精品解析：广东省汕头某校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期中考试 高二 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效． 5．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，然后根据交集、并集的定义求解即可． 【详解】，所以，所以． 故选：B． 2. 已知角α的终边上有一点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可求得的值，再利用诱导公式，即可求得答案. 【详解】由题意知角α的终边上有一点，则， 故，则， 故选：A 3. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ） A. 30 B. 10 C. 9 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比中项可得，对根据等比数列的定义和通项公式可得，运算求解即可得答案. 【详解】为正数的等比数列，则，可得， ∵， ∴， 又∵，则，可得， ∴，解得， 故. 故选：B. 4. 已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，均有成立，则下列函数中符合条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数、对数运算性质结合函数单调性、奇偶性定义逐一判断每个选项即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故不是偶函数，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，， 又定义域为全体实数，它关于原点对称，且， 即函数是定义域为的偶函数， 当时，单调递增，满足题意. 故选：D. 5. 从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即，则X的方差D（X）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求得，，再求出期望，再根据方差公式即可得解. 【详解】解：由题意，得，，故的分布列为 0 1 所以，所以 故选：A. 6. 已知，分别是双曲线（，）的左右焦点，若过的直线与圆相切，与在第一象限交于点，且轴，则的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据题意求得，又轴，可求得，利用，列式运算得解. 【详解】如图，设，圆的圆心为，半径为， 过点的直线与圆相切于点，则，， ，则，所以， 因为轴，所以易得，， 化简得，即，解得， . 故选：D. 7. 已知二项式按照的方式展开，则展开式中的值为（ ） A. 90 B. 180 C. 360 D. 405 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，然后利用展开式的通项公式即得. 【详解】由题意得，， 所以展开式中的第项为，即. 故选：D. 8. 物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若，则k的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可. 【详解】， 而，故． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得. 详解】依题意可得，，，， 所以，故A正确、B正确、C错误； ，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，得到的图象 C. ，都有 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则实数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象依次求得的值，再结合三角函数图象变换、以及性质，易得到答案. 【详解】由函数的部分图象， 可得，. 再根据五点法可得，得，故. ，故A正确； ，故B错误； 取时，显然不成立，故C错误； 令，由，可得， 要使方程在上有两个不相等的实数根， 只需函数在上有两个不同的零点， 即，故D正确. 故选：AD. 11. 如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则（ ） A. 当为的中点时，异面直线与所成角为 B. 当平面时，点的轨迹长度为 C. 当时，点到的距离可能为 D. 存在一个体积为的圆柱体可整体放入内 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AC：建立空间直角坐标系计算求解；对于B：过作面的平行平面，进而可得点的轨迹；对于D：由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥内接最大圆柱的体积，表示出体积，然后利用导数求其最值即可. 【详解】对于A，因为为正方形，如图，连接与，相交于点，连接， 则两两垂直，故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 为的中点，则， 当为的中点时，， 设异面直线与所成角为， 则，故，故正确； 对于B，如图，设为的中点，为的中点， 则，平面，平面， 则平面，又平面，又，设， 故平面平面，平面平面，平面平面， 则，则为的中点，点在四边形内（包含边界）运动，则， 点的轨迹是过点与平行的线段，长度为4，故B错误； 对于C，当时，设， ，得，即， 即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如下图）， 到的距离为3，弧上的点到的距离最小值为， 因为，所以存在点到的距离为，故C正确； 对于D，如图，由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥内接最大圆柱的体积， 设圆柱底面半径为，高为，为的中点，为的中点，， 根据，得，即， 则圆柱体积， 设，求导得， 令得，或，因为，所以舍去，即， 所以当时，，当时，， 即当时，， 则， 所以， 故存在一个体积为的圆柱体可整体放入内，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中的常数项为______． 【答案】240 【解析】 【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式代入计算，即可得到结果. 【详解】二项式展开式通项公式为， 令，解得，则常数项. 故答案为：240 13. 甲、乙、丙、丁四名专家分别前往A，B，C三所中学开展科学知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，每个专家只能去一所学校，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有______种.（填数字） 【答案】 【解析】 【分析】分甲一个人到A中学和甲和其他人一起到A中学两种情况，分别计算可得答案. 【详解】若甲一个人到A中学，则其余3人到B，C两所中学，有种方式； 若甲和令一人到A中学，则相当于其余3人，每人到一所学校，有种方式，所以共有种方式. 故答案为： 14. 已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据意义可设，求出直线的方程为，且恒过定点，所以点M到直线AB的距离的最大值为. 【详解】设，则满足； 易知圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径，如下图所示： 易知，所以，即，整理可得； 同理可得， 即是方程的两组解， 可得直线的方程为，联立，即； 令，可得，即时等式与无关， 所以直线恒过定点，可得； 又在圆内，当，且点为的延长线与圆的交点时，点到直线的距离最大； 最大值为； 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列等比数列公式即可求解两个数列的通项； （2）利用裂项相消法和等比数列求和公式即可求和. 【小问1详解】 设数列的公差为，数列的公比为， 则，解得：， 所以数列的通项公式为； 数列的通项公式. 【小问2详解】 ， 数列的前项和． . 16. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形， （1）证明： （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点O，连接AO，证明出平面，再利用线面垂直的性质推理作答. （2）以点O为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出两个平面夹角的余弦作答. 【小问1详解】 连接，交于O，连接，因为侧面为菱形，则， 而，O为的中点，即有， 又，且平面，于是平面， 而平面，所以. 【小问2详解】 设，而，有，， 又，则，即有，因此，即，，两两垂直， 以O为坐标原点，分别以射线，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， ，， 设平面的法向量为，则， 令，则，得， 显然平面的一个法向量为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数． （1）讨论的最值； （2）若函数有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）最大值，无最小值 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，利用导数求解函数的最值即可； （2）根据转化的思想将问题转化为函数的图象与直线恰有2个交点，利用导数讨论函数的性质，作出图形，结合图形即可求解. 【小问1详解】 由题知的定义域为，， ∴当时，，当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于0， ∴当时，取得最大值，无最小值． 【小问2详解】 解法一 由题知有2个零点， ∴方程，即有2个解． 设，， 则函数与的图象恰有2个交点． ∵，∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，∴， 当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于， ∵，∴当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减，∴， 当x趋近于0时，趋近于a，当x趋近于时，趋近于． 作出函数与的大致图象，如图所示． 结合函数图象知，要使函数与的图象恰有2个交点， 则，∴， 即实数a的取值范围为． 解法二 由题知有2个零点， ∴方程，即恰有2个解． 设，则函数的图象与直线恰有2个交点． ，设， 则， ∴函数即单调递增，∵，∴当时，，单调递减， 当时，，单调递增，∴， 当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于． 如图，作出直线与的大致图象， 结合函数图象知，要使直线与的图象恰有2个交点，则， 故实数a的取值范围为． 【点睛】方法点睛： 已知函数的零点情况求参数的取值范围常用的方法和思路 （1）分类讨论法，将所有可能出现的情况进行分类，然后逐个论证，属于完全归纳． （2）分离参数法，分离参数，将原问题转化成函数最值问题加以解决． （3）数形结合法，先对函数解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解． 18. 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 （1）求甲、乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （3）从数学期望和方差角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）应选拔甲学生代表学校参加竞赛 【解析】 【分析】（1）甲、乙两名学生共答对2个问题分为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得答案. （2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，； （3）设学生乙答对题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知～B（3，），从而求出，，由=，＜，得到甲代表学校参加竞赛的可能性更大． 【小问1详解】 由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率： ． 【小问2详解】 设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1,2,3． ， ， ． X 1 2 3 P 的分布列为： 所以，． 【小问3详解】 设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．则． 所以，． 因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定， 所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 19. 已知椭圆C：，点为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，当与x轴垂直时，． （1）求椭圆C的标准方程． （2），分别为椭圆的左、右顶点，直线，分别与直线：交于P，Q两点，证明：四边形为菱形． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）与x轴垂直时M的坐标代入椭圆方程和联立可得答案； （2）设的方程为，，，与椭圆方程联立，由韦达定理得直线的方程、直线的方程，再由求出、，可证得可得答案． 【小问1详解】 由题可知． 当与x轴垂直时，不妨设M的坐标为， 所以， 解得，． 所以椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 设的方程为，，， 联立得消去x，得， 易知恒成立，由韦达定理得，， 由直线的斜率为，得直线的方程为， 当时，， 由直线的斜率为，得直线的方程为， 当时，， 若四边形为菱形，则对角线相互垂直且平分，下面证， 因为， 代入韦达定理得 ， 所以，即PQ与相互垂直平分，所以四边形为菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中考试 高二 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效． 5．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角α的终边上有一点，则=（ ） A. B. C. D. 3. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ） A. 30 B. 10 C. 9 D. 6 4. 已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，均有成立，则下列函数中符合条件的是（ ） A. B. C. D. 5. 从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即，则X的方差D（X）为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，分别是双曲线（，）的左右焦点，若过的直线与圆相切，与在第一象限交于点，且轴，则的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 7. 已知二项式按照的方式展开，则展开式中的值为（ ） A. 90 B. 180 C. 360 D. 405 8. 物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若，则k的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，得到的图象 C ，都有 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则实数 11. 如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则（ ） A. 当为的中点时，异面直线与所成角为 B. 当平面时，点的轨迹长度为 C. 当时，点到距离可能为 D. 存在一个体积为的圆柱体可整体放入内 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 二项式的展开式中的常数项为______． 13. 甲、乙、丙、丁四名专家分别前往A，B，C三所中学开展科学知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，每个专家只能去一所学校，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有______种.（填数字） 14. 已知点P为直线上动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，． （1）求数列和通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 如图，在三棱柱中，侧面为菱形， （1）证明： （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数． （1）讨论的最值； （2）若函数有2个零点，求实数a的取值范围． 18. 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 （1）求甲、乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 19. 已知椭圆C：，点为椭圆的右焦点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，当与x轴垂直时，． （1）求椭圆C的标准方程． （2），分别为椭圆左、右顶点，直线，分别与直线：交于P，Q两点，证明：四边形为菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$