第一章 勾股定理 巩固训练课件 2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

第一章 勾股定理 3 勾股定理的应用 1 知识点1 勾股定理的应用 （第1题） 1.如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条 长的电缆，则地面固定点到电线杆底部 的距离为 ( ) A A. B. C. D. 返回 1 星题 夯实四基 2 （第2题） 2.［2025西工大附中月考］如图，圆柱形杯子底面直径为 ，高为。将一根长 的木棒斜放在杯子中， 设木棒露在杯子外面的长度为，则 的最小值是( ) B A.9 B.11 C.12 D.14 返回 1 星题 夯实四基 3 3.［教材 例题变式］ 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计 算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中 ， 于点，尺，尺。设的长度为 尺，可列 方程为____________________。 返回 1 星题 夯实四基 4 4.［教材尝试·思考变式］ 如图，将长方形折叠，使点 与点 重合，折痕为，，，则的长为___ 。 9 返回 1 星题 夯实四基 5 5.［2025西安铁一中月考］如图，小明为了测得学校旗 杆 的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面 点，此时，点到旗杆底部点的距离为 ，他又 将旗绳拉直到旗杆底部点，此时，绳子多出一截 ， 量得多出部分的长度为 ，请你帮他计算出旗杆的高 度。 解：设旗杆的高度为，则 ， 在中，由勾股定理得，解得 。 答：旗杆的高度为 。 返回 1 星题 夯实四基 6 知识点2 利用直角三角形的判定条件解决实际问题 6.李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是 , 和 ，则这个教具______（填“合格”或“不合格”）。 合格 返回 1 星题 夯实四基 7 7.如图，某港口 位于东西方向的海岸线上，胜 利号、智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固 定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别 航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号 A A.北偏东 B.北偏西 C.北偏东 D.北偏西 两轮船分别位于点， 处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北 偏西 方向航行，那么智能号轮船的航行方向是( ) 返回 1 星题 夯实四基 8 8. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记 载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二 里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田， 三条边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？1里按 计算，则该沙田的面积为( ) A A. B. C. D. 返回 2 星题 提升四能 9 （第9题） 9.［教材复习题 变式］ ［2025西安高新区期 中］ 如图，滑杆在机械槽内运动， 为直角， 已知滑杆长，顶端在 上运动，滑杆下 端距点的距离为，当端点向右移动 至处时，滑杆顶端下滑了____ 。 0.5 返回 2 星题 提升四能 10 10.［2024常州中考］如图，在中， ， ， ，是边的中点，是边上一点，连接，。将 沿翻折，点落在上的点处，则 __。 （第10题） 返回 2 星题 提升四能 11 11. 物理课上，老师带 着科技小组进行物理实验。同学们将一 根不可拉伸的绳子绕过定滑轮 ，一端 拴在滑块上，另一端拴在物体 上， 滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体 的升降。实验初始状态如图①所示，物体静止在直轨道上，到滑块 的水平距离是，到定滑轮的垂直距离是 。（实验过程中， 绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） 2 星题 提升四能 12 （1）求绳子的总长度； 解：由题意得，， 。 所以，所以 ， 所以 ， 即绳子的总长度为 。 2 星题 提升四能 13 （2）如图②，若物体升高，求滑块 向左滑动的距离。 解：由题意得，， 。 所以,所以 。 所以，所以 ， 所以 ， 即滑块向左滑动的距离为 。 返回 2 星题 提升四能 14 12. 为了积极响应国家新农 村建设号召,某镇政府采用了移动宣讲的形式 进行宣传动员。如图,笔直公路的一侧点 （1）村庄 能否听到宣传？请说明理由; 解：村庄 能听到宣传, 理由:因为村庄到公路的距离为600米，600米 米， 所以村庄 能听到宣传。 处有一村庄,村庄到公路的距离米，若宣讲车 周围 1 000米以内能听到广播宣传,宣讲车在公路上沿到 的方向行驶。 3 星题 发展素养 15 （2）如果能听到,已知宣讲车的速度是200米/分钟,求村庄 总共能听到 多长时间的宣传。 解：如图。假设当宣讲车行驶到点时，村庄 开始 听到宣传,行驶到点时，村庄 刚好听不到宣传，连 接,,则 米, 易得,所以 。 由勾股定理,得，即 ，所以 米。所以米。所以村庄 能听到宣传的时间为 （分钟），即村庄 总共能听到8分钟的宣传。 返回 3 星题 发展素养 16 $$第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第2课时 勾股定理的验证及简单应用 1 知识点1 勾股定理的验证 1.［教材习题 变式］用4个如图①所示的直角三角形可以摆成如图 ②所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理。 （1）图②中大正方形的边长为______，里面 小正方形的边长为___； （2）大正方形的面积可以表示为_________， 也可以表示为__________； （3）对比这两种表示方法，可得出_________ _____________，整理，得_____________。 返回 1 星题 夯实四基 2 知识点2 勾股定理的简单应用 （第2题） 2.［教材习题变式］ 如图，一棵高为 的大树被 台风刮断，若大树在离地面的点 处折断，则树顶端 离树底部( ) A A. B. C. D. 返回 1 星题 夯实四基 3 （第3题） 3. 如图①是一块长 方形草坪， 是一条被踩踏的小路， 已知， 。为了 避免行人继续踩踏草坪（走线段 ），小梅分别在， 处各挂了 一块图②的牌子，则牌子上“？”处 是( ) D A.3 B.4 C.5 D.6 返回 1 星题 夯实四基 4 （第4题） 4.如图，一轮船以的速度从港口 出发 向东北方向航行，另一轮船以 的速度同 时从港口出发向东南方向航行，离开港口 后， 两船相距( ) D A. B. C. D. 返回 1 星题 夯实四基 5 （第5题） 5.如图，有两棵树和（都与水平地面 垂 直），树高，树梢到树 的水平距离 的长度为， ，一 只小鸟从树梢飞到树梢 ，则它至少要飞行的距 离为( ) A A. B. C. D. 返回 1 星题 夯实四基 6 6. 陕西省的地势南北高、中 间低，有高原、山地、平原和盆地等多种地形。 如图，某工程队现需穿过某座大山修一条隧道 ，为了测量隧道 的长度，在山的另一侧水 平地面上取点，在隧道的延长线上取点 ，测量得知， ，，，请你求出隧道 的 长。 1 星题 夯实四基 7 解：因为 , , 所以 ,所以在中， , 即，所以,即隧道的长为 。 返回 1 星题 夯实四基 8 7.图①是某区域的监控警示图标，图②是抽象出的几何模型，已知 为直角，若段长，段比段长，则 段的长度 为( ) A A. B. C. D. 返回 2 星题 提升四能 9 8.下面各图中，不能用来证明勾股定理的是( ) C A. B. C. D. 返回 2 星题 提升四能 10 9. ［2024眉山中考］ 如图，图① 是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古 代数学家赵爽的“弦图”，由四个全等的直角三角 形拼成。若图①中大正方形的面积为24，小正方 D A.24 B.36 C.40 D.44 形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形的 面积为( ) 返回 2 星题 提升四能 11 10.［教材 例题变式］ 道路交通安全法规定：小汽车在高速道路上行 驶速度不得超过。如图， 点装有一车速检测仪，它到公路 边的距离，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达 点时开始 计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知 。 2 星题 提升四能 12 （1）若一辆汽车以 的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ 解：依题意得 ， 所以 。 因为， ， 所以，所以 。 因为，所以 。 答：共用时 。 （2）若另一辆车匀速通过监控区域，共用时 ，该车是否超速？ 解： ， 因为 ，所以该车超速。 返回 2 星题 提升四能 13 11. ［教材思考·交流变式］ 在中， ， ,。若 ,如图①，根据勾股定理，有 ； 若 不是直角三角形，而是图②③所示的锐角三角形和钝角三角形。 3 星题 发展素养 14 （1）请你类比勾股定理，猜想与的关系：图②中， ___；图③中，___；（填“ ”“ ”或“ ”） （2）说明你在（1）中猜想的正确性； 3 星题 发展素养 15 解：如图①，作边上的高 ，则 。设 。 在和 中，有 ，即 如图②，作边上的高，则 。设 。 在和中，有 ,即 ，整理，得 。 因为，所以 。 ，整理，得 。 因为，所以 。 3 星题 发展素养 16 （3）图②中，若的长为，的长为， 的长为 ，请你求出 的面积。 解：如图①，设，则 。 3 星题 发展素养 17 同（2）可得 。 因为,, , 所以 ， 所以。所以 ,则 。所以 的面积为 。 返回 3 星题 发展素养 $$第一章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗 1 知识点1 由三边关系确定直角三角形 1.［教材P11随堂练习T1变式］ ［2025西安新城区期末］ 以下列各组 数为边长，其中能构成直角三角形的是( ) C A.2，3，4 B.6，7，8 C.8，15，17 D.9，24，25 返回 1 星题 夯实四基 2 2.［教材习题变式］ 在中，若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 不是直角三角形 返回 1 星题 夯实四基 3 3.若的三边长,,满足 ，则 是( ) A A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 返回 1 星题 夯实四基 4 （第4题） 4. 为了增强学生的环保意识和生态 意识，某中学在植树节当天组织了植树活动。如 图,为了判断种的小树是否与地面垂直,种好树后, 小明从树干上的处拉了一根 长的绳子，刚 好到距离树的底部处的 处,测得 ,则小树与地面______（填“垂直”或 “不垂直”）。 垂直 返回 1 星题 夯实四基 5 5.如图，三个正方形的面积分别为，， ，则 分别以它们的一边为边围成的三角形中，____ 。 90 （第5题） 返回 1 星题 夯实四基 6 6.如图，点在边长为13的正方形内， ， ，求出图中阴影部分的面积。 解：在中,因为 , ，所以 ,所以是直角三角形， 。所以 。 返回 1 星题 夯实四基 7 知识点2 勾股数 7.在下列各组数中，是勾股数的一组是( ) D A.，， B.5，6，7 C.， ，1 D.5，12，13 返回 1 星题 夯实四基 8 8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我 国古代的数学著作《周髀算经》中。若，3，4是一组勾股数，则 的值 为___。 5 返回 1 星题 夯实四基 9 9.［2025西工大附中月考］在中，，， 的对边分别记为 ，，，由下列条件不能判定 为直角三角形的是( ) B A. B. C. D. 返回 2 星题 提升四能 10 10.［教材P14随堂练习T1变式］ 有五根小木棒，其长度分别为7，15， 20，24，25。现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 2 星题 提升四能 11 11. 若的三边长分别为，， ，且满足 ，则 的形状为( ) D A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 返回 2 星题 提升四能 12 （第12题） 12. 如图，已知，是线段 上 的两点，，，以点 为圆 心，的长为半径画弧，再以点为圆心， 的 长为半径画弧，两弧交于点，连接， ，则 一定是( ) B A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 返回 2 星题 提升四能 13 13.［教材习题 变式］ 如图所示的网格是由四个完全相同的小正 方形拼成的，则 _____。 （第13题） 返回 2 星题 提升四能 14 14.如图，某中学有一块四边形空地 ，学校计划在空地上种植草皮， 经测量 ，，，， 。 （1）求四边形 的面积； 2 星题 提升四能 15 解：连接 ， 因为 ，， ， 所以，所以 。 又因为， ， 所以，所以 是直角三角形， 且 ， 所以 。 2 星题 提升四能 16 （2）若每平方米草皮需要200元，学校需要投入多少资金买草皮？ 解： （元）。 答：学校需要投入4 800元买草皮。 返回 2 星题 提升四能 17 15. 在我国西汉时期的《周髀算经》中就有“勾三股四 弦五”的记载。如果一个直角三角形的三边长都是正整数,那么这样的直 角三角形叫作“整数直角三角形”,这三个正整数叫作一组“勾股数”。在 一次“构造勾股数”的探究性学习中,老师给出了下表（其中, 为正整数, 且 ）: 3 星题 发展素养 18 2 3 3 4 4 … 1 1 2 1 2 … … 4 6 12 8 16 … … （1）观察上表，发现：_________,______, _________； （用含, 的代数式表示） 3 星题 发展素养 19 （2）以,, 为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由。 解：以,, 为边长的三角形一定为直角三角形,理由如下: 因为 , ,所以 ,所以以,, 为边长的三角形一定为直角三角形。 返回 3 星题 发展素养 20 $$第一章 勾股定理 章末整合练 1 知识梳理 直角 正整 2 核心考点巩固 考点1 勾股定理 （第1题） 1.如图，在中， ， ，，点为线段上一动点，则 的最小值为( ) B A.4 B.4.8 C.5 D.6 返回 3 （第2题） 2.［2025西安阎良区期中］如图，在 中， ，分别以， 为边向外作正方形， 面积分别为，，若，，则 的长 为( ) B A.4 B.2 C.5 D.3 返回 4 3.如图，在中， ， ， 。分别以点和点为圆心，大于 的长为 半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交 于 点，连接，则 的周长是____。 18 返回 5 考点2 直角三角形的判定 4.下列条件中，不能判定，，分别是，，的对边 为直角三角形的是( ) A A. B. C. D.,, 返回 6 5.［教材习题 变式］ 在单位长度为1的正方形网格中，下面的三 角形是直角三角形的是( ) C A. B. C. D. 返回 7 考点3 勾股数 6.下列各组数中，不是勾股数的是( ) D A.6，8，10 B.9，12，15 C.7，24，25 D.，， 返回 8 7. 勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四， 径隅五。”下列各组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12， 35，37；14，48，50; ，当一组勾股数的勾为， 为正整 数时，它的股、径分别为和 。若一组勾股数的勾为26， 则径为_____。 170 返回 9 考点4 勾股定理的应用 8.［教材习题 变式］ 桌上有一个长方体盒子 （如图），其长、宽、高分别是，， ， 在的中点处有一滴蜜糖，一只小虫从 处沿盒子表面 爬到 处去吃，则小虫爬行的最短路程为_______。 返回 10 9. ［2025宝鸡期中］学习了“勾股定理”后，某校数学 兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余 时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成 下面试题。 11 报告 测量风筝的垂直高度 工具 皮尺等 示意图 ___________________________ 方案 先测量风筝的水平距离 ，然后根据手中剩余线的长度 得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高 数据 ，， ， 12 （1）求此时风筝的垂直高度 ； 解：在 中，由勾股定理得 ，所以 ，所以 。 13 （2）若站在点不动，想把风筝沿方向从点的位置上升至点 的位置（即，点，， 在一条直线上，图中所有点均在同 一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 解：因为，，所以 ， 在中， ，所以 ， 所以 。 答：还需放出风筝线 。 返回 14 考点5 直角三角形判定的应用 10. ［2025西安曲江一中期中］如图是某品 牌婴儿车简化结构示意图，现测得 ， ，，其中与 之间由一个固 定为 的零件连接即 ，根据安全标准需 满足 ，通过计算说明该车是否符合安全标准。 15 解：因为 ，， ，所以 ，因为 ， ,所以在中， ， 所以，所以是直角三角形，且 ， 所以 ，所以该车符合安全标准。 返回 16 $$第一章 勾股定理 专项突破1 利用勾股定理解决折叠问题 1 主题情境 在综合实践课上，老师组织同学们以“直角三角形纸片的折叠”为主 题开展数学活动。从同一图形折叠到不同位置，迁移到其他图形的折叠， 锻炼动手能力，空间想象能力和图形变换的思想。 2 任务一 操作实践 1.老师让每个小组剪了一些如图①所示的直角三角形纸片 ， ，，并对 纸片中的各内角进行折叠操作。 操作1 把一边折叠到另一边上 （1）如图②，“善思”小组将纸片中的 进行折叠，使直角边 落在斜边上，点落在点位置，折痕为，则的长为___ 。 3 3 操作2 把一顶点折叠到另一顶点上 （2）如图③，“敏学”小组将纸片中的进行折叠，使点 落 在点位置，折痕为，则的长为___ 。 4 操作3 把一顶点折叠到一边的中点上 （3）如图④，“勤奋”小组将纸片中的进行折叠，使点 落 在直角边的中点处，折痕为，则的长为___ 。 5 操作4 把一顶点折叠到一边的延长线上 （4）如图⑤，“雄鹰”小组将纸片中的进行折叠，使点 落 在直角边延长线上的点处，折痕为，则的长为___ 。 6 【方法总结】 ①将所求线段设为 ； ②根据折叠前后对应边相等，用 表示相关边； ③找到直角三角形，用勾股定理列方程求解。 返回 7 任务二 综合探究 （第2题） 2.如图，在三角形纸片中， ， ，。沿过点 的直线将纸片折叠，使 点落在边上的点处；再折叠纸片，使点 与点 重合，若第二次的折痕与的交点为，则 的 长是( ) A A. B. C. D. 返回 8 3.如图，在中， ，，，是边 上 一动点，将沿折叠，点落在点处，交于点 ，则 的最大值为_ __。 （第3题） 返回 9 任务三 迁移运用 （第4题） 4.如图，在长方形纸片中，， ， 将长方形纸片沿折叠，点落在对角线上的点 处，则 的长为___。 6 返回 10 （第5题） 5.如图，将长方形纸片沿着对角线 折叠， 使点落在处，交于点，若 ， ，则重叠部分的面积是____。 10 返回 11 $$第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第1课时 认识勾股定理 1 知识点1 勾股定理 1.在中， ，下列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 1 星题 夯实四基 2 2.在一个直角三角形中，若一条直角边长是3，另一条直角边长是4，则 斜边长的平方是( ) D A.5 B.9 C.16 D.25 返回 1 星题 夯实四基 3 3.如图，在中， 。 （第3题） （1）若，，则 ____； （2）若，，则 ___； （3）若，，则 ___。 17 8 7 返回 1 星题 夯实四基 4 （第4题） 4. 如图，某农舍的大门是一个木制的长方形 栅栏，它的高为，宽为 ，现需要在相对的顶点间 用一块木板加固，则木板的长为_______。 返回 1 星题 夯实四基 5 5.［2025渭南期中］如图，在中，，垂足为，是 边上的中线，，，则的长是____ 。 13 （第5题） 返回 1 星题 夯实四基 6 6.［教材习题变式］ 如图，在中，，是 边上 的高。已知，，则 的长为___。 8 （第6题） 返回 1 星题 夯实四基 7 7.如图，在中，,垂足为， , , 。求： （1） 的长； 解：因为,所以 。在 中，因为 ，所以 。所以 。 所以 。 1 星题 夯实四基 8 （2） 的长。 解：在中,因为 ,所以 。所以 。所以 。所以 。 返回 1 星题 夯实四基 9 知识点2 勾股定理与图形的面积 （第8题） 8.［教材P随堂练习T 变式］ 如图，已知两个正方 形的面积分别为64,289，则字母 所代表的正方形的 面积为( ) C A.15 B.353 C.225 D.17 返回 1 星题 夯实四基 10 （第9题） 9.［2025宝鸡陈仓区期中］如图，所有四边形都是 正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形 ，，的面积依次为6，10，24，则正方形 的面 积为( ) C A.4 B.6 C.8 D.12 返回 1 星题 夯实四基 11 10.如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分 的面积是____。 25 返回 1 星题 夯实四基 12 11.如图， ,，，。若 ， 则 的长为( ) B （第11题） A.10 B.13 C.8 D.11 返回 2 星题 提升四能 13 12.在中， ，,,分别是，， 的对边，若 ，则 的值为( ) D A.10 B.15 C.25 D.50 返回 2 星题 提升四能 14 （第13题） 13.［2025西安西咸新区期中］如图，在 中， ，于点， ， ，则 的长为( ) A A. B.6 C. D.4 返回 2 星题 提升四能 15 14. 如果一个直角三角形的三边长分别为9,12， ，那么 以 为边长的正方形的面积为( ) C A.225 B.63 C.225或63 D.15 返回 2 星题 提升四能 16 15.［教材习题 变式］ 如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四 边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形,,， 的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形 的面积是____。 47 返回 2 星题 提升四能 17 16.如图，在四边形草坪中， 。 若，， ，求这块草 坪 的面积。 解：连接 。由题意得 ,所以 ,所以,所以这块草坪 的面积为 。 返回 2 星题 提升四能 18 17. 根据勾股定理知识，完成下列题目。 （1）如图①，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆形，则它 们的面积,, 之间满足的数量关系是_____________； 3 星题 发展素养 19 （2）应用：如图②，直角三角形的两条直角边长分别为,，斜边长为 , 分别以三边长为直径作半圆形。若, ，求图中阴影部分的面积。 解：以,,三边长为直径所作半圆形的面积分别为,, ,设直角 三角形的面积为 , 在直角三角形中，因为,,所以 ,所以 , 所以阴影部分的面积为 。 返回 3 星题 发展素养 20 $$第一章 勾股定理 ☆问题解决策略：反思 1 知识点1 平面上的最短路径问题 （第1题） 1.如图，在中，点在直线 上移动。若 ，，则 的最小值为( ) C A.4 B.5 C.4.8 D.6 返回 1 星题 夯实四基 2 （第2题） 2.如图，牧童在处放牛，他家在处，， 到河边 的距离分别为， 。已知 ，牧童从 处把牛牵到河边饮水后再回 家，则牧童回家所走的最短路程为_____ 。 500 返回 1 星题 夯实四基 3 知识点2 几何体中的最短路径问题 3.如图，一只蚂蚁从一个无盖正方体纸盒的点沿纸盒表面爬到点 ，它 所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置是( ) A. B. C. D. B 返回 1 星题 夯实四基 4 4.如图，圆柱的底面直径为,高为，一只蚂蚁在点 处，沿圆柱的 侧面爬到点处，现将圆柱侧面沿 “剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁 爬行的最短路线，正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 1 星题 夯实四基 5 （第5题） 5. 攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上 进行的向上攀爬的运动项目。如图，将攀岩墙近似地看 作一个长方体的两个侧面，小天根据学过的数学知识准 确地判断出从点攀爬到点 的最短路程为( ) B A. B. C. D. 返回 1 星题 夯实四基 6 （第6题） 6.［教材习题 变式］ ［2025西安雁塔区月考］ 如 图，圆柱的底面周长为，，动点从点 出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，则点 移动的最 短路径长为( ) A A. B. C. D. 返回 1 星题 夯实四基 7 7.某 打印社团制作了一根盘龙金箍棒，如图，把金箍棒的一部分看成 圆柱体，它的底面周长是 ，龙头部分沿最短路径绕金箍棒盘旋1 圈高 ，求龙头部分的长。 1 星题 夯实四基 8 解：圆柱体的侧面展开图如图，由题意得, ， ，所以 ，即龙头部分 的长为 。 返回 1 星题 夯实四基 9 8.如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为 ， ，。和是台阶两个相对的顶点，在 点有一只蚂蚁，想 到 点去觅食，那么它爬行的最短路程是( ) C （第8题） A. B. C. D. 返回 2 星题 提升四能 10 （第9题） 9.［2025咸阳调研］将长方形纸片 按如图 所示折叠，已知 ， ， ，则一只 蚂蚁从点处到达点 处需要走的最短路程是 ____ 。 13 返回 2 星题 提升四能 11 10.［教材习题 变式］ ［2025宝鸡调研］ 如图， 一只蚂蚁从长为，宽为，高为 的长方体 纸箱的点沿纸箱表面爬到 点，那么它所爬的最短路线 的长是____ 。 15 返回 2 星题 提升四能 12 11.如图，一条河流的段长，在点的正北方处有一村庄 ， 在点的正南方处有一村庄，在段上有一座桥，把 建在何 处时可以使到村和村的距离和最小？求此时桥到村和 村的距离 和。（桥的长度忽略不计） 2 星题 提升四能 13 解：如图，连接交于点，此时最小，且 ， 过点作交的延长线于点 。 易得， ，所以 ，所以，所以此时桥到村和 村的 距离和为 。 返回 2 星题 提升四能 14 12. ［2025深圳龙华区月考］ 3 星题 发展素养 15 （1）如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为 ，在圆 柱的侧面上，过点， 嵌有一圈长度最短的金属丝。 ①现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是___； A A. B. C. D. 3 星题 发展素养 16 ②求该长度最短的金属丝的长； 解：因为圆柱底面的周长为，圆柱的高 ，所以 ，所以 ，所以该长度 最短的金属丝的长为 。 3 星题 发展素养 17 （2）如图②，圆柱的底面半径为，高为，， 分别是圆 柱两底面圆周上的点，且，在同一高线上，用一根棉线从 点顺着圆 柱侧面绕3圈到点，这根棉线的长度最短为____ ； 39 （3）如图③，圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为 ，在杯内 壁离杯底的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯 上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁点处爬行到内壁点 处 的最短距离为____ 。（杯壁厚度不计） 20 返回 3 星题 发展素养 18 $$