精品解析：海南省海南中学2024-2025学年高三第八次月考数学试题

海南中学2025届高三年级第8次月考数学试题 时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知 是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 180种 D. 300种 6. 已知点是双曲线的左焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 2 7. 记为数列的前项和，若为等比数列，则（ ） A. 64 B. 32 C. 16 D. 8 8. 已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（ ） A. -e B. -1 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组数据为，则它的第70百分位数为7 B. 若一组数据的方差为0，则所有数据都相同 C. 在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变（参考公式：） D. 已知一组样本点的经验回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则 10. 设等差数列的前项和为，若，且当或6时，取得最大值，则（ ） A. 的公差为2 B. C. 数列的前10项和为50 D. 当时，与数列共有671项互为相反数 11. 由函数相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”．已知，其优生成函数记为，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上先增后减 C. 的值域为 D. 在区间上有11个零点 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为________. 13. 已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为，且该圆台两个底面的圆周都在球的球面上，则球的表面积为__________. 14. 已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为________． 四.解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 16. 已知，为圆上的动点，线段的垂直平分线交于点． （1）求点轨迹的方程； （2）若过点的直线交轨迹于，两点，求面积的最大值． 17. 如图，四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，且，平面. （1）证明：平面平面； （2）当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. （1）已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. （2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：小时）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 ①设，证明：； ②元件的使用寿命均服从指数分布模型且累积分布函数为，已知在某时刻元件A发生故障，和正常工作，求接下来1小时内系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2025届高三年级第8次月考数学试题 时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次不等式的求解与交集的定义求解即可. 【详解】由题意得，，所以． 故选：B. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量的数量积的坐标运算即可求解． 【详解】由题意得，， 因为，所以， 解得， 故选:C. 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，即可求出，即可求解． 【详解】设， 则， 则． 故选：D. 4. 已知 是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A，垂直于同一条直线的两个平面平行，故A正确； 对于选项B，，，，所以， 因为，，所以，，，所以，所以，故B正确； 对于选项C.，若，则或，故C错误； 对于选项D， 若，，平面作直线，则， 又因为，所以，因为，，所以，，所以，故D正确. 5. 2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 180种 D. 300种 【答案】B 【解析】 【分析】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2，进行求解． 【详解】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2． 当各组人数为1,1,3时，共有种安排方法； 当各组人数为1,2,2时，共有种安排方法， 所以不同的安排方法有种． 故选:B. 6. 已知点是双曲线的左焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设右焦点为，根据双曲线的定义可得，再根据三角形性质结合点到线的距离求解即可. 【详解】设右焦点为，又由对称性，不妨设在渐近线上. 根据双曲线的定义可得，当且仅当三点共线时取等号. 又当与渐近线垂直时取最小值，为，故最小值为5. 故选：B 7. 记为数列的前项和，若为等比数列，则（ ） A. 64 B. 32 C. 16 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由为等比数列，求出再得到，进行求解． 【详解】为等比数列，的首项为，第二项为， 第三项为， 的公比为当时，， 显然当时也符合， ． 故选：A. 8. 已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（ ） A. -e B. -1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由，又在定义域上单调递增，则，于是．再利用导数求函数的最小值即可． 【详解】因为， 所以，而， 故，又在定义域上单调递增，则， 于是． 设，则， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 所以． 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组数据为，则它的第70百分位数为7 B. 若一组数据的方差为0，则所有数据都相同 C. 在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变（参考公式：） D. 已知一组样本点的经验回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据百分位数的定义判断A，根据方差的定义判断B，计算新数据的卡方，即可判断C，根据残差的定义得到方程，即可判断D. 【详解】对于A，将数据按照从小到大排序为，因为，所以第70百分位数为，故A错误； 对于B，若一组数据的方差为0，则，即，故B正确； 对于C，若原数据的卡方记作，则， 新数据的卡方记作，则， 所以结论可能会发生改变，故C错误； 对于D，依题意，，所以，故D正确. 故选：BD. 10. 设等差数列的前项和为，若，且当或6时，取得最大值，则（ ） A. 的公差为2 B. C. 数列的前10项和为50 D. 当时，与数列共有671项互为相反数 【答案】BCD 【解析】 【分析】A根据求得，再结合即可求出公差；B利用等差数列的前项和公式求出即可判断；C根据的正负性可得即可判断；D利用为偶数以及可得，再结合为偶数即可求得. 【详解】由当或6时，取得最大值知，，即， 因为，所以公差，所以A错误； 又，， 所以，即，故B正确； 记的前10项和为， 当时，解得；当时，解得；当时，解得， 所以 ，故C正确； 记， 因为，所以， 因数列为递减数列，则当时，， 由可知为偶数，若与互为相反数，则，且为偶数， 由，所以为偶数，即为偶数，即为偶数， 即，即， 所以，且为偶数，故这样的有671个，故D正确. 故选：BCD 11. 由函数相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”．已知，其优生成函数记为，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上先增后减 C. 的值域为 D. 在区间上有11个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A项，由进行判断；对于B项，先求出是函数的周期，所以在区间上的单调性与在区间上的单调性相同，再由导数求解；对于C项，由关于对称及是函数的周期知，只需考查时的值域；对于D项，直接利用周期性求出零点. 【详解】易知“优生成函数”为， 因为， 所以关于直线对称，故A正确； 显然， 所以是函数的周期， 所以在区间上的单调性与在区间上的单调性相同， 设，则， 求导得， 故在区间上单调递增，故B错误； 由关于对称及是函数的周期知， 只需考查时的值域， 因为，在区间上单调递增， 故当时，． 当时，， 求导得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故当时，，故C正确； 易知在区间上，零点分别为，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：对于C项，由关于对称及是函数的周期知，只需考查时的值域. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，得直线过圆心，即可求解． 【详解】因为圆上存在两点关于直线对称， 所以直线过圆心， 从而，解得， 则圆的方程为， 故圆的半径为． 故答案为： 13. 已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为，且该圆台两个底面的圆周都在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用圆台体积求出圆台的高，再设出球心到下底面的距离，列出方程，求出外接球半径，从而求出表面积. 【详解】设该圆台的高为h，则，解得． 由题意得：上底面圆的半径为，下底面圆的半径为， 设球心O到下底面的距离为t，即，则， 由勾股定理得：， 即，解得， 则球O的半径，故球O的表面积为. 故答案为：. 14. 已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】由则函数的图象关于点中心对称，不妨设直线AC的方程为，由，解得或或，则，同理可得，由，即，即可求解. 【详解】函数的图象关于点中心对称， 不妨设直线AC的方程为， 由，得， 解得或或， 则， 同理可得， 由，得， 即， 即， 即， 令，则这两条直线的斜率之和为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：不妨设直线AC的方程为，由，求出，即可． 四.解答题：本题共5个小题，共77分. 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可以变形为：，再由余弦定理进行求解； （2）设的外接圆半径为，由及正弦定理，求出．由余弦定理得，，即可求解． 【小问1详解】 由正弦定理及，得， ， ， ． 【小问2详解】 设的外接圆半径为， 由及正弦定理， 得， ． 由余弦定理得，， ，当且仅当时取等号，， 周长的最大值为9． 16. 已知，为圆上的动点，线段的垂直平分线交于点． （1）求点轨迹的方程； （2）若过点的直线交轨迹于，两点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据，确定，得到的轨迹是以，为焦点的椭圆，计算得到，得到椭圆方程. （2）设的方程为，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，，代入数据，令，根据均值不等式计算得到答案. 【小问1详解】 由已知得圆的圆心坐标为，半径， 又在的垂直平分线上，所以，又，则， 所以的轨迹是以，为焦点的椭圆， 设的轨迹的方程为，则，， 所以的轨迹的方程为． 【小问2详解】 由已知可得直线斜率不为0，则可设的方程为， 设，，由，， 则由韦达定理得， 所以 ， 令，即， 当且仅当，，时取得等号， 即的最大值为． 【点睛】方法点睛：本题考查了椭圆的轨迹方程，椭圆内面积的最值问题，意在考查学生的计算能力，转换能力和综合应用能力，其中，利用韦达定理得到根与系数的关系，利用设而不求的思想，结合换元法和均值不等式是解题的关键. 17. 如图，四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，且，平面. （1）证明：平面平面； （2）当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 由四边形存在外接圆，得， 而，即，则，即，由平面平面， 得，而平面平面，于是平面， 又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质判定证得平面，再利用面面垂直的判定推理得证. （2）求出四棱锥取最大值的条件，再建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，再利用线面角的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作，垂足为， 由（1）平面平面，又平面平面平面， 得平面，设四边形的面积为S， 则四棱锥的体积， 而，则，又平面平面， 因此，则点在以为直径的圆上，当时，最大，最大值为， 由，得点在以为直径的圆上，且， 当时，取最大值8，此时底面是正方形，四棱锥体积取最大值， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图：可知， 则，设平面的法向量为， 则，取，得，设直线与平面所成角为。 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. （1）已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. （2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：小时）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 ①设，证明：； ②元件的使用寿命均服从指数分布模型且累积分布函数为，已知在某时刻元件A发生故障，和正常工作，求接下来1小时内系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则. 【答案】（1）0.8186 （2）①由题意，可得 ， ， 所以. ② 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正态分布曲线的性质，求得，结合则，即可求解； （2）①根据题意，分别求得和，即可得到答案； ②由①得，得到元件正常工作的概率均为，结合独立事件的概率乘法和对立事件的概率计算方法，即可求解. 【小问1详解】 解：由电源电压服从正态分布，且的累积分布函数为， 可得， 则. 【小问2详解】 ①略 ②由①得， 所以接下来1小时内元件正常工作的概率均为， 为使接下来1小时内系统仍正常工作，元件必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 取，由（2）得当时，，所以. 取，则有， 即， 所以，，，， 将上述式子相加得. 【解析】 【分析】（1）求当时函数的解析式与导函数，求出切线的斜率，即可求得切线方程； （2）参变分离，构造函数，设，求导讨论的单调性，求出其最大值，即可求出参数的取值范围； （3）取，由（2）得，取，然后利用累加法即可证结论. 【小问1详解】 当时，，，， 则，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 因为，恒成立，所以恒成立. 令，则， 令，则且不恒为0， 即在上单调递减，则， 所以当时，且不恒为0， 所以在区间上单调递减，故，所以， 综上，实数的取值范围为； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $