湖南省湘潭市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

湘潭市第一中学2025年上学期期中考试

高一数学

时间：120分钟  总分：150分  命题人：秦述平

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知向量满足，且，则与的夹角为（   ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数，则（   ）

A. 2 B. 1 C.  D.

3. 已知，则在上的投影向量为（   ）

A.  B.  C.  D.

4. 在中，若，则是（   ）

A.  B. 或 C. 或 D.

5. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（    ）

A.  B.  C. 20 D. 21

6. 如图，在，已知，则为（   ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则可能的值是（   ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知在钝角中，是钝角，，点是边上一点，且，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

9. 下列关于函数的说法正确的是（   ）

A. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位

B. 函数的图象关于点中心对称

C. 若，则

D. 函数在区间内单调递增

10. 下列命题正确的是（    ）

A.

B. 已知，为非零实数，若，则与共线

C. 若为非零向量，若“”则“”

D. 若单位向量满足，则与的夹角为0

11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则（    ）.

A. 存在点，使平面 B. 不存在点，使四点共面

C. 三棱锥的体积是定值 D. 经过四点的球的表面积为10

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知，则的最小值为______．

13. 一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，则与所成的角为_____________．

14. 在梯形中，，梯形外接圆圆心为，圆上有一个动点，求的取值范围__________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 已知．

（1）化简求值：；

（2）若是第一象限角，，且，求的值．

16. 如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点．

（1）求证：平面．

（2）求三棱锥的体积．

17. 已知向量是平面内的一组基底，且与的夹角为锐角，