精品解析：甘肃省庆阳市华池县第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

甘肃省华池县第一中学2024—2025学年度第二学期期中考试 高一数学 2025.4 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：湘教版必修第二册第一、二、三章. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及和角正弦公式的逆用求解即得. 【详解】 . 故选：A 2. 已知复数，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】解法一：根据复数除法运算求，再由模长公式求解. 解法二：复数模长的性质计算： 【详解】解法一（运算量大）：， ∴　． 解法二（运算量小，容易）：　. 故选：D 3. 下列函数中，周期是的奇函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角余弦公式化简选项B函数，利用函数的周期性和奇偶性定义逐项判断即可. 【详解】对于选项A，，则，且是奇函数，所以A选项错误； 对于选项B，，则，且是偶函数，所以B选项错误； 对于选项C，，则，且是奇函数，所以C选项正确； 对于选项D，，则，且是偶函数，所以D选项错误. 故选：C 4. 已知平面向量，，则与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用向量夹角的坐标运算求解. 【详解】设与的夹角为， 则， . 故选：B. 5. 在中，，，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意表示出数量积的两个向量，然后求解即可． 【详解】如图， 由，则， 又，则， 故选：A． 6. 在中，若角B为钝角，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的大小，结合正弦定理及余弦函数的单调性即可比较与的大小，从而确定点所在的象限. 【详解】中，因为角B为钝角，即，所以， 由正弦定理得，即， 又函数在上单调递减，且， 所以，即， 所以点第二象限， 故选：B 7. 已知向量，，则与向量共线的向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求出向量的坐标，再结合向量共线的坐标公式逐项计算判断即可. 【详解】因为，，所以， 对选项A：因为，所以两向量共线，A正确； 对选项B：因为，所以两向量不共线，B错误； 对选项C：因为，所以两向量不共线，C错误； 对选项D：因为，所以两向量不共线，D错误； 故选：A. 8. 某同学为了测量天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高AB为，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为30°，假设AB，CD和点M在同一平面内，则该同学可测得学校天文台CD的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出AM，在三角形ACM中，运用正弦定理可得CM，再解直角三角形CDM，计算即可得到天文台的高度． 【详解】在Rt△ABM中，有， 在△ACM中，有，，， 由正弦定理得， 故， 在Rt△CDM中，有， 又， 则． 故选：C． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中，结果为零向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平面线向量加法和减法的运算法则逐一判断即可. 【详解】对于选项A：，选项A不正确： 对于选项B：，选项B正确； 对于选项C：，选项C不正确； 对于选项D：，选项D正确. 故选：BD. 10. 下列四个命题中，真命题为（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数除法运算、共轭复数和实数定义可知AB正确；通过反例可说明CD错误. 【详解】对于A，若，可设，，A正确； 对于B，设，则， 若，则，，，B正确； 对于C，若，则，但，C错误； 对于D，若，，则，但，D错误. 故选：AB. 11. 已知，，其中α，β为锐角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】可以先通过已知角的三角函数值缩小角的范围，再将未知角转化为已知角来求值即可. 【详解】因为α，β为锐角，即，， ，， 因为，所以， 所以 因为，所以， 则， ，A选项正确； ，所以B选项正确； ①， ②， ①＋②并化简得，所以C选项错误； ①－②并化简得， 所以，所以D选项错误， 故选：AB. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数所在象限列出不等式组，求出m的取值范围. 【详解】由题意 解得：． 则m的取值范围是 故答案为： 13. 在中，，，所对的边分别是，，，已知，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】由，变形后利用余弦定理表示出，即可确定出的度数. 【详解】， 即， ， 为三角形内角， ，故答案为. 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查对基本定理掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题. 14. 关于函数有下列命题：①函数的周期为；②直线是的一条对称轴；③点是的图象的一个对称中心；④将的图象向左平移个单位，可得到的图象；其中正确的序号是________.（把你认为正确的序号都写上） 【答案】①③ 【解析】 【分析】化简得到，计算函数的周期，对称轴，对称中心，平移依次判断每个选项得到答案. 【详解】，则函数周期为；当时，故不是函数的对称轴；当时，，故点是的图象的一个对称中心；将的图象向左平移个单位， 得到。 故答案为：①③ 【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称，平移，意在考查学生的综合应用能力. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知：向量，，且． （1）求实数m的值； （2）当与平行时，求实数k的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直时数量积为零列出关于实数m的方程，解之即可得到m的值； （2）根据向量共线充要条件，得到关于实数k的方程，解之即可得到k的值． 【详解】（1），，则， 由，得 则，解之得 （2）由，， 可得， 由与平行，可得， 解之得 16. 中，已知，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系及正弦定理可求解； （2）利用两角差的正弦公式求解. 【小问1详解】 中,， 为钝角，为锐角，， 由正弦定理得， ， ； 【小问2详解】 由（1）得 . 17. 已知，，， （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知等式两边平方可求得，进而利用同角的正余弦的平方关系可求得，进而求得； （2）利用已知求得，可求得，进而求得，利用二倍角的余弦公式可求得，可求的值. 【小问1详解】 由，可得，即， 所以，又，所以，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，又， 所以，所以， 又，所以，， 所以， 又，又，所以，所以， 所以. 18. 已知分别是三个内角的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，则，化简得，可得答案； （2）利用两角差的正弦、二倍角公式化简， 由得，可求出的范围． 【详解】（1）在中，，由正弦定理可得， ，∵， 则，即， ，又解得． （2）由 ， 因为，所以， 又，所以， 所以，得，所以， 所以． 19. 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，，为虚数单位，求复向量、的模； （2）设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 【答案】（1）， （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可； （2）①利用模长公式和复数的三角不等式，以及的坐标表示，即可证明结论成立； ②根据①中等号成立的条件，结合题意即可求出和的值． 【小问1详解】 因为，所以， 可得的模为； 因为，所以， 所以的模为； 【小问2详解】 因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知， ②考虑①中等号成立的条件知，对于复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 若复向量与平行，则， 根据中等号成立的条件，应有， 则， 结合，得，解得； 所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 甘肃省华池县第一中学2024—2025学年度第二学期期中考试 高一数学 2025.4 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：湘教版必修第二册第一、二、三章. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1 计算：（ ） A. B. C. D. 2 已知复数，则＝（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，周期是的奇函数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，，则与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 6. 在中，若角B为钝角，则点在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知向量，，则与向量共线的向量的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 8. 某同学为了测量天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高AB为，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为30°，假设AB，CD和点M在同一平面内，则该同学可测得学校天文台CD的高度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中，结果为零向量的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列四个命题中，真命题为（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则 11. 已知，，其中α，β为锐角，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则m的取值范围是________． 13. 在中，，，所对的边分别是，，，已知，则______________． 14. 关于函数有下列命题：①函数的周期为；②直线是的一条对称轴；③点是的图象的一个对称中心；④将的图象向左平移个单位，可得到的图象；其中正确的序号是________.（把你认为正确的序号都写上） 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知：向量，，且． （1）求实数m的值； （2）当与平行时，求实数k的值． 16. 在中，已知，，． （1）求值； （2）求的值． 17. 已知，，， （1）求和的值； （2）求的值． 18. 已知分别是三个内角的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 19. 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，，为虚数单位，求复向量、模； （2）设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$