精品解析：贵州省学校卓越发展计划项目2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

贵州省学校卓越发展计划项目2025年上半年期中考试高二年级数学试题卷 （考试时长：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则=（ ）. A. 2 B. C. D. 5 3. 《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作，成书于公元一世纪左右，书中商功章记载有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高三丈，问积几何？”．大致意思是：现有一个圆台，下底面圆的周长为3丈，上底面圆的周长为2丈，高为3丈，则它的体积是（ ）立方丈． A. B. C. D. 4. 函数的图像大致为 A. B. C. D. 5. 已知椭圆E：的上下顶点分别为Q、P，为椭圆的右焦点，直线交椭圆E于点M，若，则椭圆E的离心率为（ ）． A. B. C. D. 6. 设函数，若当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 8. 已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是8 9. 某学校举行校园歌手大赛活动邀请了6位专家评委，在活动结束时邀请这6位专家站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若将专家甲、乙、丙三人从左到右按照身高递增的顺序排列，则共有120种排法 B. 若专家甲、乙两人不相邻，则共有480种排法 C. 若专家甲、乙、丙三人相邻，且甲在中间，则共有72种排法 D. 若专家丙不在排头，丁不在排尾，则共有480种排法 10. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 直线是曲线的切线 B. 有三个零点 C. D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 的二项展开式中的系数为______． 12. 函数（为自然对数的底数）在处的切线方程为______． 13. 已知数列，定义集合，其中，记表示集合中元素的个数，并规定．若，则=______；若，则=______ 第Ⅱ卷 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 在中，内角的对边分别为，且满足． （1）求； （2）若，边上的中线的长为，求的面积． 15. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为矩形，且平面ABCD，若，． （1）证明：平面平面PBC； （2）求二面角的余弦值； 16. 在数列中，，． （1）证明：数列是等差数列并求数列的通项公式． （2）若，求数列的前n项和． 17. 已知函数，a，，且． （1）若在点处的切线方程为求a，b的值并求函数的极值； （2）设，若当时，对任意，都有成立，求b的最大值． 18. 已知抛物线C：上的一点，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一点，且关于y轴的对称点为，记的坐标为． （1）求抛物线在点处的切线方程； （2）求证：数列是等差数列，并求，的表达式； （3）求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省学校卓越发展计划项目2025年上半年期中考试高二年级数学试题卷 （考试时长：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 2. 已知复数，则=（ ）. A. 2 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】借助复数的运算法则及复数的模的定义计算即可得. 【详解】， . 故选：. 3. 《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作，成书于公元一世纪左右，书中商功章记载有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高三丈，问积几何？”．大致意思是：现有一个圆台，下底面圆的周长为3丈，上底面圆的周长为2丈，高为3丈，则它的体积是（ ）立方丈． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算圆台上下底面圆的半径，再计算体积. 【详解】依题意，下底半径丈，上底半径丈，高丈， 所以它的体积（立方丈）. 故选：D 4. 函数的图像大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由定义域为是奇函数，可排除B、C,由，故排除D.因此选A. 考点：函数的图象. 5. 已知椭圆E：的上下顶点分别为Q、P，为椭圆的右焦点，直线交椭圆E于点M，若，则椭圆E的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线方程，与椭圆方程联立求得M的坐标，利用距离公式列方程化简得，即可求解离心率. 【详解】由题意，，，则， 直线方程为，即， 与椭圆E：联立消y得，所以， 所以， 因为，所以，即， 所以，所以， 即，所以，所以，所以，所以（负根舍去）. 故选：B 6. 设函数，若当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式及诱导公式计算可得. 【详解】因为，其中，， 又当时，函数取得最大值，所以， 所以， 则 ，. 故选：B 7. 已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将不等式等价转化为恰有1个整数解．利用导数研究函数的性质并画出草图，结合图形列出关于a的不等式组，解之即可. 【详解】函数的定义域为． 由，得， 则不等式恰有1个整数解． 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，所以当时，，当时，， 易知为过原点的一条直线， 在同一直角坐标系中，分别作出与函数的图象，如图所示． 要使不等式恰有1个整数解， 则，解得，即实数a的取值范围为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 8. 已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值是8 【答案】BC 【解析】 【分析】由平面向量的基本定理及共线的推论得，再应用基本不等式、二次函数性质判断各项正误. 【详解】 因为，则， 又，，共线，所以，A错误； 由，则，则， 当且仅当时取等号，B正确； 由，当时，的最小值为，C正确； 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是9，D错误. 故选：BC 9. 某学校举行校园歌手大赛活动邀请了6位专家评委，在活动结束时邀请这6位专家站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ） A. 若将专家甲、乙、丙三人从左到右按照身高递增的顺序排列，则共有120种排法 B. 若专家甲、乙两人不相邻，则共有480种排法 C. 若专家甲、乙、丙三人相邻，且甲在中间，则共有72种排法 D. 若专家丙不在排头，丁不在排尾，则共有480种排法 【答案】AB 【解析】 【分析】利用倍缩法计算A，利用插空法判断B，利用捆绑法判断C，分丙排尾与丙不在排尾两种情况讨论，即可判断D. 【详解】对于A：若将专家甲、乙、丙三人从左到右按照身高递增的顺序排列， 将6位专家全排列，其中专家甲、乙、丙三人的顺序固定，则用倍缩法，所以有种排法，故A正确； 对于B：若专家甲、乙两人不相邻，先将其余四人全排列，再将甲、乙两人插空， 所以有种排法，故B正确； 对于C：若专家甲、乙、丙三人相邻，且甲在中间，先将甲、乙、丙三人作为一组与其余三人全排列，组内再排乙、丙， 所以有种排法，故C错误； 对于D：若丙排尾，则有种排法，若丙不在排尾，则有种排法， 综上可得若专家丙不在排头，丁不在排尾，则共有种排法，故D错误. 故选：AB 10. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 直线是曲线的切线 B. 有三个零点 C. D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对求导，根据二次函数的性质计算判断C，根据导函数求出函数的单调性及极值点B；利用导函数求出导数值为即可确定过该点的切线方程，即判断A；根据图象及函数有最大值列式计算即可判断D． 【详解】因为，则， 则，所以，故C正确； 因为，令，得，解得或， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 且， 图象如图所示： 故有两个极值点，三个零点，故B正确； 设切点的坐标为，则切线斜率为， 则，所以不存在斜率为的切线， 直线不是曲线的切线，故A错误； 因为，所以若在区间上有最大值， 则，所以， 即在区间上有最大值，则的取值范围为，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 的二项展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式通项公式，由的指数为2求得项数，从而得到系数． 【详解】由题意得二项式的展开式的通项公式为， 令，得，所以项的系数为. 故答案为： 12. 函数（为自然对数的底数）在处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，根据导数的几何意义计算可得. 【详解】因为，所以， 则，， 所以在处的切线方程为，即. 故答案为： 13. 已知数列，定义集合，其中，记表示集合中元素的个数，并规定．若，则=______；若，则=______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当，时，直接求出集合中的元素，即可求解；当时，通过分析得到不存在，使得，即可求解. 【详解】若，当时，由，，， 又集合中元素是互异的，所以，有个元素，故． 当时，若存在，使得， 则，易知彼此不相等且不等于0， 那么等号左右两边的奇偶性不同，矛盾， 故不存在，使得， 故中元素的个数，又也符合上式， 因此，． 故答案为：3， 第Ⅱ卷 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 在中，内角的对边分别为，且满足． （1）求； （2）若，边上的中线的长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解； （2）根据余弦定理可得，在和中，结合中线长和余弦定理求得，进而有，最后由面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 整理得，由余弦定理可得． 又因为，所以． 【小问2详解】 在中，由和，可得． 在和中，有，又边上的中线的长为， 由余弦定理可得， 故，所以， 所以的面积为． 15. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为矩形，且平面ABCD，若，． （1）证明：平面平面PBC； （2）求二面角的余弦值； 【答案】（1）证明如下： 因为平面，平面，则， 又因为为矩形，则，且，平面， 可得平面，又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理可证平面，然后利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，分别为求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知：平面ABCD，且， 如图，以A为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， ，，所以， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 易知平面的法向量为， 则， 由题意可知：二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 16. 在数列中，，． （1）证明：数列是等差数列并求数列的通项公式． （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） 数列中，，， 则， 又，所以是首项，公差为3的等差数列， 故，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合等差数列定义推理并求出通项公式. （2）利用错位相减法直接求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， ， 则， 两式相减得 ， 所以. 17. 已知函数，a，，且． （1）若在点处的切线方程为求a，b的值并求函数的极值； （2）设，若当时，对任意，都有成立，求b的最大值． 【答案】（1），，函数的极大值为，极小值为； （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义结合切线方程求解，，然后求出函数的导数，解不等式，，求得函数的单调区间，结合单调性利用极值的概念求极值； （2）化简不等式，并分离变量可得，利用导数求函数的最小值可得的最大值． 【小问1详解】 由得， ∴，，由题意知，，∴，， 当，时，，定义域为． ∴． 令，得或，由，得或； 由，得或， ∴时取得极大值，时取得极小值； 【小问2详解】 ∵， 当时，， ∵在上恒成立， ∴在上恒成立， 记，则， 当时，，在上是减函数； 当时，，在上是增函数． ∴， ∴，即的最大值为. 18. 已知抛物线C：上的一点，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线C交于另一点，且关于y轴的对称点为，记的坐标为． （1）求抛物线在点处的切线方程； （2）求证：数列是等差数列，并求，的表达式； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）证明如下： 因为，所以， 依题意过点且斜率为的直线为， 与抛物线的方程，联立可得， 由韦达定理可得，即， 则数列是首项为，公差为的等差数列，所以， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义计算可得； （2）首先表示出过点且斜率为的直线，联立直线与抛物线方程，消元，由韦达定理得到，即可证明，再求出，的表达式； （3）由（2）得到，，的坐标，结合梯形和的面积，求得的面积，即可求解. 【小问1详解】 由，即，则，所以， 所以抛物线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知：， 可得梯形的面积为： ， 同理可得， 又由梯形的面积为： ， 所以的面积为： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $