精品解析：江苏省无锡市东林集团2024-2025学年下学期八年级数学期中学业质量测试

2025年春学期期中学业质量测试 八年级数学 考试时间：100分钟 满分分值：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A. 调查市场上蛋糕的质量情况 B. 调查全国中小学生的身高情况 C. 调查某新能源汽车的电池使用寿命 D. 调查航天飞机零部件是否合格 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 床前明月光 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 黄河入海流 3. 下列各式中，约分正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 6. 如图，在菱形中，若，则菱形的面积是（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 48 7. 一组数据的样本容量是60，若其中一个数出现的频率为0.5，则该数出现的频数为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 120 8. 如图，延长矩形的边至点，使，连接，如果，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，P是对角线上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，对角线、交于点，为上一点，，，垂足分别为、，连接、，与交于点，在下列结论中：①；②是等腰三角形；③；④；⑤平分正确个数是（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分，答案填入答题纸上） 11. 已知分式有意义，则x的取值范围是_______． 12. ，则__________． 13. 如图，中， ，则_______． 14. 若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为.___________ 15. 在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色与红球不同的白色小球，均匀混合后，有放回的随机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为_____． 16. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到的位置，则_________． 17. 如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交，于点E、F，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为_________． 18. 如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，的最小值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答时需写出必要的文字说明或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 20. 先化简，再求值：请从-2，-1，0，1，2中选择一个合适的数，求此分式的值． 21. 科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础，某学校计划在八年级开设 “无人机”、“创客”、“AI”、“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出)． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，选择“航模”课程的学生占_____，所对应的圆心角为____． （3）若该校八年级共有600名学生，试估计选择“AI”课程的学生有多少名？ 22. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点O成中心对称的，再把 向上平移4个单位长度得到． （1）画出和； （2）与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是_______； （3）已知点P在格点上，若，请问这样的点P有______个．（点P异于点C） 23. 如图，点E、F分别在的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O． （1）求证：AC、EF互相平分； （2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状并证明． 24. 实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好落在上的点处，得到折痕交于点M，再把纸片展平．问题解决： （1）如图1，求证：四边形是正方形． （2）如图2，若，求的面积． 25. 如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．例：分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k． （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”． ①求G； ②若x为正整数，分式D的值也为正整数，则x值为________． 26. 如图1，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形． [方法]若点P、Q分别为、的中点，猜想线段与线段有怎样的数量关系？并说明理由； [探究]如图2，将矩形绕点C顺时针旋转，旋转角为．连接、，点H为中点，线段与线段有怎样的数量关系？并说明理由； [应用]如图3，在矩形绕点C旋转的过程中，连接，点H为中点． 若，，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期期中学业质量测试 八年级数学 考试时间：100分钟 满分分值：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A. 调查市场上蛋糕的质量情况 B. 调查全国中小学生的身高情况 C. 调查某新能源汽车的电池使用寿命 D. 调查航天飞机零部件是否合格 【答案】D 【解析】 【分析】普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多.一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】调查市场上蛋糕的质量情况适宜采用抽样调查方式，A错误； 调查全国中小学生的身高情况适宜采用抽样调查方式，B错误； 调查某新能源汽车的电池使用寿命适宜采用抽样调查方式，C错误； 调查航天飞机零部件是否合格适宜采用普查方式，D正确， 故选D． 2. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 床前明月光 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 黄河入海流 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的定义逐一判断即可：在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件． 【详解】解：A、床前明月光是随机事件，不符合题意； B、大漠孤烟直是随机事件，不符合题意； C、手可摘星辰是不可能事件，不符合题意； D．黄河入海流是必然事件，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了事件的分类，熟知必然事件的定义是解题的关键． 3. 下列各式中，约分正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．根据分式的约分法则计算，判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，不能约分，故本选项结论不正确，不符合题意； B、，故本选项结论不正确，不符合题意； C、，结论正确，符合题意； D、，故本选项结论不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 5. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等． 6. 如图，在菱形中，若，则菱形的面积是（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质及菱形面积的求法，解题的关键是根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：连接，交于点 在菱形中，，， ，， ， ， 菱形的面积． 故选：B． 7. 一组数据的样本容量是60，若其中一个数出现的频率为0.5，则该数出现的频数为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查频率、频数、总数的关系，属于基础题，比较简单，注意熟练掌握：频数=频率×数据总和．根据频率、频数的关系：频数=频率×数据总和，可得这一小组的频数． 【详解】解：∵容量是的，某一组的频率是0.5， ∴样本数据在该组的频数 ． 故选：C． 8. 如图，延长矩形的边至点，使，连接，如果，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查矩形性质．连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，，且， ， 又， ， ， ， ，即． 故选：C． 9. 已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点，P是对角线上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，一次函数与几何的综合应用，连接，，根据对称性，得到，进而得到，得到点在线段上时，的值最小，平移思想求出点坐标，进而求出直线的解析式，直线与直线的交点即为点的坐标． 【详解】解：连接，， ∵菱形， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴点在线段上时，的值最小， ∵， ∴点向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点，点在第一象限的角平分线上， ∴点向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点，直线的解析式为：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 联立，解得：； ∴； 故选B． 10. 如图，在正方形中，对角线、交于点，为上一点，，，垂足分别为、，连接、，与交于点，在下列结论中：①；②是等腰三角形；③；④；⑤平分正确个数是（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形性质证明≅，从而可判断①；再证明，可证明为等腰直角三角形，所以，，即平分，从而可判断②⑤；设交于点，连接，由知，，由为等腰直角三角形知，证明，可得，，从而为等腰直角三角形，故得，在中，由勾股定理可得，即，可判断④；如图所示，作，因为，故，当且仅当时，成立，故可判断③． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，①正确；， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故为等腰直角三角形，故②正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分，故⑤正确； 设交于点，连接，如图所示， ∵为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴，． ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即，故④正确； 如图所示，作， ∵， ∴， ∴， 当且仅当时，成立，故③不一定正确． 综上，正确的序号为①②④⑤， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上内容是解题关键． 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分，答案填入答题纸上） 11. 已知分式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】x≠-1 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母≠0列式求解即可. 【详解】由题意得 x+1≠0， ∴x≠-1. 故答案为x≠-1. 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义.分式是否有意义与分子的取值无关. 12. ，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，异分母分式的加减法，条件式变形得到，整体代入法，求值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，中， ，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，，可求出的度数，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 14. 若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为.___________ 【答案】AC⊥BD 【解析】 【分析】如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH=90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO=90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD=90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直． 【详解】顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为对角线垂直，理由： ∵四边形EFGH是矩形， ∴∠FEH=90°， 又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点， ∴EF是三角形ABD的中位线， ∴EF∥BD， ∴∠FEH=∠OMH=90°， 又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点， ∴EH是三角形ACD的中位线， ∴EH∥AC， ∴∠OMH=∠COB=90°， 则AC⊥BD，故四边形ABCD满足的条件为对角线垂直． 故答案为AC⊥BD． 【点睛】此题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论． 15. 在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色与红球不同的白色小球，均匀混合后，有放回的随机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】利用频率估计概率，设原来红球个数为x个，根据摸取30次，有10次摸到白色小球结合概率公式可得关于x的方程，解方程即可得. 【详解】解：设原来红球个数为x个， 则有=， 解得，x=20， 经检验x=20是原方程的根. 故答案为20． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率和概率公式的应用，熟练掌握概率的求解方法以及分式方程的求解方法是解题的关键． 16. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到的位置，则_________． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得，再由计算即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∴， 故答案为：35． 17. 如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交，于点E、F，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明，即可求解． 【详解】解：作于M，交于N，如图， 则四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴， ∴，，，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：21． 18. 如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短问题．设Q是的中点，连接，先证得，得出，根据点到直线的距离可知当时，最小，然后根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：设Q是的中点，连接， ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∴，即， ∵，M为中点，Q是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵点N在直线上运动， ∴当时，最小， ∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值是为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答时需写出必要的文字说明或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减及乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键， （1）根据同分母分式的加法法则计算即可； （2）根据分式的乘法法则计算即可。 【小问1详解】 解：原式= ． 【小问2详解】 解：原式= ． 20. 先化简，再求值：请从-2，-1，0，1，2中选择一个合适的数，求此分式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算可得． 【详解】解： ， ∵a≠0且a≠±2，a≠-1， ∴a=1， 则原式=． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 21. 科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础，某学校计划在八年级开设 “无人机”、“创客”、“AI”、“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出)． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，选择“航模”课程的学生占_____，所对应的圆心角为____． （3）若该校八年级共有600名学生，试估计选择“AI”课程的学生有多少名？ 【答案】（1） 补全条形统计图如图所示： （2）10；36 （3）240名 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，熟知扇形统计图和条形统计图的特征是解题的关键． （1）根据选择无人机课程的人数除以占比可求出参加问卷调查的人数为50名，再求得“AI”课程的学生数，然后补全条形统计图即可； （2）直接列式计算求得“航模”课程所占的百分比，再乘以即可求得其对应的圆心角的度数； （3）用学生数乘以样本中“AI”课程所占的百分比即可解答． 【小问1详解】 解：参加问卷调查的学生人数为名， 选择“AI”课程的学生人数为名． 【小问2详解】 解：因为， 所以选择“航模”课程的学生占． 因为。 所以扇形统计图中选择“航模”课程的学生部分所对的圆心角的度数为． 故答案为：10，36． 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计选择“AI”课程的学生有100名． 22. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点O成中心对称的，再把 向上平移4个单位长度得到． （1）画出和； （2）与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是_______； （3）已知点P在格点上，若，请问这样的点P有______个．（点P异于点C） 【答案】（1） 如图，和即为所求； （2） （3）6 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—中心对称和平移，熟练掌握中心对称和平移的性质，是解题的关键： （1）根据中心对称的性质，平移的性质，画出图形即可； （2）根据成中心对称对称的特点，连接，交点即为对称中心； （3）利用平移思想，画出满足题意的点，判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知：对称中心的坐标是； 【小问3详解】 如图，由图可知，符合条件的点共有6个； 23. 如图，点E、F分别在的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O． （1）求证：AC、EF互相平分； （2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状并证明． 【答案】（1）证明：  在▱ABCD中，AB∥CD，AB=CD，， ∵BE=DF， ∴AE=CF， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AC、EF互相平分． （2）四边形AECF是菱形，理由如下：  EF平分∠AEC，  是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得出AB∥CD，AB=CD，再根据证明 即可得出结论． （2）证明结合（1）问的结论可得答案． 【详解】（1） 略 （2）略 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 24. 实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕，然后再把纸片展平；第二步：如图2，将图1的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好落在上的点处，得到折痕交于点M，再把纸片展平．问题解决： （1）如图1，求证：四边形是正方形． （2）如图2，若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在上的点处，得到折痕， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； （2）6． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据，即可得出结论； （2）连接，，由矩形的性质得到，由折叠的性质，证明，得到，设，由勾股定理得，解得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，， 由（1）知，， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得：， 即， ∴的面积 =． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 25. 如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．例：分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k． （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”． ①求G； ②若x为正整数，分式D的值也为正整数，则x值为________． 【答案】（1）A与B是互为“和整分式”，“和整值” （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法、解一元一次方程、解分式方程，熟练掌握运算法则并理解题意是解此题的关键． （1）根据分式的加法运算法则得出，结合题意判断即可； （2）根据题意可得，再去分母，整理即可得解；②由①可得，结合题意得出或，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”； 【小问2详解】 解：①∵分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”． ∴， 去分母可得：， ∴； ②∵， ∴， ∵x为正整数，分式D的值也为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为或． 26. 如图1，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形． [方法]若点P、Q分别为、的中点，猜想线段与线段有怎样的数量关系？并说明理由； [探究]如图2，将矩形绕点C顺时针旋转，旋转角为．连接、，点H为中点，线段与线段有怎样的数量关系？并说明理由； [应用]如图3，在矩形绕点C旋转的过程中，连接，点H为中点． 若，，求面积的最大值． 【答案】 [方法]，理由： 连接，， ∵矩形，P是的中点， ∴点P是、的交点， ∴， 同理，， ∴是的中位线， ∴； [探究]，理由如下： 延长到点N，使，连接，， ∵点H为中点，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ［应用］27 【解析】 【分析】[方法]根据矩形的性质得点P是、的交点，点Q是、的交点，且，，根据三角形中位线定理即可得出结论； [探究]延长到点N，使，则四边形是平行四边形，证明，可得，即可得出； [应用]过点E作于P，过点H作于Q，连接，由题意可得，图形在旋转过程中，P、C、E在同一直线上时，最大，即的值最大，此时，，求出NE，可得的值，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：[方法]略 [探究] 略 ［应用］过点E作于P，过点H作于Q，连接， 在中，， ∵点H为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点H为中点， ∴是的中位线， ∴， 由题意可得，图形在旋转过程中，P、C、E在同一直线上时，最大，即的值最大， 此时，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴面积的最大值． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线等，熟练掌握全等三角形的判定与性质及旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $