精品解析：湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高二下学期期中调研考试数学试卷

保密★启用前 望城一中高二年级期中调研数学考试卷 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得集合中对应函数的值域，再求即可. 【详解】因为，又， 故. 故选：B 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得出，进而代入根据复数的除法运算化简即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以有. 故选：D. 3. 在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面第一象限内一点，且∠AOC=，且，若=λ+μ，则λ+μ=（ ） A. 2 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 利用，∠AOC=，求出点C坐标，代入=λ+μ计算即可. 【详解】因为，∠AOC=，C为坐标平面第一象限内一点，所以C()， 又因为=λ+μ， 所以()=λ(1，0)+μ(0，1)=(λ，μ)， 所以λ=μ=，所以λ+μ=2， 故选：A. 【点晴】此题考向量的坐标运算，属于简单题. 4. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数的周期公式即可得到答案. 【详解】由题意得，解得. 故选：C. 5. 小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（ ） A. 0.48 B. 0.49 C. 0.52 D. 0.21 【答案】A 【解析】 【分析】利用全概率公式计算即可得到结果. 【详解】由全概率公式可得，小孟一家去游乐园的概率为， 故选：A. 6. 已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由，得到四边形是矩形，在中，利用勾股定理求得，再在中，利用勾股定理求解. 【详解】如图所示： 设，则，， ， 因为，所以， 则四边形是矩形， 在中，， 即，解得， 在中，， 即， 解得， 故选：D 7. 在正三棱锥P－ABC中，O为△ABC的中心，已知AB=6，∠APB=2∠PAO，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 49π B. 36π C. 32π D. 28π 【答案】A 【解析】 【分析】设侧棱长为x，由求得和的余弦值，利用二倍角公式可求得，从而求得棱锥的高，设球心为M，球半径为，表示出，然后由勾股定理可求得，得球表面积． 【详解】设侧棱长为x，且易知 则， 因为，则,所以，解得， 所以， 设球心为M，则MP=MA=R，， 因为，所，解得，所以表面积， 故选：A. 8. 已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件先求解出的通项公式，A：根据的通项公式结合指数函数的单调性进行判断；B：根据的结果进行判断；C：根据的通项公式结合的表达式进行分类讨论再判断；D：判断的单调性，然后分析的取值范围. 【详解】当时，， 当时，， 所以不满足的情况， 所以， 对于A：当时，由指数函数单调性可知：，所以，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：当时，，满足； 当时，，不满足， 故不恒成立，故C错误； 对于D：当时，，满足； 当时，由指数函数的单调性可知为递减数列，此时， 且恒成立，所以，也满足； 所以，故D正确； 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 给出以下四个说法，其中正确的说法是（ ） A. 残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小； B. 在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好； C. 在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位； D. 对分类变量与，若它们的随机变量的观测值越小，则判断“与有关系”的把握程度越大． 【答案】BC 【解析】 【分析】．利用残差图判断模型的拟合效果，从而可判断正误； ．相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好； ．在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位． ．根据独立性检验的定义，即可判断． 【详解】解：在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越高，相关指数的绝对值越接近1，故错误； 相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好，因此正确． 在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，故C正确． 对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越小，越大，“与有关系”的把握程度越大．故D不正确； 故选：BC． 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了线性回归及独立性检验的基本概念，难度不大，熟练掌握相关概念是解答的关键． 10. 已知抛物线.现将抛物线绕原点顺时针旋转，得到新抛物线.记的焦点为.过点的直线交抛物线于、两点，若直线的斜率为，则下列关于的说法中正确的是（ ） A. 焦点 B. C. 准线方程为 D. 的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，可判断AC选项；将直线的方程与抛物线的方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式以及韦达定理可判断B选项；求出原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，抛物线的焦点为， 将抛物线绕原点顺时针旋转，则抛物线的焦点为，A对； 对于B选项，易知抛物线的方程为，直线的方程为， 设点、，联立可得，， 所以，，B错； 对于C选项，抛物线的准线方程为，C对； 对于D选项，原点到直线的距离为， 因此，，D对. 故选：ACD. 11. 已知，，，若存在唯一零点，下列说法正确的有（ ） A. 在上递增 B. 图象关于点中心对称 C. 任取不相等的实数，均有 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 由知在上递增，故A选项正确； ，故图象关于点中心对称，故B选项正确； 由题得图象下凸，故C选项错误﹔ 对分两种情况讨论得到D选项正确. 【详解】由知在上递增，故A选项正确； ，故图象关于点中心对称，故B选项正确； 由，当时，，递增，图象下凸，此时，故C选项错误﹔ 对于D选项： ，注意到，故的图象关于点中心对称，而，则在上有唯一零点等价于在无零点， ， 当时，因为，则， 于是在递增，于是当时，，满足题意﹔ 当时，，由连续函数的性质可知，一定存在，使得时，则在单调递减，于是时， 而时，，，， ， 由零点存在定理，在区间上一定还存在零点，与已知矛盾. 故. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断选项D的真假，需要利用导数分析函数的单调性，再结合零点存在性定理和函数图象的对称性得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知离散型随机变量，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式求出，再根据期望的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故答案为： 13. 某班元旦晚会准备了8个节目，其中歌曲节目有3个，舞蹈节目有2个，小品、相声、魔术节目各1个，要求小品、相声、魔术这3个节目不安排在第一个表演，这3个节目中最多有2个节目连续表演，且魔术在小品后面表演，则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种______．（用数字作答） 【答案】10800 【解析】 【分析】首先排歌曲和舞蹈，再排小品、相声、魔术，最后根据分步乘法即可得到答案. 【详解】先将歌曲和舞蹈节目排好，有种， 再将小品、相声、魔术这3个节目排好，有种， 则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种. 故答案为：10800. 14. 1675年，卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹．已知点，动点满足，则面积的最大值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意可列等量关系，化简可得，即可求解，由面积公式即可求解. 【详解】已知定点为，， 因为动点满足， 所以点的轨迹方程为， 两边同时平方可得， 整理得， 所以， 此时，当且仅当，时，取得最大值， 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动．这6名老师中，英语老师､化学老师､数学老师各2名． （1）求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率； （2）设表示选出的3人中数学老师的人数，求的均值与方差． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据组合数的计算，结合古典概型和互斥事件的概率计算公式，可得答案； （2）根据超几何分布的概率计算公式，以及均值和方差的计算公式，可得答案. 【小问1详解】 推荐的6名老师中任选3名去参加活动基本事件总数， 这6名老师中，数学老师2名，英语老师2名，化学老师2名， 设事件表示“选出的数学老师人数多于英语老师人数”， 表示“恰好选出1名数学老师和2名化学老师”，表示“恰好选出2名数学老师”， 互斥，且，，， 选出数学老师人数多于英语老师人数的概率为； 【小问2详解】 由于从6名老师中任选3名的结果为 从6名老师中任选3名，其中恰有名数学老师的结果为，那么6名中任选3人， 恰有名数学老师的概率为， 所以， ， ． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求的大小； （2）若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）由面积公式求出，在中利用余弦定理及基本不等式求出的最小值，求出此时、的值，再由余弦定理计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 所以，又，所以， 所以，即，又， 所以； 【小问2详解】 因为的面积为，即， 即，则，， 因为，所以， 在中， 即，当且仅当，即，时取等号， 所以，即的最小值为，此时，， 则， 所以，即. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，，D为棱的中点． （1）求证：平面； （2）在棱BC上是否存在异于点B的一点E，使得DE与平面所成的角为？若存在，求出的值若存在，请说明理由． 【答案】（1） ∵平面，平面，∴， ∵，∴ 由已知得，，∴，同理可得 ∴，即 又，平面，∴平面 （2） 连接，∵，，，∴， ∵平面，∴， 以A为原点，AB，AC，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，则 设，则，∴ 由（1）知平面的一个法向量为 ∴ 化简得，解得或（舍去） 故在棱BC上存在异于点B的一点E，使得DE与平面所成的角为，且 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别证明，，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据题意，连接，以A为原点，AB，AC，所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算结合线面角的求法即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知点A，B是椭圆的左，右顶点，椭圆E的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆E的方程； （2）点O是坐标原点，直线l经过点，并且与椭圆E交于点M，N，直线与直线交于点T，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】（1） （2） 显然直线l的斜率存在，不妨设直线：， 因为过点，所以：， 所以直线： 联立，消去y，得， ， 设点，， 所以，，， ， 直线，直线， 联立，解得， 即，又因为直线：， 所以 所以 ，， 所以， ． 【解析】 【分析】（1）直接利用椭圆的相关性质即可求解； （2）设直线，与椭圆联立消得出韦达定理，求出的坐标，再求出直线，的斜率，，将转化为韦达定理化简即可证明. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以，椭圆E的方程为． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线定值问题，往往是将直线设而不求，与圆锥曲线联立消或者消，得出韦达定理，将问题转为用韦达定理表示的式子，通过变形化简即可证明. 19. 已知函数. （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2），求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）代入，求出，再利用导数的意义求出切线的斜率，最后由点斜式得到直线方程即可； （2）给定区间内函数不等式恒成立求参问题，构造函数，求导分与零的关系讨论单调性，其中当时结合零点存在定理分析，最终求出符合条件的的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以， 则. 故的图象在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 等价于. 令，则. 若，则在上恒成立， 则在上单调递减，则，符合题意； 若，令， 则在上恒成立， 则在上单调递减，则， 当，即时，在上恒成立，即在上恒成立， 则在上单调递减，则，符合题意； 当，即时，， 则，，所以当时，，即， 故在上单调递增；当时，，不符合题意. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于能理解题意得到问题等价于对于恒成立，再构造函数，求导分析单调性得到结果即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 望城一中高二年级期中调研数学考试卷 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面第一象限内一点，且∠AOC=，且，若=λ+μ，则λ+μ=（ ） A. 2 B. C. 2 D. 4 4. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 5. 小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆州市的概率分别为0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为0.6，到了十堰市小孟一家去游乐园的概率为0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（ ） A. 0.48 B. 0.49 C. 0.52 D. 0.21 6. 已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 在正三棱锥P－ABC中，O为△ABC的中心，已知AB=6，∠APB=2∠PAO，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 49π B. 36π C. 32π D. 28π 8. 已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 给出以下四个说法，其中正确的说法是（ ） A. 残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小； B. 在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好； C. 在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位； D. 对分类变量与，若它们的随机变量的观测值越小，则判断“与有关系”的把握程度越大． 10. 已知抛物线.现将抛物线绕原点顺时针旋转，得到新抛物线.记的焦点为.过点的直线交抛物线于、两点，若直线的斜率为，则下列关于的说法中正确的是（ ） A. 焦点 B. C. 准线方程为 D. 的面积为 11. 已知，，，若存在唯一零点，下列说法正确的有（ ） A. 在上递增 B. 图象关于点中心对称 C. 任取不相等的实数，均有 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知离散型随机变量，，则__________. 13. 某班元旦晚会准备了8个节目，其中歌曲节目有3个，舞蹈节目有2个，小品、相声、魔术节目各1个，要求小品、相声、魔术这3个节目不安排在第一个表演，这3个节目中最多有2个节目连续表演，且魔术在小品后面表演，则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种______．（用数字作答） 14. 1675年，卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹．已知点，动点满足，则面积的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动．这6名老师中，英语老师､化学老师､数学老师各2名． （1）求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率； （2）设表示选出的3人中数学老师的人数，求的均值与方差． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求的大小； （2）若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，，D为棱的中点． （1）求证：平面； （2）在棱BC上是否存在异于点B的一点E，使得DE与平面所成的角为？若存在，求出的值若存在，请说明理由． 18. 已知点A，B是椭圆的左，右顶点，椭圆E的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆E的方程； （2）点O是坐标原点，直线l经过点，并且与椭圆E交于点M，N，直线与直线交于点T，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 19. 已知函数. （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2），求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $