精品解析：山东省实验中学中心校2026届高三5月保温测试数学试题

山东省实验中学中心校高三5月保温测试 数学试题 2026.05 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集 是小于的正整数，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集与补集的运算即可求出结果. 【详解】因为， 所以，又， 所以. 2. 已知命题:，，则该命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定判断即可. 【详解】根据命题的否定得该命题的否定为：. 3. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则求出积，再求出该复数对应点的坐标并判断其所在象限即可. 【详解】复数， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为 又，故点在第二象限， 所以复数在复平面内对应的点所在的象限为第二象限. 4. 某公司进行招聘，甲、乙、丙被录取的概率分别为，，，且他们是否被录取互不影响，若甲、乙、丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出三人中恰有两人被录取的概率以及甲被录取时恰有两人被录取的概率，利用条件概率公式求解. 【详解】设甲，乙，丙被录取分别为事件，三人中恰有两人被录取为事件，则 ， ． 故选：C． 5. 已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归方程为过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 6. 在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，再由正弦定理得到，代入计算，即可求解. 【详解】在中，因为，且的面积为， 可得，即，所以， 由正弦定理得，所以， 代入，可得，所以. 7. 设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得直线过定点，圆心为，所以与垂直时，最小，以此求解即可. 【详解】由题意得，则直线过定点，圆心为，半径， 点到圆心的距离，所以直线与圆相交于M，N两点， 且与垂直时，最小，此时，且，则. 8. 若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意，，当时，都有，则称该函数为“阶梯形函数”．下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（ ） A. （不超过x的最大整数） B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先准确理解“阶梯形函数”的定义，对于A，结合取整函数定义判断该函数的单调性，再结合关系即可判断，对于B，结合指数函数性质判断函数的单调性，再结合函数的值域为即可判断；对于C，利用导数判断函数的单调性，再结合余弦函数性质证明即可判断，对于D，利用导数判断函数单调性，利用反证法证明不存在满足条件的平行线即可判断. 【详解】对于选项A，若，则对于任意的，都有， 由已知，故函数的图象夹在平行直线和之间， 故函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数； 对于选项B，若，​ 因为为增函数，故函数为增函数，且函数的值域为， 所以函数为减函数，函数的值域为， 因此在上单调递增，且函数的值域为， 故函数的图象夹在平行直线和之间， 所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数； 对于选项C，若， 则恒成立，当且仅当时取等号， 所以函数在上单调递增， 由得， 故函数的图象夹在平行直线和之间， 所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数； 对于选项D，若 则， 当时，，，故 当时，，，故， 所以对于任意的，，故函数在上单调递增， 假设存在两条平行直线， ​和，则对任意需要​， 但当时，三次项增长速度远快于一次项，，矛盾， 故的图象无法被两条平行直线夹住，不满足条件， 因此函数不满足“阶梯形函数”的定义，不是阶梯形函数. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】已知等差数列的公差为d，则，解得， ，解得，故B错误； ，故A正确； ，故，故C错误； ，故D正确． 10. 下列结论正确的是（ ） A. 样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23的第70百分位数为23 B. 若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据百分位数的求解步骤求解；对于B，由方差可得这组数的均值，据此得到总和即可；对于C，根据二项分布求出，再利用方差的线性关系计算即可；对于D，根据正态分布的对称性计算概率即可． 【详解】对于A，样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23共10个数， 从小到大排列为12，13，15，18，19，21，23，24，26，27， 由于，故第70百分位数为第7和第8个数的平均数， 即，故A错误； 对于B，由方差的公式可知，这组样本数据的平均数是6，这组样本数据的总和为，故B正确； 对于C，易得，则，故C正确； 对于D，若服从正态分布， 则，故D正确． 11. 如图，平面平面为线段的中点，，直线与平面所成角的大小为为平面内的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 球心为、半径为的球面被平面截得的圆周长为 B. 若点到点和点的距离相等，则点的轨迹是抛物线 C. 若点到直线的距离为，则的最大值为 D. 满足的点的轨迹是椭圆 【答案】AC 【解析】 【分析】A利用可求；B、D建立坐标系，利用关系式求得点轨迹即可；C利用已知信息，求点轨迹，得出椭圆，再转化为椭圆内焦点三角形的顶角最大问题； 【详解】对于A，因为直线与平面所成角的大小为，所以点到平面的距离， 球心为、半径的球面被平面截得的图形为圆，圆的半径， 所以圆的周长为，故A正确； 对于B，由于平面平面，所以以所在直线为轴，在平面内过作轴，平面内作轴， 建立如图1所示的空间直角坐标系， 则,， 设，则，即化简得， 故到点和点的距离相等，则点的轨迹是一条直线,故B错误； 对于C，， 所以到直线的距离为， 化简可得， 所以点的轨迹是平面内的椭圆上一点， 如图2，当在短轴的端点时，最大， 由于，故是正三角形，因此，故C正确； 对于D，， 若， 则， 化简得且， 故满足的点的轨迹是双曲线的一部分，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】依据题意可得，然后根据离心率公式可得结果. 【详解】由题可知：，由 所以离心率 故答案为： 13. 的展开式中的系数为___________. 【答案】90 【解析】 【分析】利用二项式定理写出的展开式的通项，再结合两个二项式的乘积确定对应项的系数. 【详解】的展开式的通项为，， 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到； 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到． 据此可得的系数为． 14. 数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据累乘法求出的通项公式，然后根据裂项法求出，最后再计算. 【详解】，. ，又，. . . . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，． （1）求； （2）中，若构成等差数列，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，根据正弦函数的图象确定的值； （2）先求出角，代入已知条件，由角的关系得出，利用二倍角公式求解. 【小问1详解】 ， 或， 又， 【小问2详解】 因为在中，构成等差数列， 则，结合，可得， ， ，， ， ． 16. 三棱锥中，，，，平面，，． （1）证明：直线平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质来证明线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，然后利用向量法求出直线和平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 平面，平面，， 又，，平面，平面 【小问2详解】 平面，平面，， ，， 平面，平面，平面平面， 过点作，为垂足， 平面平面，平面， 由题意可得：， 如图，以A点为原点，以为x轴，为y轴， 过A点且与同向的方向为z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由，可得，， 另外，设平面的一个法向量为，直线和平面所成角为， 结合，， 则有，，取，可得， ， 综上，直线和平面所成角的正弦值为． 17. 已知函数. （1）若曲线在处的切线斜率为1，求实数a的值； （2）若在定义域上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义知函数在的导数值是切线的斜率，进而得a的值； （2）利用分离参数法将恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数法求函数的最值即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为. 则.因为曲线在处的切线斜率为1， 所以 ，解得； 【小问2详解】 函数的定义域为. 则在上恒成立，即在上恒成立， 令，则 ，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，所以． 18. 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. （1）求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； （2）若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； （3）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 【答案】（1） （2）答案见解析； （3）游戏Ⅱ 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式直接计算可得结果； （2）利用二项分布直接计算即可得出分布列和期望； （3）分别计算出参加一次游戏Ⅰ和游戏Ⅱ对应的奖金期望值，可知应选择游戏Ⅱ. 【小问1详解】 由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率. 【小问2详解】 易知, 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，则第局和第局均未获胜的概率为， 因此可知, 随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的期望或. 【小问3详解】 应该参加游戏Ⅱ，理由如下： 记分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额， 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 游戏Ⅱ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在上，为的左、右顶点. （1）求的方程； （2）过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线分别交轴于两点. （i）试探究：是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）当面积取最大值时，求的值. 【答案】（1） （2）（i）存在，（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意列出方程组，解得，即可得到椭圆方程； （2）（i）设直线方程，联立方程组整理得到关于的一元二次方程，由判别式求得参数的取值范围，由韦达定理得到交点坐标与参数的关系.写出直线的方程，然后得到坐标，通过化简求得结果. （ii）方法一：由（1）求得,从而表示出，然后得到并得到的取值范围，构造函数，通过导数求得函数的单调区间，从而求得最大值及此时的; 方法二：由（1）求得,从而表示出，利用三角变换得到，构造函数，利用导数求得函数单调区间，从而求得最大值及此时的； 方法三：设点坐标，得到点坐标、及直线方程，联立方程组求得，列出后构造函数，利用导数求得函数单调区间，从而求得最大值及此时的. 【小问1详解】 由已知，，解得， 所以C的方程为； 【小问2详解】 （i）设过点的直线， 由，消去x得， ，， ，， 由（1）知， 则直线，， 直线，， ， 所以存在，使得； （ii）法一：， ， 因为，所以， ， 因为M在第一象限，所以， 令， ， 令，解得或， 在上单调递增，在单调递减， 所以当时，取最大值，所以. 法二：， ， 设，， 所以， 令， ， 令，解得或， 因为，所以， 所以存在唯一的，使得， 且在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取最大值，所以. 法三：设，则，所以， 直线， 由，得， ， 令， ， 令，解得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学中心校高三5月保温测试 数学试题 2026.05 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集 是小于的正整数，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题:，，则该命题的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 某公司进行招聘，甲、乙、丙被录取的概率分别为，，，且他们是否被录取互不影响，若甲、乙、丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为 6. 在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意，，当时，都有，则称该函数为“阶梯形函数”．下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（ ） A. （不超过x的最大整数） B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23的第70百分位数为23 B. 若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 11. 如图，平面平面为线段的中点，，直线与平面所成角的大小为为平面内的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 球心为、半径为的球面被平面截得的圆周长为 B. 若点到点和点的距离相等，则点的轨迹是抛物线 C. 若点到直线的距离为，则的最大值为 D. 满足的点的轨迹是椭圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的离心率为___________. 13. 的展开式中的系数为___________. 14. 数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，． （1）求； （2）中，若构成等差数列，且，求． 16. 三棱锥中，，，，平面，，． （1）证明：直线平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值． 17. 已知函数. （1）若曲线在处的切线斜率为1，求实数a的值； （2）若在定义域上恒成立，求实数a的取值范围. 18. 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. （1）求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； （2）若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； （3）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在上，为的左、右顶点. （1）求的方程； （2）过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线分别交轴于两点. （i）试探究：是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）当面积取最大值时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $