各面可以组成四个等高的三枝锥，那么内切球的 半径乘以正三棱锥的表面积再乘以三分之一就停于体积，通常用等体积法求解内切球的半径 7.C【详解】在正四棱台ABCD-A8GD中，AB=2W2,48=反，体积为145 高为h 故4g5-8+i网到AA5.则0-2可+可-4.4a-《阿阿2 3 连接BD、AC相交于点E,B,D、AC,相交于点F, 设外接球的球心为O,若O在台体外，设O到底面ABCD的距离为d, 则半径为R=√EB+OE=VBF2+(h+OE)', 即4+d=+(5+d,解得d=0,所以球心0与点E重合： 答案第2页，共7页 C③扫描全能王 3亿人题在用的日眉AP日 若O在台体内，O到底面ABCD的距离为d, 则半径为R=VEB2+OE2=√B,F2+(h-OE}2, 即V4+=h+（5-d,解得d=0,所以球心0与点E重合， 综上所述，h=EF=OF=√3，故R=2,所以4元R=16π.故选：C 8.D【详解】如图所示，连接AC、BD交于一点O,取AD中点E,连接OE、SE, 所以由题意知，O,E⊥AD,SE⊥AD,O为正方形ABCD外接圆的圆心， 又因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SADO平面ABCD=AD,OEc平面ABCD, D- 所以OE⊥平面SAD,同理：SE⊥平面ABCD, B 设等边aSDA的外接圆的圆心为O,过O,作OE的平行线交过O作SE的平行线于点O, 则OO⊥平面ABCD,OO,⊥平面SAD,所以O为四棱谁S-ABCD外接球的球心，半径为R, 2N6 在等边aSDA中由正弦定理得 si =2S0,解得：S0,=2W2, 3 又因为00，=B=6,所以R=o5=V0S+00-22V64, 所以四棱锥S-ABCD外接球表面积为4πR2=4π×(N4=56π故选：D 9.BCD【详解】对于A,在梯形ABCD中，OO即代表圆台的高， 利用约股定军算可得00-D0三--号引 √5，所以A错误： 对于B,轴载面梯形A8CD的面积为S=(AB+CD)0O,=2+4)×5=35,因此B正确： 对于C,易知下底面圆的面积为π×22=4π，上底面圆的面积为π×12=π： D 所以该圈台的体积为”=红+x+红可列x5-7,可得C正确： 3 对于D,将圆台侧面沿直线BC处剪开，其侧面展开图如右图所示： 易知圆弧BB,CC的长度分别为2元4n,设扇形圆心为O,圆心角为0，OB=r: 由弧长公式可知mr=2元，(r+2)=4x,解得0=兀r=2: 答案第3页，共7页 CS扫描全能王 3亿人题在用的日mAP户 所以可得∠AOB=90,设E为AD的中点，连接EC,当小虫从点C沿着EC爬行到AD的中点，所经过 路程最短，易知OE=3.OC-4,且0E⊥OC,由勾股定理可知5C=√OE?+OC1±5，可知D正确 10.BD【详解】对于选项A,连接AD,和BC,由此可知点A,M,N在平面ABCD,中， D 点C:平面ABC,D,则四点A,M,N,C不共而，即选项A不正确： 8 对于选项B,由正方体的性质结合条件可知M,N分别是AD,BD的中点， 所以N∥AB,又因为CD∥AB,所以MN∥CD,即选项B正确； 对于选项C,点B,C,D,都在平面A8CD,所以AD与平面BCD,相交，即选项C不正确」 对于选项D,因为N为△ABD,的中位线，HMN=1,所以正方体的棱长为2， 设正方体ABCD-A8CD外接球的半径为R,则2R=D+44+A8=25, 即R=√3.则外接球的表面积为S=4πR2=12π，即选项D正确：故选：BD 11.ACD【详解】对于A,由题意，OA⊥BD,OC⊥BD,又OA'nOC=O,OA,OCc平面OC, 所以BD∠平面A'OC,义CC平面OC,所以BD⊥AC,故A正确： 对于B,BDL平面AOC,BDc平面BCD,所以平面BCD⊥平面AOC, 且面AOC⌒面BCD=OC,因为aAOC为等边三角形，在平面AOC内过A作AE LOC, 则E⊥平面BCD,所以AC和平面BCD所成角为60°，故B错误： 对于C,0A'=2,0C=2A'C=2,所以af0C面积为，x2x2xsin60°-V5, 因为8D上平面A0C,所以因面体o=ax+人c×545=4,故C正确： 对于D,过A作AF⊥BC交BC于F,因为AE⊥平面BCD,BCC平面BCD, 所以AE⊥BC,且AEOAF=A,AE,AFC平面AEF, 所以BC⊥平面AEF,且EFc平面AEF,所以EF⊥BC, 所以∠AFE是二面角∠-BC-D的平面角， 在等腰三角形ABC中，由等面积法可得x2×V--x4xA状， 即AF=正 在△4EF中，sin∠FE=45=5_25 A'F55,故D正确：故选：ACD 2 答案第4页，共7页 C③扫描全能王 3亿人题在用的日眉AP分 12.6【详解】6+i+d=V@+6+可-V后+方+e2+2a6+20c+2b.c =+时++2lcos60+2|Fkos60+2本特os60 +1+1+2x1x1x+2x1x1×+2x1x1×;=6.故答案为：6 13. 智【详解】设内切球半径为，则三棱锥高。 -i5 斜高 1 14. 2【详解】如图所示：依透意得Sc=) ×4×4xsin60°=4V5, 底面A8C的外接圆半径为2新=40。=4856=4 s6059= 3 2 点P到平面ABC的脚离为d= ,42 43 46 、3 3 0 所以c=x45x4616迈 3 33 所以.c=5.rs=.e=2x4x4xsi血60°=45 设球O的半径为R,所以y-4c=Va-Pu+'a-PaC+V4-pc+'。 则16245x4,得R-5 设球0的半径为，则{6，又R席6 R 3 6 所以球O,的表面积为S=4π 6 6 3 放答案为： 15.【详解】(1)因为mm,所以(b-a)(b+a)=c(a+c),即a'+c2-b=-ac, 由余弦定举粉：。一分因为有0，所 3 (2)由(1)得-ac=a2+c2-1222ac-12,即ac≤4，当且仅当a=c=2时，等号成立， 设AC边上的商为，则5。c=acsin=V56,所以h=0c≤1，所以4C边上的高的最大值为1 答案第5页，共7页 C图扫描全能王 3亿人题在用的日眉AP分 16.【详解】(1)如图历示，连接BD,因为E,F分别是PD,PB的中点，所以EF/IBD, 因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD, 因为PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以PA⊥BD, 又因为AC L BD,ACOPA=A,AC,PAC平面PAC,所以BDL平面PAC, 又EF/IBD,所以EF⊥平面PAC: B (2)由题意容易知道AB.AD,AP两两互相垂直， 故以点A为坐标原点，AB.AD、AP分别为x,片：轴建立如图所示的空何直角坐标系， 由题意PA=4B=2,所以C(2,2.0).P(0,0.2,B(2,0,0),F(1,0,1),A(0,0,0). 显然平面ABCD的法向量可以是AP=(0,0.2),而CF=(-1,-2,) 故所求为osP.CF- AP.CF 26 网2W66 即直线CF与平面BCD所成角的正弦值5 (3)由(2)可知4（00.0)，E(011).F(10,1.C(2.20),从而CF=(-1,-2,1).CE=(-2,-l.),AC(2,2,0, 设平面CEF的法向量为i=(x,y,z). 元CF=-x-2y+z-0 则 万CE=-2x-y+z=0 ,令：=，解得x=y=行所以可取 AC. 22 33 4I 故所求为 11， 即点A到平面EFC的距离4 -+-+1 11 17.【详解】(1)：bcosC+V3 csin B=1+2c=a+2c, ∴，在△ABC中.由正弦定理很，-sinBcosC+√3 sinCsinB-sin4+2sinC, 由三角形内角和为180可得sinA=sin(B+C), ..sinBcosC+sinCsin B=sin (B+C)+2sinC =sinBcosC+cosBsinC+2sinC. 即√3 sinCsinB-cosBsinC-2sinC, Csincsin-cos= 2c0sB=1,即sm(8-30）-1, 又0<B<180，B-30=90°，即B=120°， 答案第6页，共7页 CS扫描全能王 3亿人题在用的日眉AP分 (2)设AC=AD,令∠DCA=∠CDA=a,∠CAD-180°-2a, sin D sin ZCAD CD-3.c 3sina AC CD 在a4CD中，由正弦定理得， sin 2a 2cosa AC BC sin120 在△ABC中，由正弦定理得， s1nBs1n∠BAC ,∠BAC=a60.BC=1,.AC= in(a-60）】 sin(a-60)=sin(a-60）=in(90-a.解得a=75,sim∠BC4=sin120-75)=2 18.【详解】(1)连接4C交BD于点O,连接AO,如1右图： 由题可知O为BD的中点，且△ABD为边长是2的等边角形， A 因此AO1BD,可得O-√3， 在eB中，由从=AB=2,c0s∠44B=可得： 4B=4,f+1B-24ABc0s乙AAB=4+4-2×2×2x2=2, 即AB=V2:同埋可得AD=√2： 又BD=2,所以△4，BD为等腰直角三角形，所以AO⊥BD: 易知40=1，又0=√5，A4-2,则满足AO2+A02=A4,所以A01A0: 义AO∩8D=O,AO.BDc平面4BCD,所以AO1平面ABCD: 又因为AOC平面ABD,所以平面ABD⊥平面ABCD (2)由(1)可知OB,OC,OA两两垂直，以O为坐标原点，0B,OC,OA所在自线分别为x,片：轴建立空 间直角坐标系，如下图所：显然4(0.0,1).B(L.0,0)C(0.5.0E0.5.1) 可得4B=(,0,-1),BC=（1,5.0CE=0.0,1): D 设平面ABC的一个法向量为m=(,片、)， 则 8cm=-+5,=0令g1,则名=5.5=5： A.B-m =x-2=0 5 所以m-(5山，5)： 设平面BCE的一个法向量为方=(x2,2,). CEi=2:=0 则 。,解得-0，令片-1，则x-5:所以万=(5.1.0： BCi=-x2+√3y1= 可得c0sm,万= m五-341-25 同√7x2 7，由图可知，一面角4~8C-E的大小为锐角，所以二面角 A~BC-E的余弦值为2 答案第7页，共7页 C图扫描全能王 3亿人题在用的日眉AP分