上海市闵行中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

2024学年第二学期阶段考试 高二 数学试卷 练习时间:120分钟 满分:150分 一、填空题 1.-2 $. xx-1,x+23.0 4.8 5.+1 6.3 79 8.9 9.(-1) 10. (-o,-2)(-1,0)(0,+) 11.42-1 12.② 二、选择题 13.B 14.D 15.C 16.C 三、解答题 17.解(1)证明:因为AC1平面BCDE,DEC平面BCDE,所以AC1DE 由乙BCD=90*,DE//BC知:DE1CD 又CDOAC=C,CD.ACC平面ACD,所以DE1平面ACD. 因为CMC平面ACD,所以DE1CM. 因为CD=CA,M是AD的中点,所以CM1AD. 又ADODE=D,AD.DEC平面ADE,所以CM1平面ADE. (2)AC1平面BCDE,BCD=90*,以C为坐标原点 以CD,CB,CA所在直线分别为x.v.2轴,建立如图所示的空间直角坐标 系,则C(0.0.0),D(2.0.0),E(2,2.0),A(0.0.2),B(0,4.0),M(1.0.1) N(0,2.1) 故CM=(1.0,1),DE=(0.2.0) DN-(-2,2,1), 设平面DEN的法向量为=(x,y,z) M [n.DE-2y-0 则 ,令x-1,则 n.D--2x+2y+z=0 i=(1,0,2). 设直线CM与平面DEN所成角为0 CMa1+0+23V10 10 3V0 即直线CM与平面DEN所成角的正弦值 10 一. 第1页共6页 18.(本题满分14分,第1小题满分4分,第2小题满分10分) 解:(1)因为a=2,b=7,c=3, (2)因为b=2,所以3ccosB+23cosC=c 由正弦定理边化角得3sinCcosB+3sinBcosC=sinC. 所以3sin(B+C)=3sinA=sinC,即c=3a, [3a+a>2 由 3a+2>a解得3-1<a<3+1,所以4-23<a{<4+23, a+2>3a 所以,当a{=4时,△ABC取得最大值S cn=5. 19.(本题满分14分,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满 分6分) 解(1)由题意得:10x(0.01+0.015+0.020+t+0.025)=1:解得(=0.03 设考核得分的平均值为x 则x=10(55x0.01+65x0.015+75x0.02+85x0.03+95×0.025)=79.5. 所以考核得分的平均值为79.5 20 CC63. (3)由题意知,落在区间[70.80)内的数据有40x10x0.02=8个 落在区间[80.90)内的数据有40x10x0.03=12个 记在区间[70,80)的数据分别为x,x2,.,xs,平均分为x,方差为s}; 第2页共6页 在区间[80,90)的数据分别为为y,y,.,y2' 平均分为,方差为s2; 这20个数据的平均数为艺,方差为s^{②} 8二 8+12 8x75+12×85 则乙= 2-81. 20 20 根据方差的定义 一((----)()-) #<(-)_-$8r(-)-,12=, 可得-(-)#)() 2[+(-)]+3-{}+(七-)]} -2[6.25+(75-81)]+[0.5+(85-8)]26.8 故得分在[70.90)内的平均数为81,方差为26.8 20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满 分8分) 解(1)·F、E为圆C的两焦点,且P、Q,为圆上的点, .PF+PF=OF+QF=2a,从而△PO.F的周长为4a 由题意,得4a=42,即△PFO.的周长为42 (2)由题意可设过PO.的直线方程为x=mv+1; P(xo,y),Q(x,y)(x。0,y。>0), x-my+1 联立{ ##222' 消去x得(n}+2)v*}+2my-1=0 2n 则y。+y=-- m^②+2 第3页共6页 则|y%-y、8(t-)<2(当t=时等号成立,即m=0时) 故△PFO面积的取值范围为(0.V2]. (3)设O(X,y),直线FP的方程为: x。+1 整理可得(2x.+3)x^{}+4y{x-3x{}-4x$=0, 则xo# 2xo+3 -x}-4xo,得x=- 3x.+4 2# 3x。+4 2x.+3 2x。+3'2x。+3’ x。-1 理可得(-2x$+3)x^{}-4y2x-3x{}+4x=0, 3x-4y%). 同理,可得Q( 2xo-3'2x。-3 $△o.-S△ra 所以-#222 22 # 22x%。 22 2V2-1. #18 ##### x.18y ##0 x%。 第4页共6页 35 22 4 10 1 21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满 分8分) 解(1)函数f(x)=xsinx定义域为R,对任意xER,有一xER, 且f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x)恒成立,故函数y=f(x)为偶函数 (2)因为函数f(x)=xsinx(xER),所以f'(x)=sinx+xcosx, 令f(x)=0,则sinx+xcosx=0,对满足方程的x有cosx;0 所以x=-tanx, 由函数v三x与函数v三一tanx的图象可知此方程一定有解 故f(x)的一个极值点x。满足tanx。=-x。, 所以 ###si2? tan2)o-# [/(x。)2=(xosinx。)2}=sin{}xo= sin}x.+cos{}x。tan}xo+11+x{} (3)设x.是f’(x)=0的任意正实根,则x。三-tanx。, 因为/(x)=sinx+xcosx=cosx(tanx+x), 所以在第二或第四象限x变化时,f’(x)变化如下 x。 (xo,n+kn) f'(x)(k为奇数) 0 f”(x)(k为偶数) 0 所以满足f’(x)一0的正根x.都为函数f(x)的极值点 第5页共6页 由题可知a,a,..,a.,...为方程x=-tanx的全部正实根且满足 a.<a.<...<a.<..,(n=1,2,.) 所以a_-a.=-(tand,-tana.)-(1+ tand_, tana.) tan(a.,-a.), 3 由tana. tana.>0,可得tan(a-a.)0, 第6页共6页第 1 页 共 4 页 2024 学年第二学期阶段考试 高二 数学试卷 练习时间：120 分钟 满分：150 分 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分， 第 7-12 题每题 5分） 1.若复数  Rbi b  的实部与虚部之和为，则b的值为 ． 2.函数   11 2 f x x x     的定义域为 ． 3.已知   sinf x x ，且 0 π π 2 2lim h f h f h              ． 4.已知等差数列 na 满足 ,a a a a        ，则 a a   ． 5.已知椭圆 x y m     与双曲线 x y m      有相同的焦点，则实数m的值 为 . 6.已知集合  1, 1 , 2A a a   ，且 2 A ，则实数 a的值为__________． 7.已知      2 66 0 1 2 61 1 1x a a x a x a x        ，则 61 2 2 63 3 3 aa a     ___________． 8.已知 ,a b   ，直线 y x a  与曲线 x by e  相切，则 4 1 a b  的最小值 是 ． 9.从椭圆的一个焦点 1F 发出的光线射到椭圆上的点 P，反射后光线经过椭圆 的另一个焦点 2F ，事实上，点  0 0,P x y 处的切线 0 02 2 1 xx yy a b   垂直于 1 2F PF 的角平分线，已知椭圆 2 2 : 1 4 3 x yC   的两个焦点是 21F F、 ，点 P是 椭圆上除长轴端点外的任意一点， 1 2F PF 的角平分线 PT 交椭圆C的长轴于 点  ,0T t ，则 t的取值范围是 . 10.若定义在    , ,   U 上的函数  f x 同时满足：①  f x 为奇函数； ②  1 0f  ；③对任意的  1 2, 0,x x   ，且 1 2x x ，都有 第 2 页 共 4 页    1 1 2 2 1 2 0 x f x x f x x x    ，则不等式  1 0xf x   的解集为___________. 11.正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 棱长为，点 P满足 PB  uur ，点Q满足   11AQ AD AD       ， R  ，则 AP AQ   的最小值为__________. 12. 定义平面直角坐标系中的笛卡儿卵形线为满足方程:    2 22 23 2 2 2 12x y x y      ，则下列结论正确的是 . ①该曲线关于 ,x y轴对称；②曲线与 x轴交点为 14 ,0 5       和  2,0 ；③若点 P 在曲线上，则 2 11 5P y  ；④存在直线 y kx 与该曲线恰有1个交点. 二、选择题（本大题共有 4题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4分， 第 15-16 题每题 5分） 13.已知 , Ra b ，则 a b  是 a b   的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 14.如图所示， AO B  V 表示水平放置的 AOBV 的直观图，则 AOBV 的面积 是（ ） A． 2 B．2 C． 2 2 D．4 15.DeepSeek 系统的登录密码由6个字符组成， 其中前 4位是大写字母D、 E、 E、 P的某种排 列，后 2位是不相同的数字  0 ~ 9 ，则可能的密 码总数是（ ） A．360 B．540 C．1080 D． 2160 16.已知圆锥曲线的对称中心为原点O . 若对于上的任意一点 P，均存在 上的点Q（P Q、 不重合），使得：（1）直线OP与OQ的斜率乘积为定值； （2）线段 PQ的中点M 在一条固定直线上，则称为“双对称曲线”. 现有 如下命题：①任意椭圆都是双对称曲线；②存在双曲线是双对称曲线；下列 判断正确的是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 第 3 页 共 4 页 三、解答题（本大题共有 5题，满分 78 分）解答下列各题必须写出 必要的步骤． 17.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 如图，在四棱锥 A BCDE 中， AC 平面 BCDE， 90BCD  ， //DE BC， 且 2DE CD CA   ， 4BC  ，M是 AD的中点， N是 AB的中点． （1）求证：CM 平面 ADE； （2）求直线 CM与平面 DEN所成角的正弦值． 18.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分） 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中给出了由三角形的三 边 , ,a b c计算三角形面积的公式 22 2 2 2 21 4 2 a c bS a c             ，这就是 “三斜求积”公式.若 ABCV 的内角 , ,A B C的对应边分别为 , ,a b c . （1）若 2a  ， 7b  ， 3c  ，求 ABCV 面积； （2）若 2b  ，且 3 cos 2 3 cosc B C c  ，求 ABCV 面积的最大值. 19.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 4 分，第 3 小题满 分 6 分） 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发 高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分 100分.参 加考核的学生有 40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中 t的值，并估计考核得分的平均值（同一 组中的数据用该组区间的中点值为代表）: （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方 准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的 方法（样本量按比例分配），从得分在  70,90 内的学生中抽取 5 人，再从中挑出 两人进行试课，求两人得分分别来自  70,80 和 80,90 的概率； （3）现已知直方图中考核得分在  70,80 内的平均数为 75，方差为 6.25，在 80,90 内的平均数为 85，方差为 0.5，求 得分在 70,90 内的平均数和方差. 第 4 页 共 4 页 20.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满 分 8 分） 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆： 2 2 1 2 x y  的左，右焦点分别为 1F ， 2F ，设 P是第一象限内上的一点， 1 2PF PF、 的延长线分别交于点 21Q Q、 ． （1）求 1 2PFQ△ 的周长； （2）求 1 2PFQ△ 面积的取值范围； （3）设 21r r、 分别为 1 2PFQ△ 、 2 1PF Q△ 的内切圆半径，求 1 2r r 的最大值． 21.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满 分 8 分） 设函数 ( ) sin ( R)f x x x x  ． （1）判断函数  y f x 的奇偶性，并说明理由； （2）设 0x 为  f x 的一个极值点，证明   4 2 0 0 2 01 xf x x     ； （3）设  f x 在  0,  内的全部极值点按从小到大的顺序排列 1 2, , , ,na a a ，证明：  ,n na a n       L