精品解析：2024年广东省江门市陈白沙中学中考数学一模试卷

2024年广东省江门市陈白沙中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 如图，根据机器零件的设计图纸（单位：），按设计要求生产出的该机器零件尺寸最大相差（ ） A. B. C. D. 2. 某校组织师生前往红军山革命烈士陵园进行扫墓活动，若租用座的车辆，那么最后一辆车空个座位，则参加此次扫墓活动的师生人数为（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 3. 地球距太阳约有120000000千米，数120000000用科学记数法表示为（　　） A. 0.12×109 B. 1.2×108 C. 12×107 D. 1.2×109 4. 在如图所示的四种沿进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边互相平行的是（ ） A. 如图1，展开后测得 B. 如图3，测得 C. 如图2，展开后测得且 D. 在图4，展开后测得 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，两个螺栓上有A、B、C三个螺母，每次随机拧下一个螺母，直至全部被拧下，则“最后拧下螺母B”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知位于第一象限，点在的圆周上，以原点为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到，则点在上的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 8. 在中，，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D，连接，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点A和点C都在上，若，则的度数是（ ） A. 50° B. 40° C. 70° D. 60° 10. 定义：为二次函数的特征数．下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是y轴；②当时，函数图象过原点；③当且时，y随x的增大而减小；④当时，若，，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 写出一个比小的正有理数__________． 12. 如图，以正五边形的边向内作正方形，则的度数为______． 13. 如图，在的正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为______． 14. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，且电路中只有一个电阻，通过的电流I（单位：A）与电阻R的阻值（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为______A． 15. 如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接交于点．若，则______． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程组： 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的表达式； （2）求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标． 18. 如图，的直径，弦，连接． （1）尺规作图：作弦，使（点D不与A重合），连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，求四边形的周长． 19. 一部好的纪录片可以让学生开阔眼界，建立认知，构建宏大的世界观，某中学为了丰富学生暑期生活，向学生们推荐了《地球脉动》、《蓝色星球》、《冰冻星球》、《地球的力量》这四部纪录片，为了了解学生观看这四部纪录片的情况，就“这四部纪录片你看完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查所得数据的众数是___________部，中位数是___________部，扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为___________度； （2）请将条形统计图补充完整； （3）现有两名没有看过这四部纪录片的学生准备从这四部纪录片中各自随机选择一部来观看，请用树状图或列表法求他们选中同一部纪录片的概率． 20. 某车间甲、乙两台机器共生产个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工个零件，如图是表示未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数图像． （1）乙机器每天加工_________个零件，甲机器维修了________天； （2）当甲、乙两台机器共生产个零件时，乙机器加工了多少天？ 21. 操作与探究 【操作】在数学实践课上，老师要求同学们对如图1的纸片进行以下操作，并探究其中的问题： 第一步：如图2，沿过点的直线折叠，使得点落在上，展开铺平该纸片，折痕为； 第二步：如图3，继续折叠该纸片，使得点与点重合，展开铺平该纸片，折痕为； 第三步：如图4，连接． 【探究】 任务一：判断四边形的形状，并说明理由； 任务二：在纸片中，若，折痕，四边形的面积为_______ 22. 【问题背景】已知点在反比例函数的图象上，以为边长作正方形，使正方形顶点，在轴上方，与轴的夹角为． 【构建联系】 （1）如图1，当点在轴上时，直接写出的度数 　　 ，点坐标 　　 ； 【深入探究】 （2）如图2，当时，与轴相交于点，若，求经过点的双曲线解析式； （3）如图3，当时，与轴相交于点，若，求点的坐标． 【探索规律】 （4）若，，则坐标为 　　 ． 23. 我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线””． ①如图2，在为等边三角形时，与的数量关系为___________； ②如图3，当时，则长为 ． 猜想论证： （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明； 拓展应用： （3）如图4，在四边形中，，在四边形内部是否存在点P，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年广东省江门市陈白沙中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 如图，根据机器零件的设计图纸（单位：），按设计要求生产出的该机器零件尺寸最大相差（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义，有理数减法，解题的关键是正确理解的意义． 根据的意义分析得出然后进行减法运算即可． 【详解】解：由得： 该机器零件尺寸最大相差， 故选：． 2. 某校组织师生前往红军山革命烈士陵园进行扫墓活动，若租用座的车辆，那么最后一辆车空个座位，则参加此次扫墓活动的师生人数为（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式的运用，根据关键描述语“若租用座的车辆，那么最后一辆车空个座位”列出代数式即可，读懂题意，列出代数式是解题的关键． 【详解】解：∵租用座的车辆，那么最后一辆车空个座位， ∴参加此次扫墓活动的师生人数为人， 故选：． 3. 地球距太阳约有120000000千米，数120000000用科学记数法表示为（　　） A. 0.12×109 B. 1.2×108 C. 12×107 D. 1.2×109 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：120000000＝1.2×108． 故选：B． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 在如图所示的四种沿进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边互相平行的是（ ） A. 如图1，展开后测得 B. 如图3，测得 C. 如图2，展开后测得且 D. 在图4，展开后测得 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据内错角相等，两直线平行，能够得到，不符合题意； B、无法得到，符合题意； C、由题意，，则：，能够得到，不符合题意； D、根据同旁内角互补，两直线平行，能够得到，不符合题意； 故选B． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式、幂的乘方、同底数幂相除，正确掌握相关性质内容是解题的关键．据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 6. 如图，两个螺栓上有A、B、C三个螺母，每次随机拧下一个螺母，直至全部被拧下，则“最后拧下螺母B”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】解：每次随机拧下一个螺母，直至全部被拧下，有以下3种情况： ，，， “最后拧下螺母B”有2种情况，则“最后拧下螺母B”的概率是； 故选：C． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率等于所求情况数与总情况数之比． 7. 已知位于第一象限，点在的圆周上，以原点为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到，则点在上的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，熟知其性质是解题的关键．根据以原点O为位似中心的位似变换的性质计算求解，即可解题． 【详解】解：以原点为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到， 点在上的对应点的坐标为，即， 故选：D． 8. 在中，，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D，连接，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和，解题关键在于熟练掌握垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质得，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和得到，即可得到结论． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，是的直径，点A和点C都在上，若，则的度数是（ ） A. 50° B. 40° C. 70° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角等知识点，根据即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：B 10. 定义：为二次函数的特征数．下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是y轴；②当时，函数图象过原点；③当且时，y随x的增大而减小；④当时，若，，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴、增减性规律，这是进一步研究二次函数的性质的基础． 根据特征数的定义，写出二次函数的表达式为，①写出对称轴方程后把代入即可判断；②把代入，求出此时的x、y即可判断；③根据对称轴，开口方向，增减性即可判断；④根据对称轴，开口方向，对称性即可判断． 【详解】解：由特征数的定义可得：特征数为的二次函数的表达式为：， 此抛物线的对称轴为直线， 当时，函数图象的对称轴是，即y轴．故①正确； ②当时，此二次函数表达式为：， 当时，，所以函数图象不过原点，故②错误； ③当时， 函数图象的对称轴，且抛物线图象是开口向上， 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小，故③正确； ④当时，二次函数表达式为：，此时函数的对称轴为y轴，图象开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大， ，， ，故④正确； 则正确的结论的个数为3个， 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 写出一个比小的正有理数__________． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算．先求出的取值范围，进而写出比小的正有理数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴比小的正有理数可以是3； 故答案为：3（答案不唯一）． 12. 如图，以正五边形的边向内作正方形，则的度数为______． 【答案】##18度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质、正多边形的内角和等知识点，根据正多边形的性质求得是解答本题的关键．先求出正五多边形的内角，然后再减去即可． 【详解】解：由正多边形的内角和公式可得：正五边形的内角和为， ∴， ∵四边形是以为边的正方形， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在的正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据弧长公式求出这个圆锥的底面圆的周长，进而即可求解； 【详解】解：这个锥的底面圆的周长为：； ∴这个锥的底面圆的半径为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，正确计算是解题的关键． 14. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，且电路中只有一个电阻，通过的电流I（单位：A）与电阻R的阻值（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为______A． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键．设该反比例函数解析式为 ，根据当 时， ，可得该反比例函数解析式为 ，再把代入，即可求出电流. 【详解】解：设该反比例函数解析式为，由题意得： ， 解得：， ∴该反比例函数解析式为， 当 时，. 故答案为：2． 15. 如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接交于点．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，利用平行四边形的性质得出，，结合可求出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】根据加减消元法解答即可． 【详解】解：， 由得，， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，属于基础题型，熟练掌握代入法和加减法求解的方法是关键． 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的表达式； （2）求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数图象上点的坐标特征． （1）把两已知点的坐标代入得b、c的方程组，然后解方程组求出b、c，从而得到二次函数解析式； （2）通过解方程得到抛物线与x轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：把分别代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为． 18. 如图，的直径，弦，连接． （1）尺规作图：作弦，使（点D不与A重合），连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，求四边形的周长． 【答案】（1）如图，线段即为所求． ； （2） 【解析】 【分析】（1）以C为圆心，为半径画弧，交于D，连接，线段即为所求． （2）连接，交于点E，设，构建方程求出x进一步即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，交于点E，设． ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴于E． ∴， ∵， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴四边形的周长． 【点睛】本题考查了作图能力、圆周角定理、垂径定理的应用，勾股定理的应用、三角形的中位线的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键． 19. 一部好的纪录片可以让学生开阔眼界，建立认知，构建宏大的世界观，某中学为了丰富学生暑期生活，向学生们推荐了《地球脉动》、《蓝色星球》、《冰冻星球》、《地球的力量》这四部纪录片，为了了解学生观看这四部纪录片的情况，就“这四部纪录片你看完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题： （1）本次调查所得数据的众数是___________部，中位数是___________部，扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为___________度； （2）请将条形统计图补充完整； （3）现有两名没有看过这四部纪录片的学生准备从这四部纪录片中各自随机选择一部来观看，请用树状图或列表法求他们选中同一部纪录片的概率． 【答案】（1）1，2，54； （2） 条形统计图如图所示， （3） 【解析】 【分析】（1）先求出被调查的总人数，继而求出“1部”对应的人数，根据众数的定义可得答案，用乘以“4部”人数所占比例即可； （2）根据以上所求结果即可补全图形即可； （3）列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：被调查的总人数为（人）， ∴“1部”对应的人数为（人）， ∴人数最多的数1部，即众数为1部， 处于中间位置的两个数据都是“2部”，中位数为“2部” 扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为， 故答案为：1，2，54； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 《地球脉动》、《蓝色星球》、《冰冻星球》、《地球的力量》分别用字母A、B、C、D表示， 树状图如下图所示： 一共有16种等可能性，其中他们恰好选中同一部纪录片的可能性有4种， 故他们恰好选中同一部纪录片的概率是， 即他们恰好选中同一部纪录片的概率是； 【点睛】本题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解题的关键；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20. 某车间甲、乙两台机器共生产个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工个零件，如图是表示未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数图像． （1）乙机器每天加工_________个零件，甲机器维修了________天； （2）当甲、乙两台机器共生产个零件时，乙机器加工了多少天？ 【答案】（1）， （2）天 【解析】 【分析】本题主要考查函数图像与实际问题的综合，理解函数图像中横轴、纵轴表示的意义，掌握工程问题中工作效率与工作时间的数量关系是解题的关键． （1）设乙机器每天加工个零件，甲机器每天加工个零件，根据数量关系列方程求解即可； （2）由（1）可知，甲维修了天，则乙加工了天，即点，当加工个零件时，，推出当加工个零件时，，求出当时的函数解析式，将代入得即可求解． 【小问1详解】 解：设乙机器每天加工个零件， 由题意得：， 解得：， 即乙机器每天加工个零件， 根据题意，从点到点是乙单独完成的量， （个）， 甲机器维修的天数为：（天）， 故答案为：，； 【小问2详解】 由（1）可知，甲维修了天，则乙加工了天，即点， （个），， 当加工个零件时，， 当时，设未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数解析式为， 将和代入得： ， 解得：， 当时，未生产零件的个数（个）与乙机器工作时间（天）之间的函数解析式为， 将代入得：， 解得：， 即当甲、乙两台机器共生产个零件时，乙机器加工了天． 21. 操作与探究 【操作】在数学实践课上，老师要求同学们对如图1的纸片进行以下操作，并探究其中的问题： 第一步：如图2，沿过点的直线折叠，使得点落在上，展开铺平该纸片，折痕为； 第二步：如图3，继续折叠该纸片，使得点与点重合，展开铺平该纸片，折痕为； 第三步：如图4，连接． 【探究】 任务一：判断四边形的形状，并说明理由； 任务二：在纸片中，若，折痕，四边形的面积为_______ 【答案】 任务一：四边形是菱形，理由如下， 点落在上，折痕为，点与点重合，折痕为， ∴是的垂直平分线，设交于点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵折叠，点与点重合， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴四边形是菱形； 任务二： 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质与菱形的判定方法，掌握垂直平分线的性质，菱形的判定方法，含角的直角三角形的性质是解题的关键． 任务一：根据折叠的性质可得是的垂直平分线，可证四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定方法即可求解； 任务二：根据菱形的菱形，在中，根据勾股定理可求出，的值，运用菱形的面积计算方法即可求解． 【详解】解：任务一：略； 任务二：由上述可知，四边形是菱形，，， ∴平分，，， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 22. 【问题背景】已知点在反比例函数的图象上，以为边长作正方形，使正方形顶点，在轴上方，与轴的夹角为． 【构建联系】 （1）如图1，当点在轴上时，直接写出的度数 　　 ，点坐标 　　 ； 【深入探究】 （2）如图2，当时，与轴相交于点，若，求经过点的双曲线解析式； （3）如图3，当时，与轴相交于点，若，求点的坐标． 【探索规律】 （4）若，，则坐标为 　　 ． 【答案】（1），；（2）y；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，利用正方形性质可得：，为等腰直角三角形，，，，设，则，，根据，建立方程求解得出，则，即可求得点的坐标； （2）过点作轴于点，过作交的延长线于点，交轴于点，根据，可得，设点，代入反比例函数解析式求得的值，再证得，可得，，进而求得点的坐标，再运用待定系数法即可求得答案； （3）过点作轴于点，过点作轴于，交于，由，可得，，再证得，得出，，得出，代入反比例函数解析式求解即可求得答案； （4）过点作轴于点，过作轴于点，交于，由，可得，设，则，可得，代入反比例函数解析式求解可得点的坐标，同理可得：，四边形是矩形，即可求得答案． 【详解】解：（1）如图1，过点作轴于点， 四边形为正方形， ，为等腰直角三角形，，， ， ， 设，则，， ， 解得：（舍去），， ， ，点坐标为； 故答案为：；； （2）如图2，过点作轴于点，过作交的延长线于点，交轴于点， ， ， ，即， 设点，则， 解得：，（舍去）， ， ，， 四边形为正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 点坐标为， 设经过点的双曲线解析式为，把点的坐标代入得：， 解得：， 经过点的双曲线解析式为； （3）如图3，过点作轴于点，过点作轴于，交于， 则， ，， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， 设，则，， ，代入，得：， 解得：，（舍去）， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， 点的坐标为； （4）如图2，过点作轴于点，过作轴于点，交于， 则， ， ，即， 设，则， ，代入，得：， 解得：，（舍去）， ， ，， 同理可得：，四边形是矩形， ，， 或， ， 当时，点在第二象限，； 当时，点在第一象限，； 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 23. 我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线””． ①如图2，在为等边三角形时，与的数量关系为___________； ②如图3，当时，则长为 ． 猜想论证： （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明； 拓展应用： （3）如图4，在四边形中，，在四边形内部是否存在点P，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②4； （2）结论：． 理由：如图1中，延长到，使得，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ． （3）存在．理由： 如图4中，延长交的延长线于，作于，作线段的垂直平分线交于，交于，连接、、，作的中线． 连接交于． ， ， 在中，，，， ，，， 在中，，，， ， ， ∵ ， ， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是的“旋补三角形”， 在中，，，， ． 【解析】 【分析】（1）①首先证明是含有是直角三角形，可得即可解决问题；②首先证明，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题； （2）结论：．如图1中，延长到，使得，连接，，首先证明四边形是平行四边形，再证明，即可解决问题； （3）存在．如图4中，延长交的延长线于，作于，作线段的垂直平分线交于，交于，连接、、，作的中线．连接交于．想办法证明，，再证明即可． 【详解】（1）解：①如图2中， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为． ②如图3中， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为9． （2）略 （3）略 【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $