精品解析：2025年河南省洛阳市西工区九年级中考一模数学试卷

2025年西工区一模数学试卷（4月28日） 西工区2024—2025学年第二学期质量检测 九年级数学试卷 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.选择题所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置；非选择题所有答案必须填在答题卡的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予计分． 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 棱锥 D. 棱柱 3. 洛阳市图书馆的建筑面积约万平方米，拥有各类纸质文献类资源约万册，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 洛阳明堂的底部是一个正八边形造型，其每个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 从标有“洛阳牡丹甲天下”七个汉字的卡片中随机抽取两张，恰好抽到“牡”“丹”二字的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. a是不等式组的一个整数解，a的值可以是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 9 B. 3 C. D. 9. 在一次物理实验中，小明同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值是定值）亮度的实验（如图1）．已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，图2是I关于R的函数图象，则下列说法中错误的是（　　） A. 灯丝的阻值为 B. 用含R的代数式表示I为 C. 当滑动变阻器的电阻为时，串联电路电流为 D. 要使通过灯泡的电流不低，则调节滑动变阻器电阻的范围为 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，顶点在轴上，点在轴上，点B在第一象限，分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交正方形内一点D，将点D绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，共15分） 11. 化简结果为__________． 12. 若，则的值为__________． 13. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为______． 14. 如图，在扇形中，点C、D在上，将沿着弦折叠后恰好与相切于点E，点F．已知，阴影部分的面积为________． 15. 如图，为等边三角形，，D为边上一动点，过点D作交于点E，作交于点F，连接．当为直角三角形时，线段的长为________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 90 八年级 84 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，________． 同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 18. 如图，点D是的边上一点． （1）尺规作图：在上找一点E，连接，使得（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若，求的面积． 19. 为加强中华优秀传统文化的弘扬与传承，提升学生的文化自信，引导学生在经典诗歌中启智润心、培根铸魂，某校决定举办中华经典诗歌朗读比赛．为鼓励同学们积极参与，大赛设置一等奖、二等奖、三等奖，对应的奖品如下表所示．已知购买一本《诗经》的价格是元，购买1个笔记本和2支笔的价格是元，购买2个笔记本和3支笔的价格是元． 一等奖 二等奖 三等奖 奖品 1 本《诗经》 2个笔记本、1支笔 1 本《诗经》 2支笔 1 个笔记本2支笔 （1）请计算购买 1 个笔记本和1支笔的价格分别是多少? （2）据统计，共有名同学参加比赛，若要求每位参赛同学都能获得一个奖，且一等奖共设置5名，二等奖的数量不少于三等奖数量的 ，则最少需要多少费用来购买奖品?并写出此时二等奖和三等奖各设置多少名． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点．以为边在左侧作正方形． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 21. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在尺规作图版块给出必学要求：会过圆外一个点作圆的切线．数学老师对此要求进行了数学语言表达：“如图，已知及外一点P，求作直线，使与相切于点M．” 王丽所在数学小组经过思考与探索，想出了两种作法，具体如表： 作法一 作法二 ①连接，交于点B，作直径；②以点O为圆心，长为半径作弧，以点P为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为所求作的直线． ①连接，交于点A，过点A作的垂线；②以点O为圆心，长为半径作弧，交直线于点B；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为所求作的直线． 做法一 做法二 证明：∵，，， ∴． ∵，， ∴． ∴直线是的切线．（依据：________） 证明：…… 请仔细阅读，并完成相应的任务． （1）“作法一”中的“依据”是指_________________________________． （2）请根据作法二作图步骤，给出证明过程； （3）在作法二给出的图形中，记交于点E．若的半径为3，，则的长为______________． 22. 小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2所示，分别建立平面直角坐标系．小明通过测量得到球距离台面的高度（单位：）与球距离发球器出口的水平距离（单位：）的相关数据，发现在“直发式”模式下，球的运动轨迹的函数表达式为；在“间发式”模式下，球第一次接触台面的运动轨迹的函数表达式为，第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹的函数表达式为． （1）求“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度． （2）设“直发式”模式下，球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下，球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，要使，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应上下调整多少？ 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与四边形的相互转化”为主题展开数学活动．智慧小组发现，特殊三角形和特殊四边形之间可以相互转化解决问题．如矩形可以转化为两个直角三角形，菱形可以转化为两个等腰三角形等；而特殊三角形也可以转化为特殊四边形． 他们通过探究，提出“以等腰三角形为背景可以构造出平行四边形”，具体操作如下：如图1，在等腰三角形中，，D为上一点，过点B作，且，以点E为圆心，长为半径画弧交的延长线于点F，连接，分别延长，相交于点G，连接． 观察发现：（1）①与数量关系为_______________； ②四边形的形状为_______________； 深入探究：（2）在（1）的条件下判断与的位置关系，并证明． 拓展应用：（3）如图2，若射线恰好过的中点O，且，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年西工区一模数学试卷（4月28日） 西工区2024—2025学年第二学期质量检测 九年级数学试卷 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.选择题所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置；非选择题所有答案必须填在答题卡的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予计分． 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 棱锥 D. 棱柱 【答案】A 【解析】 【分析】由图可知展开侧面为扇形，则该几何体为圆锥． 【详解】该几何体的侧面展开图是扇形，所以这个几何体可能是圆锥, 故选：A． 【点睛】此题主要考查几何体的展开图，熟记几何体的侧面展开图是解题的关键． 3. 洛阳市图书馆的建筑面积约万平方米，拥有各类纸质文献类资源约万册，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， ， 故选：． 4. 洛阳明堂的底部是一个正八边形造型，其每个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形内角问题，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键；因此此题可根据多边形内角和公式可进行求解． 【详解】解：由题意得： 正八边形的内角为； 故选B． 5. 从标有“洛阳牡丹甲天下”七个汉字的卡片中随机抽取两张，恰好抽到“牡”“丹”二字的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意列表如下： 洛 阳 牡 丹 甲 天 下 洛 （阳，洛） （牡，洛） （丹，洛） （甲，洛） （天，洛） （下，洛） 阳 （洛，阳） （牡，阳） （丹，阳） （甲，阳） （天，阳） （下，阳） 牡 （洛，牡） （阳，牡） （丹，牡） （甲，牡） （天，牡） （下，牡） 丹 （洛，丹） （阳，丹） （牡，丹） （甲，丹） （天，丹） （下，丹） 甲 （洛，甲） （阳，甲） （牡，甲） （丹，甲） （天，甲） （下，甲） 天 （洛，天） （阳，天） （牡，天） （丹，天） （甲，天） （下，天） 下 （洛，下） （阳，下） （牡，下） （丹，下） （甲，下） （天，下） 由列表可知一共有42种等可能性的结果数，其中恰好抽到“牡”“丹”二字的结果数有2种， ∴恰好抽到“牡”“丹”二字的概率是， 故选：C． 6. 如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=60°，再由三角形外角的性质可得∠AEF=∠1-∠A=80°，从而得到∠BEF=100°，然后根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴∠A=60°， ∵∠1=140°， ∴∠AEF=∠1-∠A=80°， ∴∠BEF=180°-∠AEF=100°， ∵， ∴∠2=∠BEF=100°． 故选：B 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键． 7. a是不等式组的一个整数解，a的值可以是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组整数解．解出不等式组的解集，在根据a是不等式组的一个整数解，即可解答． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴ ， ∴不等式组有整数解， ∵a是不等式组的一个整数解， ∴或， 故选：C． 8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故选：D． 9. 在一次物理实验中，小明同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值是定值）亮度的实验（如图1）．已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，图2是I关于R的函数图象，则下列说法中错误的是（　　） A. 灯丝的阻值为 B. 用含R的代数式表示I为 C. 当滑动变阻器的电阻为时，串联电路电流为 D. 要使通过灯泡的电流不低，则调节滑动变阻器电阻的范围为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用．观察图象得：当时，，可得，再根据反比例函数的性质解答，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，， ∴，解得：， 即灯丝阻值为，故A选项正确，不符合题意； ∴用含R的代数式表示I为，故B选项正确，不符合题意； 当时，， 即当滑动变阻器的电阻为时，串联电路电流为，故C选项正确，不符合题意； ∵通过灯泡的电流不低， ∴，解得：， 即要使通过灯泡的电流不低，则调节滑动变阻器电阻的范围为，故D选项错误，符合题意； 故选：D 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，顶点在轴上，点在轴上，点B在第一象限，分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧交正方形内一点D，将点D绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转及点的坐标变化规律．先根据题意求出点的坐标，再由所给旋转方式得出每旋转四次点对应点循环出现，据此可解决问题． 【详解】解：由题知，是等边三角形．过点作的垂线，垂足为， 点坐标为， ， 则正方形的边长为2． ，． 在中， ， 点的坐标为． ∵， ∴每旋转四次点的对应点循环出现． ∵， ∴第2025次旋转结束时，点的对应点位置与点重合，如图， 作轴于点，作轴于点， 由旋转的性质知，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的对应点坐标为． ∴第2024次旋转结束时，点的对应点坐标为． 故选：A． 二、填空题（共5小题，共15分） 11. 化简结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，先根据同底数幂的乘法可得底数为，再利用幂的乘方计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 12. 若，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的求值．先利用完全平方公式把所求的代数式变形得到，然后把x的值代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 13. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内随增大而增大，进而得到、在第二象限，在第四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内随增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴点，，在第二象限，在第四象限， ∵， ∴，即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键． 14. 如图，在扇形中，点C、D在上，将沿着弦折叠后恰好与相切于点E，点F．已知，阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性作关于的对称点，则，连接交于，则点都在以为圆心，半径为6的圆上，求出，易证是等边三角形，推出，求出，再由即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接交于，则， ∵将沿弦折叠， ∴点都在以为圆心，半径为6的圆上， ∵将沿弦折叠后恰好与，相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形中，即的度数为， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、扇形面积；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键． 15. 如图，为等边三角形，，D为边上一动点，过点D作交于点E，作交于点F，连接．当为直角三角形时，线段的长为________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，分两种情况讨论即，设，则，，求出，证明是等边三角形，推出，利用直角三角形的性质求出，进而得到，建立方程求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为直角三角形， ∴或， 如图，当时， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，线段的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、分式的混合运算． （1）先计算乘方，算术平方根，负整数幂，绝对值，再加减即可； （2）首先把括号里面的部分通分相加，根据分式除法法则把除法转化为乘法，然后再约去分子、分母的公因式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 90 八年级 84 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，________． 同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 【答案】（1）85，87，七； （2）220 （3）八年级，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数， A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生； 故答案为：85，87，七； 【小问2详解】 （人）， 答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人； 【小问3详解】 我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好， 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好． 【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． 18. 如图，点D是边上一点． （1）尺规作图：在上找一点E，连接，使得（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为一边作,根据两角相等的两个三角形相似即可得到； （2）过点作于点F，则，证明，求出，，得到，则，证明，则，即可求出答案． 【小问1详解】 解：作图如图所示： 【小问2详解】 过点作于点F，则， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ 【点睛】此题考查了基本作图、相似三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 19. 为加强中华优秀传统文化的弘扬与传承，提升学生的文化自信，引导学生在经典诗歌中启智润心、培根铸魂，某校决定举办中华经典诗歌朗读比赛．为鼓励同学们积极参与，大赛设置一等奖、二等奖、三等奖，对应的奖品如下表所示．已知购买一本《诗经》的价格是元，购买1个笔记本和2支笔的价格是元，购买2个笔记本和3支笔的价格是元． 一等奖 二等奖 三等奖 奖品 1 本《诗经》 2个笔记本、1支笔 1 本《诗经》 2支笔 1 个笔记本2支笔 （1）请计算购买 1 个笔记本和1支笔的价格分别是多少? （2）据统计，共有名同学参加比赛，若要求每位参赛同学都能获得一个奖，且一等奖共设置5名，二等奖的数量不少于三等奖数量的 ，则最少需要多少费用来购买奖品?并写出此时二等奖和三等奖各设置多少名． 【答案】（1）购买一个笔记本的价格为元，购买一支笔的价格为4元 （2）最少需要元来购买奖品，此时设置二等奖名，三等奖名 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设购买一个笔记本的价格为元，购买一支笔的价格为元，依题意得，，计算求解即可； （2）设共设置二等奖个，则设置三等奖个，购买奖品的费用为元，由题意知，，可得，依题意得，，然后求解作答即可． 【小问1详解】 解：设购买一个笔记本的价格为元，购买一支笔的价格为元， 依题意得，， 解得， ∴购买一个笔记本的价格为元，购买一支笔的价格为4元； 【小问2详解】 解：设共设置二等奖个，则设置三等奖个，购买奖品的费用为元， 由题意知，， 解得，， 依题意得，， ∵， ∴当时，， ∴， ∴最少需要元来购买奖品，此时设置二等奖名，三等奖名． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点．以为边在左侧作正方形． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 （2）点在反比例函数的图象上，理由见解析． 【解析】 【分析】(1)根据待定系数法求解即可； (2) 过点D作轴于点G，过点B作轴于点F，则．在中，当时，.进而求得，证明．得，，从而得．进而带入解析式即可判断． 【小问1详解】 解：把点，代入，得． ∴反比例函数的表达式为． 把点代入，得 ∴． 把分别代入， 得，解得： ∴一次函数的表达式为 【小问2详解】 解：点在反比例函数的图象上 理由如下： 过点作轴于点，过点作轴于点， 则． 在中，当时， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴ ∴． ∵， ∴点在反比例函数图象上 【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，以及正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题关键． 21. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在尺规作图版块给出必学要求：会过圆外的一个点作圆的切线．数学老师对此要求进行了数学语言表达：“如图，已知及外一点P，求作直线，使与相切于点M．” 王丽所在数学小组经过思考与探索，想出了两种作法，具体如表： 作法一 作法二 ①连接，交于点B，作直径；②以点O为圆心，长为半径作弧，以点P为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为所求作的直线． ①连接，交于点A，过点A作的垂线；②以点O为圆心，长为半径作弧，交直线于点B；③连接，交于点M；④作直线，则直线即为所求作的直线． 做法一 做法二 证明：∵，，， ∴． ∵，， ∴． ∴直线是的切线．（依据：________） 证明：…… 请仔细阅读，并完成相应的任务． （1）“作法一”中的“依据”是指_________________________________． （2）请根据作法二的作图步骤，给出证明过程； （3）在作法二给出的图形中，记交于点E．若的半径为3，，则的长为______________． 【答案】（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质与判定、线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定、线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据尺规作图可证，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知：“作法一”中的“依据”是指经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 故答案为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 【小问2详解】 证明：在和中， ， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴直线是的切线． 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 22. 小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2所示，分别建立平面直角坐标系．小明通过测量得到球距离台面的高度（单位：）与球距离发球器出口的水平距离（单位：）的相关数据，发现在“直发式”模式下，球的运动轨迹的函数表达式为；在“间发式”模式下，球第一次接触台面的运动轨迹的函数表达式为，第一次接触台面后到第二次接触台面的运动轨迹的函数表达式为． （1）求“间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度． （2）设“直发式”模式下，球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下，球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，要使，则“直发式”模式下，发球器出口的高度应上下调整多少？ 【答案】（1） （2）向上调整 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）令，求出的值，然后把代入，求出的值，再令，得即可解答． （2）由（1）可知“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，即，把代入，解方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：令， 解得，． 把代入， 得， 解得． ， 令， 得． “间发式”模式下，发球器出口距离台面的高度为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，“间发式”模式下球第二次接触台面时距出球点的水平距离为． 设调整后“直发式”下，球的运动轨迹的函数表达式为． 把代入， 得， 解得． 要使，“直发式”发球器出口高度应向上调整． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与四边形的相互转化”为主题展开数学活动．智慧小组发现，特殊三角形和特殊四边形之间可以相互转化解决问题．如矩形可以转化为两个直角三角形，菱形可以转化为两个等腰三角形等；而特殊三角形也可以转化为特殊四边形． 他们通过探究，提出“以等腰三角形为背景可以构造出平行四边形”，具体操作如下：如图1，在等腰三角形中，，D为上一点，过点B作，且，以点E为圆心，长为半径画弧交延长线于点F，连接，分别延长，相交于点G，连接． 观察发现：（1）①与的数量关系为_______________； ②四边形的形状为_______________； 深入探究：（2）在（1）的条件下判断与的位置关系，并证明． 拓展应用：（3）如图2，若射线恰好过的中点O，且，请直接写出的长． 【答案】（1），平行四边形；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）①利用证明即可得到；②证明，得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）证明和，根据等腰三线合一的性质即可得； （3）连接，证明四边形是矩形，得到，再推出，得到是线段的垂直平分线，则，设，再列式计算即可求解． 【详解】解：（1）①； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②四边形是平行四边形；理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）；理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）②得， ∴， 根据等腰三线合一的性质得； （3）连接， ∵点O是的中点，四边形是平行四边形 则点O也是的中点， ∵， ∴， ∴都是等腰直角三角形， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 由， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴是线段垂直平分线， ∴， 设， 又， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $