2025届安徽省皖江名校高三下学期5月联考数学试题

姓名 座位号 (在此卷上答题无效) 数 学 本试卷共4页,19题。全卷满分150分,考试时间120分钟。 考生注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷。 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分;共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.数据1.2.2,3,344,5,5,6的第70%分位数是 B.4 .C4.51 A.2.5 D.5 1.已知复数z满足(1+2i)z=5i,则在复平面内对应的点位于。 B:第二象限 C.第三象限 A.第一象限 D.第四象限 3.已知集合4A-({5o),B=1-3,-2,01,2,3),则AnB= B.1.21 A.1-3,-2,0 C. 11,23 D.0,1.21 A.(0,2) B.(0,-2) C.(-2,0) D.(2,0) A33-1 C.33t B.35-1 35+1 D. 8 。_ 的展开式中,x)的系数为 C.5 D.10 【G-025】数学试卷 第1页(共4页) __} 2v2π ,记函数(x)= P(<x),其中P(<x)表示<x的概率,则 (x)的图象 B.关于直线x-对称 A.关于直线x=1对称 4 D.关于点(1对 C.关于点(1,)对称 8.已知函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)-1,则以下结论错误的是 A.f(0)=1 B.f(x)+f(-x)-2 C.f(x+1)4(x-1)=f(2x)+1 D./(1+x)+f(1-x)=0 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求, 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. 已知平面直角坐标系中.坐标原点为0.A(1.-2).B(m.-1).则 A.若/ō,则n- B.若0:0B,则m=2 C.A不可能为单位向量 D.若m=-1.则l20A-0B1-32 A.VxER,f(x+r)=f(x) C.f(2)在(,"n)上单调减 11.设正整数m三3(m为常数),单调递增数列a,a2,..,a. 各项均为正数,设集合S.= la·a 1<i<m,i.j均为正整数,对有限集s,记isi为s中元素的个数,则以下结论正确的是 A.若m=4,a=1,a=2,a.=4,a=8,则1$.1=5 B.若!a.是等差数列,则1s.1-m(m-1) C.1$.l的最大值为m(m-1) 2 D.若rsI=2m-3,且.m>6,则必有a.·a=az·a3 【G-025】数学试卷 第2页(共4页) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若m>o,n0,m+2n-1,则-+2的最小值是 mm n 13.已知圆台的母线长为5,上底面圆的直径为6.下底面圆的直径为12,则该圆台的体积为 四、解答题:共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) (1)若x=2,求△ABC的面积; (2)若存在两个这样的△ABC,求x的取值范围 16.(15分) 如图1.E.F.C.H分别是正方形ABCD各边中点,将△AEH.△BEF,△CFG.△DGH分别沿EH.EF FG.GH折起,使得△AEH.△BEF.△CFG.△DGH所在平面与底面EFGH均垂直(如图2).连接AB BC.CD.DA 图1 圈2 (1)证明:ABCD/平面EFGH (2)求平面AEB与平面CGD所成二面角的正切值 【G-025】数学试卷 第3页(共4页 17.(15分) 已知函数f(x)=ax+sinx.曲线o=ffx)在(π.f(π))处的切线斜率为0 (1)证明:函数f(x)在R上单调递增 (2)设g(x)三mx+f(x),若m<-,判断函数g(x)的零点个数. 6 18.(17分) 为了满足消费者的购买需求,商家推出了颇具吸引力的购买盲盒活动,甲系列盲盒一套共有6款 不周造型的玩具车(每个盲盒内放有其中1款玩具车,每款玩具车对应的盲盒数量充足),乙系列 盲盒一套共有6款不同造型的玩偶(每个盲盒内放有其中1款玩偶,每款玩偶对应的盲盒数量充 足).甲乙盲盒外形不同,各系列内部各种盲盒外形,质量等均完全一样,消费者在购买时无法提前 得知自己会买到哪一款玩具类型,这种充满不确定性的购买体验正是盲盒的魅力所在 (1)某玩家在一家只销售甲系列的商家购买了3盒盲盒,求能收集到至少2款不同玩具车的概率 (2)东东家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶,冬冬家有与东东家不一样的2台不同玩具车和 2个不同玩偶,他们俩每次各取一件盲盒进行交换,第一次交换的盲盒可以参加第二次交换 ①两人交换一次后,求东东家仍有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶的概率; ②两人交换两次后,求东东家玩具的玩具车的台数X的分布列和数学期望 19.(17分) 坐标为(2.0).点P在圆F. 上.线段PF。的垂直平分线交线段PF,于点 (1)求动点0的轨迹曲线C的方程 (2)斜率为-的直线m交双曲线E于点A,B,若弦AB的中点M恰好在曲线C上,求点M的坐标; (3)记双曲线E与曲线C在第一象限的交点为N.2F.NF。的平分线为n.在曲线C上是否存在不 同的点S.T.使得点关于直线n对称?若存在,求出S.T所在直线方程,若不存在,请说明理由 【G-025】数学试卷 第4页(共4页)一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C 以 D A B B C D 8.【解析】令y=x=0,有f0)=2f(0)-1,从而∫(0)=1.A结论正确！ 令y=-x,得∫0)=f(x)+(-x)-1,故f(x)+f八-)=2，B结论正确！ 依题意，fx+1)+f(x-1)-1=fx+1+x-1), 即f(x+1)+f八x-1)=f(2x)+1,C选项结论正确」 因为f(x)=x+1满足f(x+)=f(x)+f()-1, 但不满足∫1+)+∫1-)=0，D结论错误I 二、选择题： 题号 9 10 11 答案 AD BCD ACD 9.【解析】若OA/O丽，则1×(-1)-(-2)×m, 解得m=分A正确： 若0A⊥0B,则1×m+(-2(-1)=0,解得m=-2,B错误： 若A万=(m-1,1),当m=1时，AE=1,AB是单位向量，C错误： 若m=-1,则20A-0=(3-3),20A-0可=32，D正确1 10.【解析】因为函数丙期T=2年=4坏，所以A错误： 1 2 易知水-行-2coa×(孕-月-2co-受-0，放卫正确： 当xe写)时，0<-<受，c正确： 2 63 由于-2co-骨-2sr---2sn-=2sn-管- 32 =2anr+月=2sn时a+受 故D正确！ 11.【解析】对于选项A,计算可得4=(2,4,8,16,32，答案正确！ 因为从m个元素中任取两个元素，一共有C=m仍一卫种，因此选项C正确！ 2 若等差数列4，=i,则46=6=44，所以SKm0-卫，选项B错误！ 2 因为a凸2<a2马<aa4<…<am-am,所以Sm中至少包括m-1个元紫， 又aal<a,a42<a41a+2'且a%<a<a4,<<am-2am' 所以Sn中至少还包括m-2个元素，故Sm22m-3. 因此，当|Snl=2m-3,可记集合8n={a,a1l1≤ism-1U{a,a42l1≤i5m-2), 显然aae(a,al3≤i<ml,aa{a,a2l2≤i<m-1), 又aa≠4凸2，a4a,≠a244,所以aa=a2,即选项D正确！ 三、填空题： 12.9 13.84π 14.4 e 14.【解析】由-nz+n业≥。 可得1n(巡e)≥e,即ne1-c+1≥0， 记f=ht-t+1>0,则f阅=1， 所以当0<t<1时，函数∫()单调递增，当t>1时，函数∫()单调递减， 从而f)mx=f1)=0, 因而型c1=1,从而w=x2, 记g()=x2e1-(e>0),则g《x)=(2-x)ze-, 所以当0<x<2时，函数g(c)单调递增，当x>2时，函数f()单调递减， 即g0)x=g2=4 e 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】 (1)由正弦定理 sin A sinG' 所以22.2 sin A 2 解得si加A=1,故A=, …(4分） 2 从而B=受b=2,故△ABC的面积S=bce=2。 (8分) 2 (2)(方法一)由正弦定理，。 品0将血A=子 (10分) 2 依题意，sinA=2在0<A<3江有两解. w 2 作出y=SinA在0<A<3红的图象， sin/ 4 如图，怎<2<1，解得2<<22.…（13分) 2 (方法二)由余弦定理，c2=a2+b2-2 becosC，即x2=8+b2-4b, 整理得62-4b+8-x2=0, …(13分） △>0， 依题意该方程有两个不同的正实数解解，故+42>0，解得2<x<2√2.…(13分) 42>0, 16.【解析】 (1)如图1，A,B,CD在平面EFGH上的投影A',B,C,D分别为EH,EFFG.GH的中点， 因为△AEH,△BEF,△CFG,△DGH是全等的等腰直角三角形， 所以AA=BB=CC=DD',…（2分) 又△AEH,△BEF,△CFG,△DGH所在平面与底面EFGH均垂直， 所以AA',BB',CC',DD'与底面EFGH均垂直， 从而AA∥BB∥CC∥DD,…… (4分) 故四边形AA'C'C,BB'D'D均为平行四边形（矩形）， 因此AC∥A'C',BD∥BD', 444…（6分) 而AC与A'C',BD与B'D'均相交， 所以ABCD∥平面EFGH. (7分) 答案图1 答案图2 答案图3 (2)(方法一)如图2建立空间直角坐标系，不妨设EF=2,则 A0-1,10,B1,0,10,E1,-1,0),C0,1,1),D(-1,01)G(-1,1,0), 不妨设平面ABE的法向量为%1=（红，，2），则 -x+2=0, %Ei=0,%E死=0，从而 y+z=0, 取z=1,则%1=(1，-1,1)， (9分) 同理可得平面CDG的一个法向量为2=(1，-1，-1)， 从而lcos,nz= 1 (12分) 故sin(,nz= ”业22 23 所以，ltan(%,nz=2W2, 即所求平面AEB与平面CGD所成二面角的正切值为2√5， (15分) (方法二)如图3，取AB',AB的中点M,N, 易证AB⊥平面EMN, …(9分) 记8=∠ENM. 由对称性可知，所求角是∠EWM的二倍. (10分) 根据愿意，不妨设EN=L,则MN=AA=EA'=反，所以a0=三 因此tan20= 反 =2√2」 (12分) 1 1- 17.【解析】 (1)依题意，∫(x)=a+cosx, 号年880单44454408年50400400004。 (2分) 因为曲线y=f()在（π，f(》处的切线斜率为0， 所以f()=0-1=0,即a=1.…(4分) 所以fa)=x+sinx,f(a)=1+cosx20, 故函数∫(g)在R上单调递增.…(8分) (2)由(1)，)x,所以g(x)=mx3+x+sinx g'(x)=3mx2+1+cosx,g"(x)=6mx-sinx,g"(z)=6m-cosx, 当m≤-言时.9国≤-1cosr≤0，所以g单调遥减。（10分) 因为g"(0)=0,所以当x>0时g(x)<0,从而函数g'(x)单调递减， 又9'(0)=2>0，g'2)=12m+1+cos2≤-2+1+cos2<0, 从而存在唯一∈(0,2)，使得g'(x)=0, 且当x∈(0，x)时，g'(x)>0,g(a)单调递增，g(x)>g(0)=0 当x∈(o,+∞)时，g(x)<0,g(x)单调递减， 而g(x)>g(0)=0,g()=mr3+π+sinπ=π(mr2+1)<0, 故存在唯一ge(0,o∞)，使得g(g)=0. (13分) 因为g(-x)=-g()，g(x)是奇函数，且g(0)=0, 所以函数g(x)有3个零点。…(15分) 18.【解析】 (1)记“玩家购买3盒甲系列盲盒，只收集到1款玩具车”为事件A,“玩家购买3盒甲系 列盲盒，至少收集到2款玩具车”为$件B, 则PB=1-P=1-C=1--35 （4分) 63 3636 (2)①依题意，两人交换的恰好都是玩具乍或者都是玩偶，因此所求概率为 P-Ix1+1x1=1 …(6分) 22222 ②依题意，X的可取值为0,1,2,3,4， 依题意，X=0即两次交换中，东东家拿出的都是玩具车，冬冬家拿出的都是玩偶， 因此，PX=0=2x2×2x2=1 414464' *”(8分) X=1包括以下2种情况：(1)第一次交换后东东家还是2款玩具车2款玩偶，第二 次交换后东东家有1款玩具车3款玩偶：（②）第一次交换后东东家是1款玩具车3款 玩偶，第二次交换后东东家还是1款玩具车3款玩偶， 因此，PX=1)=x2x2+2x2x2x是+x37 ×二×(×二+ 2*4*4+4*×*4+4*=32 X=2包括以下2种情况：(1)第一次交换后东东家还是2款玩具车2款玩偶，第二 次交换后东东家有2款玩具车2款玩偶：(2)第·一次交换后东东家是1款玩具车3款 玩偶，第二次交换后东东家还是2款玩具车2款玩偶，(3)第一次交换后东东家是3 款玩具车1款玩偶，第二次交换后东东家有2款玩具车2款玩偶， 因此，Px=2=x+2x2x2x3+2x2×2x3- 224444444432 ，…(12分) X=4即两次交换中，东东家拿出的都是玩偶，冬冬家拿出的都是玩具车， 21211 因此，P(X=4)=二×二×二×二= 44^4464' 故P(X=3)=1- 117177 64643232321 所以，所求分布列为 X 0 1 2 3 4 、1 7 17 7 1 64 32 32 32 64 4…(15分) 因此数学期望®(X)= ×0+ x1+x2+ ×3+ 64 2 32 32 ×4=2.…(17分） 64 19.【解析】 （1)双曲线B:2-艺=1的渐近线为y=士5x, 3 不妨取一条渐近线为y=V3x, 则圆心￡(-2,0)到直线y=Vx的距离d=√3， 从而3+61=a2,解得a=8,…(3分) 故Q+Q=|2+QPH=PF=8>2, 所以，点Q的轨迹C是以F,E为焦点，长轴长为8的椭圆， 因此其标准方程为后+1.…… …(5分） (2)设A,,B,hM,6,则52-头-1且2-女2=1， 3 3 两式相减，得（乌+X4-)=+h二2， 从而=%二边、，即6=6，…(8分） %63(-2) 代后+1=号 故点M的壁标为（得斜）（学） …(10分） (3)联立 3 解得N(2,3), 16'12 从而，NF,NF2的方程分别为3红-4y+6=0,x=2,…(12分) (方法-)设DG动为∠RN3的平分线n上任意一点，则B3z-g+回=k-2, 5 化简得2x-V-1=0或x-2y+8=0, 但平分线n与x轴的交点在耳，E之间， 检验可知所求角平分线n的方程为2x一y-1=0. …(14分） 设S(为，T(,),ST的中点为M(%), 则6=十三，6=十弘，直线ST的斜率弘二弘=号 2 2 -x42 +监= 因为 1612 所以乌+治型+幽+=型-0，敢%- 16 12 1612 代入2x-y-1=0得 =2, (6=3, 但点(2,3)与点N亚合，即在椭圆上，矛盾！ 故在曲线C上不存在不同的点S,T,使得点S,T关于直线n对称.·(17分) (方法二)设D(x,0)为∠RN的平分线n与x轴的交点（如图）， 由角平分线定理得， EFNE ER NE 即3+25 2-23 入 (利用E到NR,N的距离相等也可)， 解得云=号，从而所求角平分线n的方程为2x-?-1=0. 2 …（14分) (以下同方法一) (方法三)设E为∠FNE的平分线n与z轴的交点（如图）， 男知m<RN3-手 可解得am=子，即an∠BN3= 2 所以tan∠NER=2, 从而所求角平分线n的方程为2x-y-1=0. (14分) (以下同方法一) (方法四)设I(x,)为△RNF的内心（如图），△NR内切圆半径为r, 则r=W+E-W☒-3+4-5=1， 2 可得x=y=1,即I的坐标为(1,1)， 从而所求角平分线n的方程为2x-y-1=0. (14分) (以下同方法一) (方法五)延长NE至M,使得点M的坐标为(2，-2)， 则MN=NR引，△NM为等腰三角形， 此时线段乃M的中点为(0，-1)，角平分线n经过点(0，-1) 故所求角平分线n的方程为2x-y-1=0. (14分) (以下同方法一)