精品解析：2025年江苏省南京市玄武区中考一模数学试卷

2024~2025学年度第二学期九年级学情调研卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. 3 B. C. D. 4. 已知一组数据：6，8，6，6，4，这组数据的方差是（ ） A. B. C. D. 5. 如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图①，将矩形纸片对折，折痕为；如图②，展开纸片，连接交于点G；如图③，再沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在点G处，折痕为，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 比较大小：________．（填“”、“”或“”号） 8. 2025南京半程马拉松约有人报名，用科学记数法表示是_______． 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 10. 分解因式________ 11. 设，是关于x的方程的根，且，则k的值为_______． 12. 方程的解是__________． 13. 如图，在菱形中，是对角线，的交点，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若，则的度数为_______． 14. 如图，正方形的顶点B，C在x轴上，是的中点，反比例函数的图像经过点A，E，若．，则k的值为_______． 15. 如图，在中，，延长至，使，连接，分别是的中点，连接，若．，，则的长为_______． 16. 在中，，边上的高是10，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组： 18. 先化简，再求值：，其中 19. 如图，在四边形中，是边上一点，连接，，平分，．求证：． 20. 、、三款智能机器人都能执行搬运、组装、测试中的任意一项任务．、、分别从搬运、组装、测试中随机选择一项任务，且选择的任务均不相同． （1）A随机选择搬运的概率是_______； （2）求选择搬运，选择组装，选择测试的概率． 21. 如图，在中，O是边上一点，和关于点O成中心对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求证：四边形是菱形． 22. 《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，票房表现非常强劲．阅读以下统计图并回答问题． （1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为_______亿元． （2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是_______．（填日期） （3）下列结论中，所有正确结论的序号是_______．（说明：全部填对的得4分，部分填对的得2分，有填错的得0分） ①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势 ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为3．87亿元 ③1月29日至2月7日，2月4日的单日总票房最高 ④1月29日至2月7日，单日总票房先上升后下降 23. 如图，南京定林寺塔堪称“世界第一斜塔”．设斜塔的塔底为A，塔顶为B，过点A作地面的垂线，垂足为A，过点B作的垂线，垂足为C，斜塔与的夹角，在点E的正上方点D处测得塔顶B的仰角为，塔底A的俯角为，，求塔顶到地面的距离． （参考数据：，，） 24. 如图，是的外接圆，，过点A作，且与的延长线交于点D． （1）求证：是的切线； （2）连接，并延长与交于点M，连接，并延长与的延长线交于点N． ①求证：； ②若的半径为5，，则的长为_______． 25. 一架巡逻机从某基地出发，出发时油箱中油量为24000升．如图①，为了确保巡逻机持续飞行，出发后每隔1小时开始对飞行中的巡逻机进行空中加油，每次加油的速度为1600升/分钟，加油时间为2分钟．飞行过程中，假设巡逻机平均每分钟的耗油量相同，巡逻机的剩余油量y（升）与飞行时间x（分钟）之间的部分关系如图②． （1）飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为_______升；加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为_______升/分钟； （2）求线段的函数表达式，并写出点A的实际意义； （3）要使巡逻机返航时的剩余油量不低于16000升，则x的最大值为_______． 26. A，B是二次函数（a，b，c为常数，且，）图像上的点，且轴，C是该函数图像的顶点．顶点C到直线的距离为h，． （1）若顶点C的坐标为，，则a的值为_______； （2）当时，求证：； （3）点A的坐标为，当时，y的最小值为，则a的值是_______． 27. 光的折射． 物理常识 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射． 当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角α的正弦与折射角β的正弦之比（α，β均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号n表示，即． 【概念理解】 （1）如图①，若入射角的度数为，折射率，求折射角β的度数． （2）如图②，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率，是入射光线，点A是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【深入思考】 （3）如图③，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率，直线l上有一个位置固定的遮光板，且M是的中点；在直线l下方有一个圆形区域，且与相切于点M．点光源P在直线l的上方，经过遮光板的遮挡，使得折射光线不能进入的内部．已知的半径为，．（假设入射光线在端点A，B处能够发生折射） ①点光源P到直线l的距离的最大值是_______； ②满足条件的点光源P所形成的区域面积随着折射率n的值变大而_______．（填“变大”或“变小”） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期九年级学情调研卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 2. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方，据此逐一计算判断即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意， 故选：B． 3. 计算的结果是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式化简的法则． 利用二次根式化简的法则进行化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 4. 已知一组数据：6，8，6，6，4，这组数据的方差是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和方差，解题的关键是熟练掌握方差的公式． 先求出本组数据的平均数，然后利用方差公式求解即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 5. 如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题意可设，且，然后分别求出当，，时，路程与运动时间之间的函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据图象②，可设，且， 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向上； 当时，， 此时的函数图象为直线的一段； 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向下； ∴该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是 ． 故选：D． 6. 如图①，将矩形纸片对折，折痕为；如图②，展开纸片，连接交于点G；如图③，再沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在点G处，折痕为，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，根据折叠得到，证明，得到，折叠推出垂直平分，设，同角的余角相等，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：折叠可知：，设交于点， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴垂直平分， ∴，， 设，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 故选B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 比较大小：________．（填“”、“”或“”号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：，， ∵，， ， ∴ ， 即 ． 故答案为：． 8. 2025南京半程马拉松约有人报名，用科学记数法表示是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定的值是解题的关键． 根据科学记数法的表示方法进行解题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据题意可知，再求出解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 10. 分解因式________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．先提取公因式，再利用公式法继续分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 11. 设，是关于x的方程的根，且，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 根据条件得出，，原式整理为，从而列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，知， ∴，即 解得． 故答案为：． 12. 方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解： 经检验：是原方程的根． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，注意要检验. 13. 如图，在菱形中，是对角线，的交点，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质，旋转的性质是解题的关键，由旋转性质及菱形性质得，，，，从而得，，，进而即可得解． 【详解】解：∵将菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ∴，，，， ∴，，， ∴； 故答案为：． 14. 如图，正方形的顶点B，C在x轴上，是的中点，反比例函数的图像经过点A，E，若．，则k的值为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、反比例函数与几何应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．先根据正方形的性质可得，，再设，则，，代入反比例函数的解析式求解即可得． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵是的中点， ∴， 设，则， ∴，， ∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16． 15. 如图，在中，，延长至，使，连接，分别是的中点，连接，若．，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理和相似三角形的判定及性质． 连接，过点作交于点，利用勾股定理求出的长度，再得出，根据相似三角形的性质求得，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， ∵，， ∴， ∵,点是的中点， ,， 由勾股定理得, ∵， ， 点是的中点， ， ， 由勾股定理得, 故答案为：． 16. 在中，，边上的高是10，则的最小值为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程的根的判别式，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，求出，，根据化简得，由可求出可得结论． 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，如图， ∴，， ∵， 平方后得：， 化简得，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴的最小值为15． 故答案为：15 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，据此求解即可． 【详解】解：原不等式组为 解不等式①，得． 解不等式②，得． 原不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据分式的混合运算法则进行化简，再代数求值． 【详解】解：原式 ， 将代入， 原式． 19. 如图，在四边形中，是边上一点，连接，，平分，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判断，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由题得，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论． 【详解】证明：， ． ． ， ． 平分， ． ． 在和中，， ． 20. 、、三款智能机器人都能执行搬运、组装、测试中的任意一项任务．、、分别从搬运、组装、测试中随机选择一项任务，且选择的任务均不相同． （1）A随机选择搬运的概率是_______； （2）求选择搬运，选择组装，选择测试的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或者列表法求概率，简单概率的计算公式，解题的关键是熟练掌握树状图或列表法求概率． （1）利用树状图即可求出概率； （2）利用树状图即可求出概率． 【小问1详解】 解：根据题意，画出树状图如下： 等可能出现的情况有6种，符合要求的情况有2种， 所以，A随机选择搬运的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画出树状图如下： 等可能出现的情况有6种，符合要求的情况有1种， 所以，选择搬运，选择组装，选择测试的概率是． 21. 如图，在中，O是边上一点，和关于点O成中心对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定． （1）根据中心对称图形的性质得到，，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）连接．先证得四边形是平行四边形，求得，得到，推出四边形是菱形．推出，即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：和关于点O成中心对称， ， ，， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：连接， 和关于点O成中心对称， B，O，F三点共线，， 四边形是平行四边形， ， ， 即， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 又四边形是平行四边形， 是菱形． 22. 《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，票房表现非常强劲．阅读以下统计图并回答问题． （1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为_______亿元． （2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是_______．（填日期） （3）下列结论中，所有正确结论的序号是_______．（说明：全部填对的得4分，部分填对的得2分，有填错的得0分） ①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势 ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为3．87亿元 ③1月29日至2月7日，2月4日的单日总票房最高 ④1月29日至2月7日，单日总票房先上升后下降 【答案】（1） （2）月31日 （3）①② 【解析】 【分析】本题考查中位数，极差，掌握中位数，观察折线图的变化趋势是解题关键， （1）根据中位数的定义解答即可； （2）结合条形统计图解答即可； （3）结合折线统计图和条形统计图解答即可． 【小问1详解】 解：把1月29日至2月7日，单日票房从小到大排列为， 位于正中间的两个数为， ∴中位数为； 故答案为： 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴单日票房较前一日增长率最大的是1月31日； 【小问3详解】 解：①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势，正确； ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为亿元，正确； ③1月29日至2月7日，2月4日的单日票房最高，原说法错误； ④1月29日至2月7日，单日总票房先下降，再上升后，然后下降，原说法错误； 故答案为：①② 23. 如图，南京定林寺塔堪称“世界第一斜塔”．设斜塔的塔底为A，塔顶为B，过点A作地面的垂线，垂足为A，过点B作的垂线，垂足为C，斜塔与的夹角，在点E的正上方点D处测得塔顶B的仰角为，塔底A的俯角为，，求塔顶到地面的距离． （参考数据：，，） 【答案】塔顶到地面的距离为 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过作于点，过点作于点，设，先解直角三角形可得，，从而可得，，然后在中，解直角三角形即可得． 【详解】解：如图，过作于点，过点作于点， 设． ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 又∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， 答：塔顶到地面的距离为． 24. 如图，是的外接圆，，过点A作，且与的延长线交于点D． （1）求证：是的切线； （2）连接，并延长与交于点M，连接，并延长与的延长线交于点N． ①求证：； ②若的半径为5，，则的长为_______． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】对于（1），先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得所在的直线是的垂直平分线，可得，再根据平行线的性质得，即可得出，则答案可证； 对于（2），①连接，根据等腰三角形的性质，平行线的性质得，再根据三角形的外角的性质得，可得答案； ②根据题意可知，，根据勾股定理得，再根据相似三角形的性质得，然后根据勾股定理求出，接下来求出，最后证明，根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴所在的直线是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：①如图所示，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， 即． ②标注图形，根据题意可知，， 在中，． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 由（1）知是的垂直平分线， ∴， ∴． 在中，， ∴． 在中，。 ∵，， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，作出辅助线证明相似三角形是解题的关键，勾股定理是求线段长的常用方法． 25. 一架巡逻机从某基地出发，出发时油箱中油量为24000升．如图①，为了确保巡逻机持续飞行，出发后每隔1小时开始对飞行中的巡逻机进行空中加油，每次加油的速度为1600升/分钟，加油时间为2分钟．飞行过程中，假设巡逻机平均每分钟的耗油量相同，巡逻机的剩余油量y（升）与飞行时间x（分钟）之间的部分关系如图②． （1）飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为_______升；加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为_______升/分钟； （2）求线段的函数表达式，并写出点A的实际意义； （3）要使巡逻机返航时的剩余油量不低于16000升，则x的最大值为_______． 【答案】（1）100；1500 （2）线段的函数表达式为：；点A的实际意义是：当巡逻机飞行时间为62分钟时，完成第一次空中加油，此时巡逻机油箱中油量为． （3）144 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式解题的关键． （1）根据油箱中油量的减少量÷飞行时间列式计算飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量，根据每分钟的加油量每分钟的耗油量列式计算巡逻机油箱中油量上升的速度即可； （2）分别求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求出线段的函数表达式即可； （3）求出120分钟时剩余的油量，此时要加2分钟的油，求出2分钟后的总油量，再根据巡逻机返航时的剩余油量不低于16000升，求出当巡逻机返航时的剩余油量恰好为16000升时，巡逻机的飞行时间，进而求出的最大值即可． 【小问1详解】 解：飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为（升）， 加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为（升）． 故答案为：100，1500． 【小问2详解】 解：（升）， ∴， （升）， ∴， 设线段的函数表达式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴线段的函数表达式为，点A的实际意义表示巡逻机飞行62分钟时油箱中剩余油量是21000升． 【小问3详解】 解：根据题意，得当时：， 此时加2分钟的油量，加完油共有（升）； ∵巡逻机返航时的剩余油量不低于16000升，巡逻机平均每分钟的耗油量为升， ∴巡逻机返航前最多还能再飞（分钟）， ∴x的最大值为． 故答案为：144． 26. A，B是二次函数（a，b，c为常数，且，）图像上的点，且轴，C是该函数图像的顶点．顶点C到直线的距离为h，． （1）若顶点C的坐标为，，则a的值为_______； （2）当时，求证：； （3）点A的坐标为，当时，y的最小值为，则a的值是_______． 【答案】（1）1 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可设抛物线表达式为，再找出B点的坐标，代入解析式，即可求得a的值； （2）设顶点C的坐标为，则函数的表达式为，由题意可得B点坐标为，将点代入函数表达式，得，即得，即可解得a的范围； （3）抛物线的表达式为，代入点，得，故．最后再根据对称轴和区间的不同位置展开分类讨论即可． 【小问1详解】 解：∵顶点C的坐标为， ∴设抛物线表达式为， 且A、B两点关于y轴对称，， 故，点C到的距离为1， ∴点B坐标为，代入中，可得； 故答案为：1； 【小问2详解】 证明：设顶点C的坐标为，则函数的表达式为， ∵点C到直线的距离为h，， 设A在B的左侧，则B点坐标为， 将点代入函数表达式，得：， 故， 当时，则， 即； 【小问3详解】 解：∵点A的坐标为，，点C到直线的距离为h， ∴设，， 设抛物线的表达式为，代入点， 得， 故． 当时，不成立，故舍去； 当时，即时， 此时当时，，解得（舍去）； 当时，即时， 此时当时，，解得． 综上，a的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，包括顶点式，对称性，最值，掌握好以上知识点，特别注意分类讨论是解题关键． 27. 光的折射． 物理常识 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射． 当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角α的正弦与折射角β的正弦之比（α，β均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号n表示，即． 【概念理解】 （1）如图①，若入射角的度数为，折射率，求折射角β的度数． （2）如图②，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率，是入射光线，点A是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【深入思考】 （3）如图③，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率，直线l上有一个位置固定的遮光板，且M是的中点；在直线l下方有一个圆形区域，且与相切于点M．点光源P在直线l的上方，经过遮光板的遮挡，使得折射光线不能进入的内部．已知的半径为，．（假设入射光线在端点A，B处能够发生折射） ①点光源P到直线l的距离的最大值是_______； ②满足条件的点光源P所形成的区域面积随着折射率n的值变大而_______．（填“变大”或“变小”） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；②变小 【解析】 【分析】（1）根据新定义求出的值，结合特殊角的三角函数值进行求解即可； （2）过点作法线，作线段的中垂线，以为圆心，为半径画弧，交的中垂线于点，连接并延长，即可得到折射光线． （3）①过点，作直线的垂线，当折射光线过点且与圆相切时，点光源P到直线l的距离最大，为的值，利用切线长定理结合新定义，进行求解即可； ②根据题意，得到满足条件的点光源P所形成的区域面积为的面积，随着入射角的增大，折射率变大，得到逐渐减小，进而面积逐渐减小即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）过点作法线，作线段的中垂线，以为圆心，为半径画弧，交的中垂线于点，连接并延长，即可得到折射光线，如图： 由作图可知：，点到法线的距离为， ∴，满足题意； （3）①过点，作直线的垂线，当折射光线过点且与圆相切时，点光源P到直线l的距离最大，如图： ∵入射角相等， ∴入射角， ∴， 连接，设折射光线与圆相切于点，连接， ∵为的中点， ∴，， ∵为的切点， ∴，， ∴三点共线，， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即折射角， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，即：点光源P到直线l的距离的最大值是； ②由①可知，满足条件的点光源P所形成的区域面积为的面积，， ∴， ∴当折射率变大，变大，的值变小， ∴的面积变小，即：满足条件的点光源P所形成的区域面积变小； 故答案为：变小． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，切线长定理，尺规作垂线，作线段，熟练掌握新定义，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $