上海市育才中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

上海市育才中学2024-2025学年高二下期中数学试题 学校:_______姓名：________班级：_________考号：_________ 一、填空题 1．已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率为（    ） 2．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） 3．展开式中的各二项式系数之和为256，则的系数是 4．在报名的5名男生和3名女生中，选取5人参加数学竞赛，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为 ． (结果用数值表示) 5．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10， 则的离心率为 . 6．已知函数（为常数）．若在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ． 7．如图所示的茎叶图记录着甲、乙两支篮球是各6名球员某份比赛的得分数据（单位：分）. 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 .    8．已知抛物线与一条过焦点的直线相交于两点，若弦的中点的纵坐标为，则 . 9．若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是 . 10．有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______结果用最简分数表示． 11．已知曲线：的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线上的任意一点， 设点C满足，且的最大值为7，则的值是 ． 12．已知曲线，给出下列四个结论： ①对任意，曲线C关于x轴、y轴、原点对称；②当时，曲线C是由两条直线和一个正方形组成的图形； ③当时，曲线C上任意两点距离的最大值为；④当时，曲线C围成的区域面积最小值为4. 其中所有正确结论的序号是 . 二、单选题 13．对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}， 至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 15．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点 (离地面最近的点)A距地面m千米，远地点(离地面最远的点)B距离地面n千米，并且F2、A、B在同一条直线上， 地球的半径为R千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（    ）千米. A． B． C．2 D． 16．将9个互不相同的向量，填入的方格中，使得每行、每列的三个向量的和都相等，则不同的填法种数是（ ） A． B． C． D． 三、解答题 17．已知. （1）当时，求不等式的解集；（2）若时，有零点，求的范围. 18．一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. （1）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； （2）若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”， 事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由. 19．平面内有两点与，我们新定义这两点间的“物理距离” ， “光学距离”.上有两个动点P，Q，定点. （1）求的最大值；（2）过点的直线上有一个动点，若的最小值为1，求直线的方程. 20．某校近期举行了“新闻时事知识竞赛”，现在随机抽查参赛的 200 名学生的得分 （满分 100 分）， 按照 制作成如图所示的频率分布直方图，已知 成等差数列. （1）求出 的值，并计算参赛得分在 的学生人数； （2）学校为进一步了解学生对新闻时事获取的途径，准备从得分在与 的学生中按分层抽样的方法抽出6名学生，然后从中再选出3名学生交流新闻时事获取的途径，求这3人中恰有1人的得分在内的概率. 21．已知双曲线：的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程；（2）若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线， 分别与直线交于M，N两点，记的面积为，的面积为．①求证：为定值； ②求的取值范围． 上海市育才中学2024-2025学年高二下期中数学试题解析 学校:_______姓名：________班级：_________考号：_________ 1．【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角是，所以该直线的斜率为. 2．【详解】根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案． 【解答】解：因为双曲线为，所以它的渐近线方程为， 因为有一条渐近线方程为，所以． 3．8【分析】由二项式系数和等于求得的值.【详解】依题意得：解得故答案为： 4．55【分析】先计算所有的情况，排除不满足的情况得到答案. 【详解】总共有种情况，排除全是男生的1种情况，共有种情况，故答案为：. 【点睛】本题考查了组合的应用，利用排除法可以快速得到答案，是解题的关键. 5．/【分析】由已知可得，再由的周长为10，可得，求出，从而可求出离心率. 【详解】由椭圆方程可得，得， 因为是上一点，所以，因为的周长为10， 所以，得， 所以的离心率为.故答案为：. 6． 【分析】根据给定的函数，求出其单调递增区间， 再利用集合的包含关系求解即可.【详解】依题意，函数，显然函数在上单调递减，在上单调递增，因为在区间上单调增函数，因此，则， 所以的取值范围是.故答案为： 7．【分析】根据茎叶图进行数据分析，列方程求出x、y即可求解. 【详解】由题意，甲的中位数为：，故乙的中位数① ，，因为平均数相同，所以②， 由①②可得，，所以，故答案为：. 8．【分析】首先把抛物线方程化成标准方程，得到，再利用焦点弦长公式，即可求得. 【详解】由得，所以，根据题意得； 所以由抛物线过焦点的弦长公式可知： .故答案为： 9． 【分析】画出图像，当直线过点时，求出值;当直线与曲线相切时，求出，即可得出的取值范围.【详解】当直线过点时， ，此时直线与曲线有两个公共点；直线与曲线相切时，， 因此当时，直线与曲线有两个公共点.故答案为. 【点睛】本题考查了直线与圆相切时满足的关系，以及点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思想， 准确判断出曲线方程所表示曲线形状，且根据题意画出图形是解决问题的关键，属于中档题. 10．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后用古典概率公式求解概率即可． 【详解】编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，所有的事件总数为：，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两种情况， 所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：，故答案为：． 11.7或【分析】设，写出两点间的距离公式，分类利用配方法求最值，可得m值， 结合，求得的值． 【详解】设，则 ，若，则，解得．此时，，，由，得；同理，若，可得，此时求得．故的值为7或． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查两点间距离公式的应用，训练了利用配方法求最值，是中档题． 12．①②③【分析】对于①，将代入曲线方程中即可判断；对于②③，将的值代入曲线方程中，作出函数图象即可判断；对于④，先研究曲线在第一象限的图象，再由对称性得到曲线C的完整图象，从而由图象结构特征得恒成立即可求解.【详解】对于①，因为曲线， 所以将代入曲线方程中，方程不变，所以对于任意，曲线C关于x轴、y轴、原点对称，故①正确；对于②，当时，曲线，整理为， 即或，作出和的图象即该曲线C的图象如图所示： 所以当时，曲线C是由两条直线和一个正方形组成的图形，故②正确； 对于③，当时，曲线，即， 则曲线 ，作出该曲线C图象如下图所示：此时曲线C上两点的距离最大值 即为，所以当时，曲线C上任意两点距离的最大值为，故③正确； 对于④，当时，曲线C：，即，若， 则时曲线 为中心是，长轴长为，短轴长为的椭圆在第一象限的部分，因为曲线C关于x轴、y轴、原点对称，所以时作出曲线C完整图象形状如图所示： 时，曲线C完整图象为③中所示图象；时，曲线在第一象限 图象为中心是，长轴长为，短轴长为的 椭圆在第一象限的部分；所以综上由对称性曲线C围成的区域面积 恒成立， 令，则恒成立，所以， 所以当时，曲线C围成的区域面积最小值不可能为4，故④错误.故答案为：①②③. 【点睛】解决本题的关键是先研究曲线在第一象限的图象，再利用曲线的对称性得到曲线完整图象，再由图象研究 曲线性质即可，树形结合简化了问题的难度. 13．B【分析】根据事件关系，即可判断选项.【详解】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确；B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确； D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确.故选：B 14．D【详解】二项式的展开式的通项为 令，解得 ， ，解得 故选D. 15．A【分析】根据椭圆的对称性，找到与地球半径之间关系，解出即可. 【详解】解:由题知，记椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为，由题可知，①，②，①②可得:，故， 即短轴长为，故选:A. 16．C【分析】先确定每行、每列向量和的可能情况，再根据向量和的情况确定满足条件的向量组合，最后计算不同的填法种数.结合分步乘法原理计算即可.【详解】已知， 那么向量的所有可能情况有共种. 设每行、每列的三个向量的和为，因为，所以. 又因为三行向量和等于三列向量和，且所有向量和为，所以， 而的分量和分量都为（取值且各有个），所以. 要使每行、每列的三个向量和为，则每行、每列的三个向量的分量和分量都分别为. 对于分量，个数的和为，有这一种组合情况； 对于分量，个数的和为，也有这一种组合情况. 先确定第一行的填法，第一行的个向量的分量和分量都要满足的组合，分量的排列有种，分量的排列也有种，所以第一行的填法有种. 当第一行确定后，第二行第一列的向量分量要与第一行第一列和第三行第一列的分量和为，分量同理，所以第二行第一列的向量是唯一确定的，同理第二行第二列、第二行第三列的向量也唯一确定，第三行的向量也就随之确定. 因为第一行确定后，第二行和第三行可以交换位置.所以不同的填法种数是种. 故答案为：C. 17．（1）；（2）.【分析】（1）化简不等式，再求解即可； （2）转化为方程有解，再分离参数，求函数的值域即可. 【详解】（1）当时，，所以由可得， 即，所以，解得，故不等式的解集为； （2）因为时，有零点，所以在上有解，即在上有解， 令，因为，， 所以，故，所以. 18．（1）；（2）相互独立，理由见解析.【分析】（1）由题意可得共有16个基本事件，再列举出事件包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式求解即可；（2）由题意可得共有12个基本事件，再分别列举出事件和同时发生的基本事件，然后求出，再利用独立事件的定义分析判断即可. 【详解】（1）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，共包含个基本事件， 其中事件：包含3个基本事件，所以； （2）若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，共包含个基本事件， 事件，所以， 事件，所以， 当同时发生，即2张卡片上数宁之和是3的倍数同时积足4的倍数，有两种取法， 所以，因为，所以事件与事件是独立的. 19．（1）；（2）或. 【分析】（1）由，几何意义为：到的距离， 几何意义为：到的距离，即可求解； （2）即与的距离，由最小值转换成点到线的距离即可求解； 【详解】（1）化成标准方程：，圆心为，半径为2， 设，则，几何意义为到的距离， 其最大值为圆心到的距离加上半径，即：， ，几何意义为到的距离，其最小值为圆心到的距离减去半径， 即：，所以的最大值为， 即的最大值为； （2）由，即与的距离， 设过点的直线方程为：，因为过圆心，可得：， 即方程为，由题意，若的最小值为1，即到的距离为1， 可得：，平方化简可得：，解得：或，即， 所以直线方程为：或. 20．（1）；人；（2）.【分析】（1）利用矩形面积之和为1和 成等差数列可得的值，再利用频数等于频率乘以总数来求参赛得分在的学生人数； （2）由古典概型的概率公式结合组合的知识即可求解. 【详解】（1）由题意可知，且， 解得，则参赛得分在 的学生人数为人. （2）由题意可知，得分在与 的人数之比为， 故从得分在的学生中抽取人，在得分 的人中抽取人， 从中再选出3名学生交流新闻时事获取的途径的情况有种基本情况， 其中恰有1人的得分在内的有种基本情况，则这3人中恰有1人的得分在内的概率为. 21．（1）；（2）①证明见解析；②.【分析】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）①设直线PQ的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论； ②利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c，由题意得，渐近线方程不妨取，即， 则，而，故双曲线方程为； （2）①由题意知，设直线PQ的方程为， 联立方程组，得， 因为过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点， 故，则， 则； 当直线PQ斜率不存在时，， 故为定值； ②由题意可得， 直线AP的方程为，则， 直线AQ的方程为，则， 则，所以， 由于。即，，故， 当直线PQ斜率不存在时，， 直线AP方程为， 直线AQ方程为，可得，综上的取值范围为. 【点睛】本题综合考查了直线和双曲线位置关系中的三角形面积问题，解答的难点在于的取值范围的确定， 解答时要注意结合直线和双曲线方程联立求出的表达式，计算过程比较复杂，计算量较大. 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$