精品解析：2025年湖南省长沙市一中教育集团中考一模数学试题

长沙市一中湘一青竹湖初三中考一模数学试卷 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 2024年，我国共授权发明专利104.5万件，同比增长．将1045000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某物体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘（dá）龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，E为边延长线上一点，过点E作．若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ） A. 3 B. 9 C. 10 D. 12 7. 如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（　　　） A. B. C. D. 8. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：（每小题3分，共18分） 11. 分解因式：=______． 12. 甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是环，方差分别是 ，则射击成绩较稳定的是________(填“甲”或“乙”)． 13. 如图，是的直径，点在上，过点作的切线与直线交于点．若，则________°． 14. 一圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为_____． 15. 已知有理数x，y，z的和为零，如果x，y的平均数为4，那么______． 16. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为__________°． 三、解答题：（第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25每小题10分，共72分） 17. 计算： 18. 已知，求代数式的值． 19. 我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41，≈1.73） 20. 为丰富同学们的课外生活，某中学开展了一次知识竞赛，校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩作为样本，根据得分（满分100分）按四个等级进行分类统计：低于60分的为“不合格”，60分以上（含）且低于80分的为“合格”；80分以上（含）且低于90分的为“良好”；90分以上（含）为“优秀”．汇总后将所得数据绘制成如图所示的不完整的统计图． 请根据统计图所提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生人数是___________人，圆心角___________． （2）补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级； （3）学校计划给获得“优秀”、“良好”等级的同学每人分别奖励价值30元、20元的学习用品，若学校共有800名学生参加本次竞赛，试估计该校用于本次竞赛的奖品费用． 21. 如图，在四边形中，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 22. 运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． （1）求小美每分钟跑多少米？ （2）若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 23. 如图，为的内接三角形，是的直径，D为中点，的延长线交于点E． （1）求证：； （2）连接交于点F，过点E作切线，交延长线于点Q，若，，求半径． 24. 定义：如果两个函数的图象没有公共点，我们称它们互为“无交函数”，如果有唯一的公共点，称它们互为“单交函数”，如果有两个不同的公共点，称它们互为“双交函数”，称两个公共点之间的距离为这两个函数的“双交值”． （1）下列三组函数：①与，②与，③与互为“无交函数”的是____，互为“单交函数”的是____，互为“双交函数”的是____；（填序号） （2）与（）互为“无交函数”，若直线与轴，轴分别交于点，，在的图象上是否存在一点，使的面积最小，若存在，请求出点的坐标及此时面积； （3）设，为正整数，且，关于的一次函数与二次函数和都互为“双交函数”，其“双交值”分别为，，若则一切实数恒成立，试求，的值． 25. 如图，内接于，为的直径，过点的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图1，若，，求的半径； （3）①如图1，分别记，，的面积为，，，若，求； ②如图2，于点，点是线段上一动点（不与点，重合），于点，交于点，若，，，试求关于的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市一中湘一青竹湖初三中考一模数学试卷 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 2024年，我国共授权发明专利104.5万件，同比增长．将1045000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 2. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以一个负数，不等式的符合改变；不等式的两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变逐项分析，即可求解． 【详解】解：A. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵，∴，故该选项正确，符合题意； C. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； D. 当，则，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3. 某物体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左面看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：几何体左视图是： 故选：． 4. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘（dá）龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据有4张卡片，其中“龘”有2张卡片，代入公式，即可作答． 【详解】解：依题意，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率 故选：B 5. 如图，E为边延长线上一点，过点E作．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和性质，先由，得，最后运用三角形的内角和性质列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ） A. 3 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以△， 解得， 显然只有A选项符合题意． 故选：A． 7. 如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本作图得到AE平分∠BAD，则可对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到AD=BC，CD∥AB，再证明∠DEA=∠DAE，所以DA=DE=CD，则可对B、D选项进行判断；由于不能确定DE=BE，则可对C选项进行判断． 【详解】解：由作图的痕迹得AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE，所以A选项不符合题意； ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，CD∥AB， ∴∠BAE=∠DEA， ∴∠DEA=∠DAE， ∴DA=DE，所以B选项不符合题意， ∴CD=DE，所以D选项不符合题意， 不能确定DE=BE，所以C选项符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质． 8. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，由数轴可得，再逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，故A错误， ∴，，，故BC错误，D正确， 故选：D． 9. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和. 【详解】由题意，正多边形的边数为， 其内角和为． 故选C. 【点睛】考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键. 10. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称， ∴点A与点B关于原点对称， ∵点B的横坐标为2， ∴点A的横坐标为-2， 由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴当或时，， 故选：C． 【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键． 二、填空题：（每小题3分，共18分） 11. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 12. 甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是环，方差分别是 ，则射击成绩较稳定的是________(填“甲”或“乙”)． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断数据的稳定性，解题的关键是掌握方差越小数据越稳定． 【详解】解：∵， ∴乙的射击成绩较稳定， 故答案为：乙． 13. 如图，是的直径，点在上，过点作的切线与直线交于点．若，则________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到，根据直角三角形两个锐角互余计算出，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径，为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 一圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：圆锥的侧面积； 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式． 15. 已知有理数x，y，z的和为零，如果x，y的平均数为4，那么______． 【答案】−8 【解析】 【分析】先根据平均数的概念得出x＋y＝8，再由x＋y＋z＝0可得答案． 【详解】解：∵x，y的平均数为4， ∴x＋y＝8， 又∵x＋y＋z＝0， ∴8＋z＝0， 解得：z＝−8， 故答案为：−8． 【点睛】本题主要考查有理数的加减，解题的关键是掌握平均数的概念． 16. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为__________°． 【答案】60 【解析】 【详解】试题分析：根据正方形和等边三角形的性质可得：∠BAD=90°，∠DAE=60°，根据△BAE为等腰三角形可得：∠ABE=∠AEB=15°，根据正方形的性质可得：∠BCF=45°，∠CBF=90°-15°=75°，根据△BCF的内角和定理可得：∠BFC=180°-45°-75°=60°. 故答案为：60 考点：（1）、等腰三角形的性质；（2）、三角形内角和定理；（3）、等边三角形的性质 三、解答题：（第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25每小题10分，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，和化简绝对值，掌握知识点，正确计算是解题的关键． 先计算零指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，和计算负整数指数幂，再进行实数的混合运算即可． 【详解】解： ． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握运算法则和正确计算是解题的关键． 先进行括号内分式加法计算，再将除法化为乘法，进行分式乘法计算，化至最简，再将变形，整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 19. 我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41，≈1.73） 【答案】没有居民需要搬迁． 【解析】 【分析】求出P点到MN的距离，比较P点到MN的距离与0.6的大小关系，若距离大于0.6千米则不需搬迁，反之则需搬迁． 【详解】过点P作PD⊥MN于D， ∴MD=PD•cot45°=PD，ND=PD•cot30°=PD， ∵MD+ND=MN=2， 即PD+PD=2， ∴PD==≈1.73﹣1=0.73＞0.6． 答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁． 20. 为丰富同学们的课外生活，某中学开展了一次知识竞赛，校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩作为样本，根据得分（满分100分）按四个等级进行分类统计：低于60分的为“不合格”，60分以上（含）且低于80分的为“合格”；80分以上（含）且低于90分的为“良好”；90分以上（含）为“优秀”．汇总后将所得数据绘制成如图所示的不完整的统计图． 请根据统计图所提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽查的学生人数是___________人，圆心角___________． （2）补全条形统计图，并指出成绩的中位数落在哪个等级； （3）学校计划给获得“优秀”、“良好”等级的同学每人分别奖励价值30元、20元的学习用品，若学校共有800名学生参加本次竞赛，试估计该校用于本次竞赛的奖品费用． 【答案】（1）50；72 （2）统计图见解析，成绩的中位数落在良好等级 （3）14240元 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数等等： （1）用良好等级的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，再用360度乘以合格等级的人数占比即可得到答案； （2）先求出优秀等级的人数，再补全统计图，最后根据中位数的定义求解即可； （3）分别求出学校优秀和良好的人数，然后分别计算出对应奖品的费用，求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴本次抽查的学生人数是50人， ∴， 故答案为：50；72； 【小问2详解】 解：等级为优秀的人数有人， 补全统计图如下： 把这50名学生成绩从低到高排列，处在第25名和第26名的乘积都在良好这一等级， ∴成绩的中位数落在良好等级； 【小问3详解】 解：元， ∴估计该校用于本次竞赛的奖品费用为14240元． 21. 如图，在四边形中，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）120 【解析】 【分析】（1）由可得两对内错角，，再加上已知，可用AAS证明，所以，进而可用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理即可证为平行四边形； （2）在中，可得,至此，用勾股定理的逆定理可判断定△AOD为直角三角形，然后再利用平行四边形面积公式进行求解即可． 【详解】证明：（1）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵AB//CD， ∴四边形为平行四边形； （2）∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴, 又∵AD=12，OD=OB=5， ∴OD 2 + AD 2 =52+122=169， OA 2 = 132=169，BD=10， ∴OD2+AD2=OA2， ∴∠ADB=90°， ∴S四边形ABCD=AD•BD=12×10=120． 【点睛】本题主要考查了用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来判定平行四边形，勾股定理的逆定理，平行四边形的面积计算． 22. 运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． （1）求小美每分钟跑多少米？ （2）若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】（1）小美每分钟跑360米 （2）小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． 【小问2详解】 设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 23. 如图，为的内接三角形，是的直径，D为中点，的延长线交于点E． （1）求证：； （2）连接交于点F，过点E作切线，交延长线于点Q，若，，求半径． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据是的直径，D为中点，得到是的中位线，于是得到，根据的延长线交于点E，得到D，O，E三点共线，继而得到． （2）根据，证明三角形相似，设，，结合切线性质，平行线的性质，利用等角的余弦值相等，建立等式解答即可． 【小问1详解】 证明：∵是的直径，D为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵的延长线交于点E， ∴D，O，E三点共线， ∴． 【小问2详解】 解：， ，． ． ， ． ． 设，， ∵是的切线， ． ， ． ． ． ． 即的半径长是3． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，切线性质，余弦函数的应用，熟练掌握切线性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 24. 定义：如果两个函数的图象没有公共点，我们称它们互为“无交函数”，如果有唯一的公共点，称它们互为“单交函数”，如果有两个不同的公共点，称它们互为“双交函数”，称两个公共点之间的距离为这两个函数的“双交值”． （1）下列三组函数：①与，②与，③与互为“无交函数”的是____，互为“单交函数”的是____，互为“双交函数”的是____；（填序号） （2）与（）互为“无交函数”，若直线与轴，轴分别交于点，，在的图象上是否存在一点，使的面积最小，若存在，请求出点的坐标及此时面积； （3）设，为正整数，且，关于的一次函数与二次函数和都互为“双交函数”，其“双交值”分别为，，若则一切实数恒成立，试求，的值． 【答案】（1）①；②；③ （2），此时； （3）或． 【解析】 【分析】（1）①令，得到直线与没交点；②令，利用根的判别式判断得直线与双曲线只有一个交点；③令，利用根的判别式判断得直线与抛物线有两个不同的交点，据此即可判断； （2）设，其中，过点作轴交直线于点，求得，求得，即的最小值为6，此时，据此求解即可； （3）先分别求出一次函数与两个二次函数、的方程，得到一元二次方程，求出两根之和与两根之积，再根据弦长公式得出、关于的表达式，由恒成立，将、表达式代入并整理成关于的二次函数恒大于等于的形式，根据二次函数性质，确定二次项系数大于且判别式小于等于，结合、为正整数求出、的值． 【小问1详解】 解：①令， ∵， ∴方程无解， ∴直线与没交点， ∴与互为“无交函数”； ②令，整理得， ， ∴方程有两个相等的实数根， ∴直线与双曲线只有一个交点， ∴与互为“单交函数”； ③令，整理得， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴直线与抛物线有两个不同的交点， ∴与互为“双交函数”； 故答案为：①；②；③； 【小问2详解】 解：当时，， ∴，当时，， ∴， ∵点在的图象上， ∴设，其中， 过点作轴交直线于点， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵(当且仅当时取等)， ∴， 令，， 则(当且仅当时取等)， ∴，即的最小值为6， 此时， ∵， ∴， 经检验是原方程的解， ∴，此时； 【小问3详解】 一次函数与二次函数和都互为“双交函数” ， 整理得． 设其两根为，， 由韦达定理，， 根据弦长公式． ， 整理得． 设其两根为，，由韦达定理，， 根据弦长公式． 因为对一切实数恒成立， 即对一切实数恒成立， 整理得： 对一切实数恒成立． 所以， 由且为正整数， 可得． 又因为， 所以． 因为，为正整数且， 所以或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 25. 如图，内接于，为的直径，过点的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图1，若，，求的半径； （3）①如图1，分别记，，的面积为，，，若，求； ②如图2，于点，点是线段上一动点（不与点，重合），于点，交于点，若，，，试求关于的函数解析式． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理的推论得，通过切线的性质得，等量代换即可求证； （2）证得，可得，根据题意，设、，通过勾股定理求得，分别代入，求得，，通过即可求解； （3）①过点作于点，设，将代入，变形为，即，求得，即，设、、，代入即可求解； ②由设、、，由得，利用相似三角形的判定与性质证得、，对变形化简得，根据得，对其变形化简得，即可得解． 【小问1详解】 证明：内接于，为的直径， ，， ，， 是的切线，为的半径， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）得：，且， ， ， 在中，， 设，， 则在中，， ， ，， ， ， 的半径为． 【小问3详解】 解：①如图，过点作于点， 由图可知：，即， 设， 由得：， ， ， ， 两边平方，整理，得：， ，解得：． ，， ， 设，，则， 由（1）得：， 在中，； ②，， ，， 由（1）得：， ， ， ，， ， 在中，， 在中，， ， 设，则，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． ，解得：， ， ， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数的综合运算，平行线分线段成比例，熟练掌握相关知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $