精品解析：广西部分学校2024-2025学年高一下学期四月阶段性检测数学试卷

高一年级四月阶段性检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册第八章第3节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解集，求得集合，结合集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，所以， 又由不等式，可得，所以， 所以. 故选：A. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求解即可. 【详解】. 故选：C. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得. 故选：B. 4. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分不必要条件定义判断求解. 【详解】因为，所以，所以“”是“”的充分条件； 当，满足，但是不符合，所以“”是“”的不必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件； 故选：B. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用两角和的正切公式，求得，再利用正切的倍角公式，进行计算，即可求解. 【详解】由题意得，解得， 又由. 故选：C. 6. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，利用函数的单调性解不等式，再利用是偶函数解不等式即可. 【详解】由对数函数和一次函数的单调可得是增函数，且， 所以当时，的解集为， 因为是奇函数，易知是偶函数，当时，可得， 根据偶函数知：当时，可得， 故选：A. 7. 有一个底面直径为4的圆柱形容器（不考虑该容器的厚度），该圆柱形容器盛有部分水，且水面到容器口的距离为1.现将一个半径为的小球放入该容器中，小球全部在水面下，且水没有溢出容器，则的最大值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要使小球全部在水面下，且水没有溢出容器，只需小球的体积不大于容器剩余的容积，利用圆柱和球的体积公式求解即可. 【详解】要使小球全部在水面下，且水没有溢出容器，只需小球的体积不大于容器剩余的容积， 由题意知小球体积为，容器剩余的容积为， 由得， 故选：D. 8. 已知函数，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案. 【详解】因为，则， 则对称中心为，则， 可得，解得， 且， 可知：，解得的最小值为， 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 棱柱的侧面一定是平行四边形 B. 底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥 C. 棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D. 用一个平面去截圆柱，截面一定是圆 【答案】AC 【解析】 【分析】根据棱柱、正棱锥和棱台的定义，可判定A正确，B错误，C正确，结合圆柱的几何结构特征，可得判定D错误. 【详解】对于A中，根据棱柱的定义，可得棱柱的侧面一定是平行四边形，所以A正确； 对于B中，底面是等边三角形，且顶点在底面的射影是底面的中心的三棱锥是正三棱锥，所以B不正确； 对于C中，根据棱台的定义，可得棱台的所有侧棱所在直线必交于同一点，所以C正确； 对于D中，用一个平行于底面的平面去截圆柱，截面一定是圆，若不平行于底面的平面截圆柱，得到得截面可能是椭圆面，所以D不正确. 故选：AC. 10. 已知，是复数，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数相等的定义，以及复数模的计算公式，可得判定A正确；根据特例法，可判定B、C、D均错误，即可得到答案. 【详解】对于A中，设复数， 若，即，可得，即且， 由，所以，所以A正确； 对于B中，若，此时， 但复数和不能比较大小，所以B错误； 对于C中，如，可得，此时，所以C错误； 对于D中，若，可得，此时满足， 但且，所以D错误. 故选：BCD. 11. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则（ ） A. 角的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 周长的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，先利用正弦定理转化，得出，然后利用锐角三角形的三个内角均为锐角建立关于角A的不等式组，解不等式组即可判断；对于选项B，利用正弦定理得到，再结合A选项的角A的范围求得的取值范围；对于C选项，利用已知条件和选项B的结论，得出，再结合A选项的角A的范围，然后求得的范围，从而求得周长的范围；对于选项D，利用已知条件和选项B的结论，得出再结合A选项的角A的范围即可求得的取值范围. 【详解】因为，且，所以，所以， 所以.因为是锐角三角形，，所以， 则， 则解得，所以，A正确. 因为， 所以. 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是，B正确. .设， 则在上单调递增，所以， 即.因为， 所以周长的取值范围是，C错误. 因为，所以. 因为在单调递增，所以， 所以，即，D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积是__________. 【答案】8 【解析】 【分析】结合图形作出，求其各边长，即得面积. 【详解】作出，如下图所示： 由题意可知，，， 故的面积为. 故答案为：8. 13. 一艘轮船从地出发，沿东偏南的方向以每小时20千米的速度匀速航行2小时，到达地，再沿北偏东的方向以每小时20千米的速度匀速航行1小时，到达地，则两地之间的距离是__________千米. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，画出图形，再利用余弦定理解三角形作答. 【详解】依题意，如图，在中， 从地出发，沿东偏南的方向到达地，再沿北偏东的方向到达地， ，则千米，千米， 由余弦定理得，因此千米, 所以两点间的距离是 千米． 故答案为： 14. 某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第（）个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则的最小值是_______（参考数据：，） 【答案】5 【解析】 【分析】表示出第个月投入的研发经费为万元，根据题意列不等式，并根据指数函数和对数的运算性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】由题意可得，则，所以， 所以，所以． 因为，所以的最小值为5． 故答案为：5. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简复数，根据复数是纯虚数，列出方程组，即可求解； （2）由复数在复平面内所对应的点在第四象限，根据复数的几何意义，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 由复数， 因为复数是纯虚数，则满足，解得或（舍去）， 所以实数的值为. 【小问2详解】 由复数， 若在复平面内所对应的点在第四象限，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.． （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设是的中点，连接，进而可证明，从而可计算正四棱锥的侧面积与正方体的五个面积； （2）根据锥体与正方体体积求解即可. 【小问1详解】 设是的中点，连接. 因为是边长为6的正三角形， 所以，且， 所以该几何体的表面积. 【小问2详解】 连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高， 则，所以. 又正方体的体积为， 所以该几何体的体积. 17. 已知函数的图象经过三点，且的最小值为. （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得周期，求出，再代入点求解即可； （2）根据余弦函数的性质求出值域即可； （2）不等式等价于不等式，根据余弦函数的性质可得结果. 【小问1详解】 由题意的图象经过三点，且的最小值为， 可得的最小正周期，则，解得. 则， 由， 故，， 又因为，所以. 故. 【小问2详解】 由于，所以， 故，． 所以函数的值域为． 【小问3详解】 不等式等价于不等式，即不等式. 令，解得， 故不等式的解集为. 18. 在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点． （1）已知，，，． ①用向量，表示向量，； ②求的值． （2）若，求的值． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中线向量得，再利用向量的线性运算得，然后利用平面向量数量积的运算性质可求出； （2）设，则，由得，再利用三点共线，利用向量线性运算得，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为是线段的中点，所以， 因为，则， 因为，，，所以， 所以. 【小问2详解】 设，则，所以，又，所以， 由（1）知，所以， 因为三点共线，可设（）， 所以，所以， 又，所以，解得， 所以. 19. 如图，某社区有一块空白区域，其中射线，是该空白区域的两条边界，点在射线上，千米，且.该社区工作人员计划在射线上选择一点，修建一条道路，将区域改造成儿童娱乐场地. （1）已知. ①求道路的长度； ②求的面积. （2）某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为4万元每平方千米，修建道路的利润为2万元每千米，且要求不能大于，求该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值. 【答案】（1）①千米；②平方千米. （2）万元. 【解析】 【分析】（1）①利用正弦定理计算可得结果；②利用两角和的正弦公式求出的正弦值，再由面积公式计算可得结果； （2）设，利用正弦定理求出的面积关于的表达式，再结合三角函数值域问题即可得出结果. 【小问1详解】 ①由正弦定理可得， 则千米. ②因为，，所以， 所以 则的面积平方千米. 【小问2详解】 设， 由正弦定理可得， 则，， 故的面积平方千米. 该工程队完成这项改造项目获得的利润万元. 因为，所以，所以， 所以，所以， 即该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值为万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级四月阶段性检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至必修第二册第八章第3节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 6 B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 有一个底面直径为4的圆柱形容器（不考虑该容器的厚度），该圆柱形容器盛有部分水，且水面到容器口的距离为1.现将一个半径为的小球放入该容器中，小球全部在水面下，且水没有溢出容器，则的最大值是（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知函数，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 棱柱的侧面一定是平行四边形 B. 底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥 C. 棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D. 用一个平面去截圆柱，截面一定是圆 10. 已知，是复数，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则（ ） A. 角的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 周长的取值范围是 D. 的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积是__________. 13. 一艘轮船从地出发，沿东偏南的方向以每小时20千米的速度匀速航行2小时，到达地，再沿北偏东的方向以每小时20千米的速度匀速航行1小时，到达地，则两地之间的距离是__________千米. 14. 某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增．已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第（）个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则的最小值是_______（参考数据：，） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围． 16. 如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.． （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积． 17. 已知函数的图象经过三点，且的最小值为. （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）求不等式的解集. 18. 在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点． （1）已知，，，． ①用向量，表示向量，； ②求的值． （2）若，求的值． 19. 如图，某社区有一块空白区域，其中射线，是该空白区域的两条边界，点在射线上，千米，且.该社区工作人员计划在射线上选择一点，修建一条道路，将区域改造成儿童娱乐场地. （1）已知. ①求道路的长度； ②求的面积. （2）某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为4万元每平方千米，修建道路的利润为2万元每千米，且要求不能大于，求该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $