精品解析：上海市建平中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

建平中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 与的等差中项为________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差中项的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】由等差中项的定义可知，与的等差中项为. 故答案为： 2. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式求得正确结果. 【详解】 故答案为： 3. 已知数列为等比数列，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的定义即可求解． 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 所以， 故答案为：2． 4. 已知，向量在向量方向上的数量投影为，则________ 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量投影的定义可求得的值，结合向量夹角的定义可求得的值. 【详解】由题意可知，向量在向量方向上的数量投影为， 可得， 因为，故. 故答案为：. 5. 已知数列的前n项和，那么的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据，结合对数运算即可求解. 【详解】， 故答案为：1. 6. 把函数图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数的图象，则的最小正周期为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题得到函数的解析式，再根据最小正周期计算公式计算即可. 【详解】函数图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数的图象， 则函数，所以函数的最小正周期为. 故答案为： 7. 设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理，结合等差数列的性质和前项和公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，由等差数列的性质可知，， 所以. 故答案为： 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解. 【详解】根据正弦定理由可得， 又，所以， 故, 故答案为： 9. 已知，若和是函数相邻的两个零点，则正实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，根据正弦型函数的周期公式计算可得. 【详解】因为和是函数相邻的两个零点，设函数的最小正周期为， 所以，则，又，解得. 故答案为： 10. 已知数列满足，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】推导出数列为常数列，可得出，即得出的值. 【详解】因为数列满足，且， 则，所以， 所以数列为常数列，故， 因此，. 故答案为：. 11. 如图，某公司要在A、两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长米，长米，设点A、在同一水平面上，从A和看的仰角分别为和．施工完成后，与铅垂方向有偏差，现在实测得，，则的长为（结果精确到米）______． 【答案】米 【解析】 【分析】根据正弦定理计算得解. 【详解】设，，，则， 由正弦定理得，即， 所以，所以的长为26.93米． 故答案为：米. 12. 已知数列的前项和为，，且满足，则所有可能的取值个数为________. 【答案】 【解析】 【分析】对递推式平方累加得到前 n 项和与第 n 项的关系，分析第 26 项的所有可能取值，代入后利用函数对称性去重统计个数。 【详解】已知 ，两边平方得：，即， 上式对 从 到 累加，左边为 （），右边为 ， 因此，整理得前 项和，故 。 由递推关系 ，为偶数，与奇偶性相反，因此数列的奇偶性会交替变化，所以可归纳得： 为偶数时， 是奇数， 取值为 （共 个值）， 因此 时， 是从 到 的所有奇数，共 26 个值， 令 ，则 是从 到 的所有偶数， 由于 ，只需考虑非负偶数 ：（共 14 个）， 函数 在 时先减后增，最小值在 附近， 时， 严格递增，无重复； 时， 严格递减，无重复， 与时， 的值无重复， 时，； 时，，二者结果重复， 因此 14 个非负 对应 13 个不同的 . 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知为单位向量，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量模的定义即可判断A；根据零向量的概念即可判断B；根据平面向量的加减法运算即可判断CD． 【详解】对于A，由平面向量模的定义知，故A错误； 对于B，根据零向量和任一向量平行，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：B． 14. 下列函数图像所对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合函数值的特征利用排除法判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，又，， 所以，且当时，而， 所以，当或时，所以，则， 又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，符合题意，故A正确； 对于B：函数的定义域为，故排除B； 对于C：函数的定义域为， 且，所以为非奇非偶函数， 且当或时，所以，故排除C； 对于D：函数的定义域为， 且，所以为非奇非偶函数， 且当或时，所以，故排除D； 故选：A 15. 已知等比数列的首项为，公比为，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】取，可判断充分性；由是递增数列，结合等比数列通项公式可得，，或，，从而得成立，即可判断必要性. 【详解】在等比数列中，，取，， 此时，为摆动数列，故充分性不成立； 若等比数列的公比为，且是递增数列， 又，则，，或，， 当，时，成立， 当，时，成立， 所以，数列为递增数列时，有成立，故必要性成立. 所以，“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件. 故选：B. 16. 已知数列满足，其中，设集合，对任意正整数恒成立，则（ ） A. 为空集 B. 为有限集，且仅有一个元素 C. 为有限集，且至少有两个元素 D. 为无限集 【答案】A 【解析】 【分析】要判断集合的情况，需要分析对于任意正正数恒小于0是否可能成立，这就需要考虑余弦函数的正负性与角度的关系. 【详解】假设存在使得对任意正整数恒成立. 那么. 求解上面不等式得. 随着的增大，与之间的区间会不断缩小，不存在使得对任意正整数恒成立. 所以集合为空集. 故选：A. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 设数列，满足. （1）若是首项为，公比为的等比数列，求的值. （2）若数列是公差为的等差数列，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出的通项公式，即可求出的通项公式，再代入计算可得； （2）依题意可得，即可得到，再求出的前项和，即可求出，从而得解. 【小问1详解】 因为是首项为，公比为的等比数列， 所以，又， 所以，则； 【小问2详解】 因为数列是公差为的等差数列， 所以，又， 所以，则， 设的前项和为，则， 因为，所以，所以， 所以，则. 18. 已知函数. （1）若，求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦的二倍角公式可化简，即可利用整体法，结合余弦函数的性质求解， （2）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，代入可得，即可利用余弦定理求解，由面积公式求解即可. 【小问1详解】 当时, , 当时, ,则, 故, 因此 【小问2详解】 当时, , 故,即, 由于,故, 所以,即, 由余弦定理可得,解得(负值舍去), 故 19. 党的十八大以来，我国防沙治沙工作取得显著成效，《全国防沙治沙规划（20212030年）》的提出明确了今后一个阶段防沙治沙工作的总体思路、工作重点和目标任务.某地区政府顺势提出了沙漠治理的十年计划.已知第年该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，是绿洲.从第年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，而原有绿洲的被沙漠所侵蚀后又变成沙漠.设第年的绿洲面积为万平方千米，其中，. （1）证明：为等比数列； （2）假设把沙漠改造成绿洲的改造费为每万平方千米亿元，请计算该地区政府完成沙漠治理计划总共需要拨款的费用. 【答案】（1） 由题意，当时， ， 变形为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）约为亿元 【解析】 【分析】（1）由题意得到递推公式，化简得出，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，计算出该地区政府完成沙漠治理计划时，把沙漠改造成绿洲的面积，结合题意可求得改造的费用. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，所以数列的通项公式. 则， 由题意可知，该地区政府完成沙漠治理计划时，把沙漠改造成绿洲的面积为 ， 所需的改造费用为（亿元）. 20. 已知数列，，满足. （1）若，，求的值； （2）若，，求数列的最小项； （3）若，，当时，判断是否存在互异的正整数，使得，并说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）不存在，理由如下： 由可得， 所以. 当为奇数时，，则， 两式相加可得，因为， 当为奇数时，且单调递减，不存在互异的奇数，使得. 当为偶数时，，则， 两式相加可得，因为，，所以， 当为偶数时，且单调递增，不存在互异的偶数，使得. 当为奇数时，，当为偶数时，，所以不存在一奇一偶的正整数，使得. 综上，数列中不存在互异的正整数，使得. 【解析】 【分析】（1）根据题设条件分别求出和，从而求得，代入求值即可； （2）根据题设条件求出与的递推关系式，通过分析数列的单调性得出最小项； （3）根据题设条件求出，分类讨论当为奇数和偶数时，求出数列的奇数项和偶数项的单调性，即可得出结论. 【小问1详解】 由，可得， 由，可得， 所以，， 故. 【小问2详解】 由，可得， 所以， 所以，当时，，即， 当时，，即， 所以数列的最小项为. 【小问3详解】 数列中不存在互异的正整数，使得，理由略 21. 已知定义在上的函数，数列满足，且. （1）若，，求的值； （2）若，且数列为严格增数列，求的取值范围； （3）若，且数列满足，其中，求和的值. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据递推公式结合可求得的值； （2）分析函数在上为增函数，结合数列为严格增数列，可得出，解得，由此得出，然后结合递推公式逐项推导可知，，，，综合可得出的取值范围； （3）由题意可知对任意的恒成立，讨论，结合以及推出矛盾，从而得出，，即可得解. 【小问1详解】 因为，则， 因为，则，由可得， 由，解得. 【小问2详解】 因为，则， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为数列为严格增数列，则，可得，解得， 所以， 且当时，，且， 当时，，且，， 以此类推可知，对任意的，，，合乎题意， 因此，的取值范围是. 【小问3详解】 由题意可知，，即对任意的恒成立， 若，则，即对任意的恒成立， 令可得， 因为，当时，，与题意矛盾. 所以，必有，从而可得，进而有， 故，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 与的等差中项为________. 2. 若，则______. 3. 已知数列为等比数列，若，则________． 4. 已知，向量在向量方向上的数量投影为，则________ 5. 已知数列的前n项和，那么的值为_____. 6. 把函数图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍，得到函数的图象，则的最小正周期为________. 7. 设等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则___________． 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 9. 已知，若和是函数相邻的两个零点，则正实数_____. 10. 已知数列满足，且，则________. 11. 如图，某公司要在A、两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长米，长米，设点A、在同一水平面上，从A和看的仰角分别为和．施工完成后，与铅垂方向有偏差，现在实测得，，则的长为（结果精确到米）______． 12. 已知数列的前项和为，，且满足，则所有可能的取值个数为________. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知为单位向量，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 下列函数图像所对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 15. 已知等比数列的首项为，公比为，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 已知数列满足，其中，设集合，对任意正整数恒成立，则（ ） A. 为空集 B. 为有限集，且仅有一个元素 C. 为有限集，且至少有两个元素 D. 为无限集 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 设数列，满足. （1）若是首项为，公比为的等比数列，求的值. （2）若数列是公差为的等差数列，且，求的值. 18. 已知函数. （1）若，求函数在区间上的最大值和最小值； （2）若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积. 19. 党的十八大以来，我国防沙治沙工作取得显著成效，《全国防沙治沙规划（20212030年）》的提出明确了今后一个阶段防沙治沙工作的总体思路、工作重点和目标任务.某地区政府顺势提出了沙漠治理的十年计划.已知第年该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，是绿洲.从第年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，而原有绿洲的被沙漠所侵蚀后又变成沙漠.设第年的绿洲面积为万平方千米，其中，. （1）证明：为等比数列； （2）假设把沙漠改造成绿洲的改造费为每万平方千米亿元，请计算该地区政府完成沙漠治理计划总共需要拨款的费用. 20. 已知数列，，满足. （1）若，，求的值； （2）若，，求数列的最小项； （3）若，，当时，判断是否存在互异的正整数，使得，并说明理由. 21. 已知定义在上的函数，数列满足，且. （1）若，，求的值； （2）若，且数列为严格增数列，求的取值范围； （3）若，且数列满足，其中，求和的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $