精品解析：河南省南阳市2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试题试卷

2024－2025学年九年级第二次中招模拟考试 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 2的绝对值是（　　） A. ﹣2 B. C. 2 D. ±2 2. 近十年来，我国扎实开展国土绿化行动，持续推进科学绿化，累计完成国土绿化面积1680000000亩，将数据“1680000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成正方体后，和“数”字一面相对的面上的字是（    ） A. 发 B. 现 C. 之 D. 美 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把等腰直角三角形的直角顶点和另外一个顶点分别放在矩形纸片的两条对边上，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 定义新运算：，例如：，若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A，B，C，D是电路图中的四个接线柱，闭合开关后，灯泡不发光．小明同学用一根完好导线的两端随机触连A，B，C，D中的两个接线柱，若电流表有示数或灯泡发光，说明两个接线柱之间的电路元件存在故障．已知灯泡存在断路故障，其他元件完好，则小明触连一次找到故障（用导线触连接线柱）的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O为坐标原点，，C是斜边的中点，且交x轴于点D．将沿x轴向右平移得到，当的中点E恰好落在y轴上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. (7， 0) 10. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，的高，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 北京冬季里某一天的气温为，的含义是 ________ . 12. 若一次函数的图象不经过第三象限，则其表达式可以为________． 13. 不等式组的解集_________ 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形和正方形的顶点A，C，D 均在坐标轴上，点 F 是边的中点，点 B，E 在反比例函数()的图象上．若，则k的值为____________． 15. 如图，四边形是边长为2的正方形，点E是的中点，连接，点 F是射线上的一个动点（不与点C重合），连接交于点M，若是以为腰的等腰三角形，则________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为庆祝中华人民共和国成立周年，某校举行了“中国近现代史”知识竞赛（百分制），为了 解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了名学生的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： ．七年级学生竞赛成绩的频数分布表： 成绩 频数 频率 合计 ．八年级学生竞赛成绩的扇形统计图： ． 八年级学生竞赛成绩在这一组的数据是：，，，，，，，，，，，，，． ．七、八年级学生竞赛成绩的中位数如下： 中位数 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中，的值， ， ； （2）此次竞赛中，若抽取的一名学生的成绩为分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被抽取的学生的成绩，他是哪个年级的学生?请说明理由． 18. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，过点D作，垂足为H，若，求的面积． 19. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． （1）求k，m的值； （2）已知点P为直线在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，当时，求a的值； （3）观察图象，直接写出当时，a的取值范围． 20. 实际应用 材料：太阳高度：太阳高度指太阳光线与地平面的夹角，记作H，当地地方时 12时的太阳高度称为正午太阳高度．一天中正午时太阳高度最大，日出和日落时太阳高度为． H的计算公式：纬差（纬差是指某地的地理纬度与当日太阳直射点所在纬度的差值，特别地，南纬北纬地区的纬差为其数值之和） 例如，如图所示，C地的纬度为N，求C地夏至日（太阳直射北回归线N）的正午太阳高度？ 解：夏至日太阳直射的纬度为，与C地的纬度差，那么 应用： （1）深圳纬度约为N，一年中会有两次太阳直射，一般在每年的6月 18日和6月 26日两天，则当天正午太阳高度 （填角度）；冬至太阳直射南回归线 ，则当天正午深圳的太阳高度 （填角度） （2）如图，小明家住在河南焦作（），一年中正午太阳光线与地平面夹角最小在冬至，约为，即，夹角最大在夏至，约为，即，测得他家窗高约为2.3m，即．如图所示的直角遮阳篷，在冬至能最大限度地使阳光射入室内，在夏至又能最大限度地遮挡炎热的阳光，请求出此遮阳篷两直角边的长度．（精确到0.1m，参考数据： ， 21. 习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书．已知每本甲种书比每本乙种书多元，若购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费元和元． （1）求甲、乙两种书的单价． （2）如果学校决定再次购买甲、乙两种书共本，总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 22. 如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，抛物线L的函数解析式为 已知抛物线L： 经过点，，求抛物线L的函数解析式． （1）请根据已有信息添加一个适当的条件： ； （2）将抛物线L向上平移m()个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上，求 m的值； （3）如图，点 N为抛物线L的顶点坐标，若平移抛物线L的图象，使其顶点在直线上运动，且平移后的抛物线与y轴负半轴相交，交点为M，则 面积的最大值为 ． 23. 如图，的三边长分别为，，， 的三边长分别为，，，，相似比为（为常数且，）． （1）若，用k表示a和c的数量关系． （2）在（1）的条件下，请写出符合条件的一对和，使得a，b，c和，，都是正整数． （3）若，，是否存在和相似使得k是正整数？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年九年级第二次中招模拟考试 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 2的绝对值是（　　） A. ﹣2 B. C. 2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【分析】利用绝对值的意义进行求解即可． 【详解】解：2的绝对值就是在数轴上表示2的点到原点的距离，即|2|=2， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0． 2. 近十年来，我国扎实开展国土绿化行动，持续推进科学绿化，累计完成国土绿化面积1680000000亩，将数据“1680000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】， 故选：B． 3. 如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成正方体后，和“数”字一面相对的面上的字是（    ） A. 发 B. 现 C. 之 D. 美 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征是解题的关键． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此特点解答即可． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 所以“数”与“美”是相对面． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，单项式除以单项式，合并同类项，完全平方公式，能够熟练运用乘法公式是解决本题的关键． 根据积的乘方，单项式除以单项式，合并同类项，完全平方公式，分别计算四个算式并判断其正误即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B正确，符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，把等腰直角三角形的直角顶点和另外一个顶点分别放在矩形纸片的两条对边上，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．根据等腰直角三角形的性质得到，由三角形外角的性质，得到，再根据平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：如图， 是等腰直角三角形， ， ， ， 矩形纸片的两条对边平行， ， 故选：C． 6. 定义新运算：，例如：，若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有实数根， ∴， 解得：． 故选：D． 7. 如图，A，B，C，D是电路图中的四个接线柱，闭合开关后，灯泡不发光．小明同学用一根完好导线的两端随机触连A，B，C，D中的两个接线柱，若电流表有示数或灯泡发光，说明两个接线柱之间的电路元件存在故障．已知灯泡存在断路故障，其他元件完好，则小明触连一次找到故障（用导线触连接线柱）的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：根据题意列出表格如下： A B C D A B C D 由表可知，一共有12种情况，小明触连一次找到故障的有2种情况， ∴小明触连一次找到故障的概率， 故选：D． 8. 如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时 点 D 到弦的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可． 本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵点, ∴, 过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点 D 到弦的距离最大， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点 D 到弦的距离最大为， ∴点D的坐标为， 故选A． ． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点O为坐标原点，，C是斜边的中点，且交x轴于点D．将沿x轴向右平移得到，当的中点E恰好落在y轴上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. (7， 0) 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，解直角三角形，坐标与图形，勾股定理，先求出，则由勾股定理得到，解直角三角形得到，根据线段中点的定义得到，则解直角三角形可得；由平移的性质可得，，则，求出，解得到，则，即． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵C是斜边的中点， ∴， ∵， ∴在中，， 由平移的性质可得，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止，设点的运动路程为，线段的长度为，的高，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，从图象中获取条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．先求出和，作，利用等面积法求出，再用勾股定理求出，即可求出点坐标． 【详解】解：当点运动到点处时，， ∴， 当点运动到点处时，， ∴， 过点作于点，如图， 当点运动到点处时，最短， 由等面积得：， ∴， ∴点的纵坐标为， 在中，， ∴， ∴点的横坐标为， ∴点坐标， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 北京冬季里某一天的气温为，的含义是 ________ . 【答案】零下 【解析】 【分析】本题考查了负数的定义，根据温度的定义，联系生活，想想我们看过的天气预报，从而想到含义． 【详解】解：含义是零下． 故答案为：零下． 12. 若一次函数的图象不经过第三象限，则其表达式可以为________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象特征，掌握k，b对函数图象的影响是本题关键． 根据不经过第三象限的一次函数，且，即可解答． 【详解】解：∵一次函数图象不经过第三象限， ∴，且． 任取一个满足上述条件的一次函数即可， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 不等式组的解集_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形和正方形的顶点A，C，D 均在坐标轴上，点 F 是边的中点，点 B，E 在反比例函数()的图象上．若，则k的值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】设，结合点 F 是边的中点，得，得到，，结合点 B，E 在反比例函数()的图象上，建立等式计算即可． 本题考查了矩形的性质，正方形性质，反比例函数性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】设， ∵点 F 是边的中点， ∴， ∵矩形和正方形，， ∴，轴，，，轴， ∴，， ∵点 B，E 在反比例函数()的图象上， ∴， 解得(舍去)， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，四边形是边长为2的正方形，点E是的中点，连接，点 F是射线上的一个动点（不与点C重合），连接交于点M，若是以为腰的等腰三角形，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，分和两种情况讨论：当时，设与的交点为点P，设则由勾股定理可求出再证明根据相似三角形的性质可得；当时，延长交的延长线于点N，作于点H，证明可求出再证明得出可得再证明 得代入数据可得结论 【详解】解：情形一：当时，如图， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 设与的交点为点P，则 又E为的中点， ∴ 设则 ∴ 在中，, ∴， 解得，， ∴ ∵ ∴ ∴， 设则 ∴， 解得， ∴； 情形二：当时，延长交的延长线于点N，作于点H，如图， ∵ ∴ ∴ ∴ 又 ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 又 ∴即 ∵ ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 综上，的值为或2， 故答案为：或2 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算： （1）先求立方根，去绝对值，算负整数指数幂，再算加减； （2）先通分算括号内的，把除化为乘，再约分． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ． 17. 为庆祝中华人民共和国成立周年，某校举行了“中国近现代史”知识竞赛（百分制），为了 解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了名学生的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： ．七年级学生竞赛成绩的频数分布表： 成绩 频数 频率 合计 ．八年级学生竞赛成绩的扇形统计图： ． 八年级学生竞赛成绩在这一组的数据是：，，，，，，，，，，，，，． ．七、八年级学生竞赛成绩的中位数如下： 中位数 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中，的值， ， ； （2）此次竞赛中，若抽取的一名学生的成绩为分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被抽取的学生的成绩，他是哪个年级的学生?请说明理由． 【答案】（1）， （2） 他是七年级的学生，理由如下： 七年级学生竞赛成绩的中位数为，八年级学生竞赛成绩的中位数为， 七年级有一半的学生成绩不高于，八年级有一半的学生成绩不高于， 七年级超过有一半的学生成绩低于，而八年级不确定超过有一半的学生成绩低于， 他在七年级． 【解析】 【分析】本题考查了统计图与数据的分析综合，涉及频数和频率，中位数等知识，从统计图表获取信息和对中位数是解题关键． （1）根据频率频数总数，得出的值，再根据扇形统计图求出八年级学生在各个分数段的竞赛成绩人数，最后根据中位数的概念可得的值； （2）根据中位数的定义解答即可． 【小问1详解】 解：， 八年级学生竞赛成绩在的人数有（人），在的人数有（人），在的人数有（人），在的人数有（人）， 又八年级学生竞赛成绩的中位数是将数据从小到大排列的第、位数的平均数，而第、位数分别是这一组数据中的、， 八年级学生竞赛成绩的平均数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，过点D作，垂足为H，若，求的面积． 【答案】（1） 如图1，射线为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，小于的长为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在上方交于一点，过该点与点A作直线交于点D，即可； （2）根据等腰三角形的性质得到，再根据角平分线的性质得到，即可得到，进而得到，由勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，过点D作，垂足为H，则， ， ， 又平分， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理，得 【点睛】本题考查了角平分线的作法及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的特征，熟练掌握角平分线的作法及性质是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点． （1）求k，m的值； （2）已知点P为直线在第一象限上的一个动点，且点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，当时，求a的值； （3）观察图象，直接写出当时，a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式， （1）将点坐标代入求出m，将坐标代入反比例函数解析式求出k值即可； （2）由（1）可知，反比例函数解析式为，设点P坐标为，则，列出关于a的方程解答即可； （3）数形结合得到时，a的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴． 【小问2详解】 由（1）可知，反比例函数解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∴， 解得：或（舍去）或或（舍去）， ∴或， 【小问3详解】 由图象可知，当时，或． 20. 实际应用 材料：太阳高度：太阳高度指太阳光线与地平面的夹角，记作H，当地地方时 12时的太阳高度称为正午太阳高度．一天中正午时太阳高度最大，日出和日落时太阳高度为． H的计算公式：纬差（纬差是指某地的地理纬度与当日太阳直射点所在纬度的差值，特别地，南纬北纬地区的纬差为其数值之和） 例如，如图所示，C地的纬度为N，求C地夏至日（太阳直射北回归线N）的正午太阳高度？ 解：夏至日太阳直射的纬度为，与C地的纬度差，那么 应用： （1）深圳纬度约为N，一年中会有两次太阳直射，一般在每年的6月 18日和6月 26日两天，则当天正午太阳高度 （填角度）；冬至太阳直射南回归线 ，则当天正午深圳的太阳高度 （填角度） （2）如图，小明家住在河南焦作（），一年中正午太阳光线与地平面夹角最小在冬至，约为，即，夹角最大在夏至，约为，即，测得他家窗高约为2.3m，即．如图所示的直角遮阳篷，在冬至能最大限度地使阳光射入室内，在夏至又能最大限度地遮挡炎热的阳光，请求出此遮阳篷两直角边的长度．（精确到0.1m，参考数据： ， 【答案】（1） ， （2）遮阳篷直角边约为， 约为． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，读懂题意，正确利用锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据太阳高度的定义进行解答即可； （2）根据题意得到①，②，将②代入到①得，即可得到． 【小问1详解】 解：正午太阳高度自直射点向南北两侧递减，题意可知，正午太阳高度纬差， ∴在每年的6月 18日和6月 26日两天，当太阳直射时，正午深圳当天正午太阳高度， 冬至太阳直射南回归线S，则当天正午深圳的太阳高度， 故答案为： ， 【小问2详解】 由题意可得，，， 在中， ① 在中， ② 将②代入到①得： ∴ ∴遮阳篷直角边约为， 约为． 21. 习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书．已知每本甲种书比每本乙种书多元，若购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费元和元． （1）求甲、乙两种书的单价． （2）如果学校决定再次购买甲、乙两种书共本，总费用不超过元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【答案】（1）甲、乙两种书的单价分别为元、元 （2）该校最多购买本甲种书 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程及不等式的应用，读懂题意，正确找出相等关系和不等关系是解题的关键． 设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元，根据购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费元和元求解即可； 设该校购买了甲种书本，则购买了乙种书本，根据购买甲、乙两种书共本，总费用不超过元，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元，由题意得 ， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合实际． ∴ 答：甲、乙两种书的单价分别为元、元． 【小问2详解】 解：设该校购买了甲种书本，则购买了乙种书本， 则， 解得∶ ∴该校最多购买本甲种书． 22. 如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，抛物线L的函数解析式为 已知抛物线L： 经过点，，求抛物线L的函数解析式． （1）请根据已有信息添加一个适当的条件： ； （2）将抛物线L向上平移m()个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上，求 m的值； （3）如图，点 N为抛物线L的顶点坐标，若平移抛物线L的图象，使其顶点在直线上运动，且平移后的抛物线与y轴负半轴相交，交点为M，则 面积的最大值为 ． 【答案】（1）抛物线经过点 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线，得到，解得，于是可以添加条件抛物线经过点； （2）根据，得到将抛物线L向上平移m()个单位得到抛物线的解析式为，确定其顶点坐标为，计算原点的对称坐标为，结合抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上，代入解析式计算即可； （3）根据，可以确定抛物线的顶点，结合抛物线顶点在直线上，设新抛物线的顶点为，则解析式为，当时，，确定点，表示出面积，构造二次函数求最值即可． 【小问1详解】 根据抛物线， ∴， 解得， ∴可以添加条件抛物线经过点； 故答案为：抛物线经过点． 【小问2详解】 ∵抛物线L：， ∴将抛物线L向上平移m()个单位得到抛物线的解析式为， ∴其顶点坐标为， ∴其关于原点的对称坐标为， ∵抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上， 代入解析式得： ， 解得． 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的顶点， ∵新抛物线顶点在直线上， 设新抛物线的顶点为， ∴解析式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴ , 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的平移，原点对称，构造二次函数求最值，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键． 23. 如图，的三边长分别为，，， 的三边长分别为，，，，相似比为（为常数且，）． （1）若，用k表示a和c的数量关系． （2）在（1）的条件下，请写出符合条件的一对和，使得a，b，c和，，都是正整数． （3）若，，是否存在和相似使得k是正整数？请说明理由． 【答案】（1） （2）取，同时取 （3）不存在这样的和， 理由如下：，， ∴， ∴． ， ， ， ， ， ， 只能取正整数， ， 不存在和相似使得k是正整数． 【解析】 【分析】此题主要考查的是相似三角形的性质及三角形三边关系定理的应用，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键． （1）已知两个三角形的相似比为，则对应边，将所给的条件等量代换即可得到所求的结论； （2）先选取的三边长，然后以的长作为的值，再根据相似比得到的另外两边的长，只要符合两个三角形的三边及相似比都是整数即可； （3）首先根据已知条件求出、与的关系，然后根据三角形三边关系定理来判断题目所给出的情况是否成立． 【小问1详解】 解：且相似比为（为常数且，）， ，； 又， ； 【小问2详解】 解：取，，，同时取，，； 此时， ，且； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $