精品解析：四川省南部中学2024-2025学年高二下学期期中质量监测数学试卷

南部中学高2023级高二下学期期中质量监测数学试卷 一､单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知等差数列，其中，则（ ） A. B. 4 C. 5 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质即可求解. 【详解】由等差中项可得， 故选：C 2. 现有3个班分别从3个景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ） A. 27 B. 9 C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】现有3个班分别从3个景点中选择一处游览， 每个班都有种选择，按照分步乘法计数原理可知不同选法有种. 故选：A 3. 如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知：S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可. 【详解】观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”， 对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求. 故选D. 【点睛】本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4. 已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数将题设条件转化成在上恒成立，分离参数可得，再根据函数单调性求出函数的最值，即可得到结论. 【详解】由求导可得， 根据题意，在区间上单调递增，则在上恒成立， 即，分离参数可得， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，故实数的取值范围是. 故选：D. 5. 用五个数字，可以组成无重复数字的三位偶数个数为（ ） A. 36 B. 30 C. 18 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据个位为0不为0，分两种情况，即可结合偶数的性质和分步乘法计数原理求解. 【详解】若个位排0，则此时有种， 若个位不排0，则个位有2种选择，此时百位有3种选择，十位有3种选择，故共有种， 故总的个数有种， 故选：B 6. 已知等差数列的前项和为，若，则的前2025项和（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算可得，进而求解，利用求和公式以及裂项可得，即可利用裂项相消法求解. 【详解】由可得，解得，故， 故， 因此的前2025项和为， 故选：C 7. 定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知含导数的不等式，构造函数，，求导确定函数的单调性，即可得函数值大小，从而得答案. 【详解】设函数，，则， 所以在上单调递减，从而， 即，则. 故选：A. 8. 若函数有极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，设，，分，结合导数分析求解即可. 【详解】由，， 则， 令，， 则， 当时，恒成立，则， 即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意； 当时，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， 所以存在，使得，则函数存在极值； 当时，， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，且时，， 则时，，此时函数无极值，不符合题意； 当时，，且时，；时，， 此时函数存在极值. 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两项或两项以上符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的单调减区间为 B. 函数的单调增区间为 C. 函数的极大值点为1 D. 函数的最大值为 【答案】CD 【解析】 【分析】求导，根据导函数的正负确定函数的单调性，即可结合选项逐一求解. 【详解】的定义域为，且， 当在单调递减，故单调递减区间为，A错误， 当在单调递增，故单调递增区间为，B错误， 当时，取极大值也是最大值，故C正确， ，D正确， 故选：CD 10. 已知数列的前项和为，则有（ ） A. 为等比数列 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据的关系，作差可得（），进而得是从第二项开始从公比为3的等比数列，即可求解通项判断BC，根据，即可求解CD. 【详解】由可得时，， 故，因此（）， 而，不满足， 因此是从第二项开始从公比为3的等比数列，故，故BC错误， 由，，故为等比数列，故AD正确， 故选：AD. 11. 已知函数.则下列说法不正确的是（ ） A. 函数有唯一极值点 B. 函数有两个零点 C. 若函数两个零点，则 D. 函数的值域 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题可通过对函数求导，分析其单调性、极值、零点以及值域，进而判断各选项的正误. 【详解】对求导，可得： . 令，即，因为恒成立， 所以，解得. 当时，，，则，单调递减； 当时，，，则，单调递增. 所以是函数的极小值点，极小值为，极值点是， 而是函数图象上的点，不是极值点，A选项错误. 令，因为恒成立，所以，解得， 即函数只有一个零点，B选项错误. 函数有两个零点，即与的图象有两个交点. 由前面分析可知在处取得极小值，且当时，， 当时，， 所以当时，与的图象有两个交点，C选项错误. 由的单调性可知，在处取得最小值. 当时，，所以函数的值域是，D选项正确. 故选：ABC. 三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 设等比数列满足,，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列通项把条件改写为关于首项和公比的方程组，两式相除消去求出公比，回代求出首项，最后用通项公式计算． 【详解】设等比数列的公比为，很明显， 结合等比数列的通项公式和题意可得方程组， 由可得，代入①可得， 由等比数列的通项公式可得. 【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 13. 曲线在点处的切线与直线垂直，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由直线垂直可得切线斜率为，再对曲线求导，根据导数的几何意义有，即可求a值. 【详解】由题设知：处的切线的斜率为，而， ∴，可得. 故答案为： 14. 如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为.为使所用材料最省，圆的直径应该为__________. 【答案】 【解析】 【分析】假设圆的半径为，矩形的长为，根据题目信息得到关系式，再将图形的周长表示出来得，最后构造函数，求导判断函数取得最小值时的值即可. 【详解】设圆的半径为，则半圆的面积为， 所以矩形的宽为，设矩形的长为，则矩形的面积为， 所以，即， 该图形的周长为， 令，所以， 令，解得：（负值舍去）， 当时，当时 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当即时，函数取得最小值. 即圆的直径时，所需材料最省. 故答案为： 四､解答题：（本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明步骤或演算步骤） 15. 已知函数 （1）求函数的极值 （2）求函数在上的最大值与最小值 【答案】（1）时有极大值为，时有极小值为 （2）时有最大值为4，时有最小值为 【解析】 【分析】（1）对求导，得出的单调性，即可求出函数的极值； （2）根据（1）知在的单调性，即可求出函数的最大值与最小值； 【小问1详解】 根据题意可得，令，则，． 和上，，在、上单调递增． 上，，在上单调递减． 当时，有极大值，极大值为． 当时，有极小值，极小值为． 【小问2详解】 由（1）可知，在区间上单调减，在区间上单调增．且，， 故在上最大值为，最小值为． 16. 已知数列的通项公式为，数列的前项和为. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接代入求解即可， （2）分奇数项以及偶数项，利用分组求解，结合等差数列以及等比数列的求和公式即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 17. 设数列是等比数列，为与的等差中项. （1）若为常数，且，求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由为与的等差中项可以求出公比，从而依据等比数列通项公式直接写出即可； （2）分类讨论，由等差数列求和公式与错位相减法分别求和即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为. 由为与的等差中项，可得： ，即， ，解得：或 当时，数列的通项公式为； 当时，数列的通项公式为. 由上可知，数列的通项公式为或 【小问2详解】 由（1）可知：当时，， 则，此时 当时，， 则 ,① 两边乘以，得： ，② ①－②得： 可得： 综上， 18. 已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）求在区间上的最小值. 【答案】（1）①当时，在上为增函数；②当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；③当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）当时，的最小值为；当时，的最小值头；当时，的最小值为． 【解析】 【分析】(1)根据导函数的零点个数即大小分类讨论可得； (2)利用(1)中结论讨论函数在上的单调性，由单调性可得最小值. 【小问1详解】 根据题意，函数，其导数． ①当时，，则在上为增函数； ②当时，令，解得或，则的单调递增区间为和，单调递减区间为； ③当时，令，解得或，则的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）可得，当或，． ①当，即时，在上单调递增，此时在区间上的最小值为； ②当，即时，在上单调递减，在内单调递增，此时在区间上的最小值为； ③当，即时，在上单调递减，此时在区间上的最小值为． 综上可得：当时，的最小值为；当时，的最小值头；当时，的最小值为． 19. 已知函数 ． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；当时，函数的单调减区间为，单调增区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）先求出切点坐标和切线斜率；再根据直线方程的点斜式即可求解. （2）先求出函数的导函数；再根据和分类讨论，利用导函数的符号即可求解. （3）先结合（2）和有两个零点，得出的最小值，；再根据函数为上的增函数，且，即可求解出的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则，， 所以曲线在点处的切线斜率为， 切线方程为：，即. 【小问2详解】 由可得：. 因为， 所以当时，，此时函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 此时函数在区间上单调递减；在区间上单调递增. 综上可得：当时，函数的单调减区间为，无单调增区间； 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为. 【小问3详解】 由（2）可得：当时，根据零点存在性定理可得函数在上不会有两个零点，不符合题意； 当时， 函数的最小值为， 且当时，，当时，， 因为有两个零点， 所以，. 因为函数为上的增函数，且， 所以的解为. 故当有两个零点， 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南部中学高2023级高二下学期期中质量监测数学试卷 一､单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知等差数列，其中，则（ ） A. B. 4 C. 5 D. 12 2. 现有3个班分别从3个景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ） A. 27 B. 9 C. 3 D. 1 3. 如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是 A. B. C. D. 4. 已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 用五个数字，可以组成无重复数字的三位偶数个数为（ ） A. 36 B. 30 C. 18 D. 12 6. 已知等差数列的前项和为，若，则的前2025项和（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有极值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两项或两项以上符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的单调减区间为 B. 函数的单调增区间为 C. 函数的极大值点为1 D. 函数的最大值为 10. 已知数列的前项和为，则有（ ） A. 为等比数列 B. C. D. 11. 已知函数.则下列说法不正确的是（ ） A. 函数有唯一极值点 B. 函数有两个零点 C. 若函数两个零点，则 D. 函数的值域 三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 设等比数列满足,，则______． 13. 曲线在点处的切线与直线垂直，则________. 14. 如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为.为使所用材料最省，圆的直径应该为__________. 四､解答题：（本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明步骤或演算步骤） 15. 已知函数 （1）求函数的极值 （2）求函数在上的最大值与最小值 16. 已知数列的通项公式为，数列的前项和为. （1）求； （2）求. 17. 设数列是等比数列，为与的等差中项. （1）若为常数，且，求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）求在区间上的最小值. 19. 已知函数 ． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若有两个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $