精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高一下期05月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在处（点在水平地面下方）进行某仪器的垂直弹射，水平地面上的两个观察点相距100米，，其中到的距离比到的距离远40米．在地测得最高点的仰角（为与水平地面的交点），在地测得该仪器在处的俯角，则该仪器的垂直弹射高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（ ） A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 5. 如图，已知正六边形的边长为4，对称中心为O，以O为圆心作半径为2的圆，点M为圆O上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面都是等边三角形，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知长方体外接球的表面积为，其中为线段的中点，过点的平面与直线垂直，点在平面与底面形成的交线段上，且，则四面体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列四个命题正确的为（　　） A. 若α//β，γ//β，则α//γ B. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β C. 若α//β，l⊂α，则l//β D. 若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l//γ，则m//n 10. 在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式，正确的为（ ） A. B. C. D. 11. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则为直角三角形 C. 若三角形为等腰三角形，则一定是直角三角形 D. 若为锐角三角形，的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是_____． 13. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为______． 14. 已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知复数，且为纯虚数 （1）求实数及； （2）若是关于x的方程的一个根，求的值. 16. 已知平面向量，其中是夹角为的单位向量． （1）当，求与夹角的余弦值； （2）若与夹角为钝角，求的取值范围． 17. 如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 18. 在中，角所对的边分别为，已知，. （1）求； （2）若，求的面积； （3）若的面积为是上的点，且，求的长. 19. 射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作． （1）若点分别是线段的中点，求； （2）当时称为调和点列，若，求值； （3）已知，且，点为线段的中点，，，求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高一下期05月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由绝对值的定义及交集运算即可求解. 【详解】， 所以， 故选：C 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，则. 故选：C. 3. 如图，在处（点在水平地面下方）进行某仪器的垂直弹射，水平地面上的两个观察点相距100米，，其中到的距离比到的距离远40米．在地测得最高点的仰角（为与水平地面的交点），在地测得该仪器在处的俯角，则该仪器的垂直弹射高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】在中，利用余弦定理求出，再在中，利用正弦定理得. 【详解】设米，则米． 在中，由余弦定理得， 即，解得． 在中，米，，， 由正弦定理得， 即，解得（米）． 故选：B 4. 自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（ ） A. 300 B. 450 C. 600 D. 750 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知函数模型计算得出，再结合指数运算计算求解. 【详解】因为模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数， 因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍. 所以，所以， 若，则. 故选：C. 5. 如图，已知正六边形的边长为4，对称中心为O，以O为圆心作半径为2的圆，点M为圆O上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的图形，利用数量积的运算律及定义求解即得. 【详解】连接，，设，依题意，，，， 则， 由，得，所以. 故选：C 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而结合余弦定理可得，进而结合面积公式即可求解. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 即， 即， 即， 因为，则， 所以，即， 所以， 又， 则，即， 又， 所以的面积为. 故选：A. 7. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面都是等边三角形，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题涉及异面直线所成角的概念，可通过平移异面直线中的一条，使其与另一条相交，这个相交角就是异面直线所成角或其补角.我们可以利用中点的性质，构造平行关系来平移直线，然后通过余弦定理求出这个角的余弦值. 【详解】 连接BD，AC交O.连接EO,则O为BD中点，是的中点，则根据三角形中位线定理， 在中，且.所以（或其补角）就是异面直线BE和PA所成的角. 设正方形ABCD的边长为.因为侧面都是等边三角形，所以. 在中，是PC的中点，，，根据等腰三角形三线合一，， 由勾股定理可得. 在中，，则.且. 在中，根据余弦定理. 将，，代入可得：. 故选：B 8. 已知长方体外接球的表面积为，其中为线段的中点，过点的平面与直线垂直，点在平面与底面形成的交线段上，且，则四面体外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据长方体外接球半径公式计算得出，再根据线面垂直判定定理得出四面体的特征计算得出外接球半径即可求解. 【详解】依题意得，解得， 如图，取线段的中点，连接，平面，平面， 所以，因为，所以 又平面，所以平面， 因为平面过点，所以平面即为平面，所以点在线段上， 因为，所以为线段的中点，且边上的高为， 故为等腰直角三角形，且其外接圆半径. 设四面体外接球的半径为，则， 故所求外接球的体积为. 故选:C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列四个命题正确的为（　　） A. 若α//β，γ//β，则α//γ B. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β C. 若α//β，l⊂α，则l//β D. 若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l//γ，则m//n 【答案】ACD 【解析】 【分析】把几何语言转化为文字语言，结合空间想象和有关定理，进行判定即可. 【详解】对：平行于同一个平面的两个平面平行，正确； 对：一个平面内的两条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行.根据面面平行的判定定理，应该还要强调这两条直线相交，故错误； 对：两个平面平行，一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，正确； 对：三个平面两两相交，有三条交线，其中有两条平行，那么另两条也平行.结合三棱柱模型，可知正确. 故选： 10. 在复平面内，复数、所对应的点分别为、，对于下列四个等式，正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】通过举反例排除A；利用平面向量数量积的定义易得B成立；利用向量数量积的定义式分析即可排除C.利用复数的四则运算和复数的模的定义推理计算即得D； 【详解】对于A，取，则，，显然，A错； 对于B，由平面向量数量积的定义可得，B对； 对于C，因为，则， 所以，，C错. 对于D，设，， 则， 所以， ，D对； 故选：BD. 11. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则为直角三角形 C. 若三角形为等腰三角形，则一定是直角三角形 D. 若为锐角三角形，的最小值为1 【答案】AB 【解析】 【分析】对A：借助正弦定理及两角差的正弦公式化简即可得；对B：借助及正弦定理计算即可得；对C：结合，可得或，结合三角函数内角和计算即可得；对D：结合角的范围可计算出的范围，利用正切函数的二倍角公式可将化简，结合对勾函数性质即可得. 【详解】对A：中，由正弦定理得， 由，得，即， 由，则，故，所以或， 即或（舍去），即，故A正确； 对B：若，结合和正弦定理知， 又，所以可得，故B正确； 对C：由，故或，若，则有， 则，不为直角三角形，故C错误； 对D：在锐角中，， 即， 故 由对勾函数性质可知，当时，，故D错误； 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】利用斜二测画法规则画出原图形，再求直角梯形的面积. 【详解】 如图，直角梯形即为原图形，则， 所以四边形的面积. 故答案为：6. 13. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，由三点共线，得到，结合基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】因为点G为重心，可得， 又因为三点共线，所以， 所以， 当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】把两边平方得到关于的一元二次不等式，利用一元二次不等式恒成立的条件以及两向量夹角的余弦公式求得结果. 【详解】，是单位向量，由得：， 依题意，不等式对任意实数恒成立， 则，解得， 而，则， 又，函数在上单调递减， 因此， 所以向量，的夹角的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知复数，且为纯虚数 （1）求实数及； （2）若是关于x的方程的一个根，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）化简，结合纯虚数的定义求出，再利用复数的模长公式即可； （2）将代入一二次方程中，再利用复数相等的概念列出方程组即可求出 【小问1详解】 由题意可知，， 则 因是纯虚数，则且，得 则，得. 【小问2详解】 由题意可知，， 则， 则且， 得，，故. 16. 已知平面向量，其中是夹角为的单位向量． （1）当，求与夹角的余弦值； （2）若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）根据向量夹角公式即可求得答案； （2）若与的夹角为钝角，则且不共线，即可解得的取值范围． 【小问1详解】 由已知，是夹角为的单位向量， 所以， 又，则， 所以， 又， 所以． 【小问2详解】 若与的夹角为钝角，则且不共线， 所以，且， 所以，且， 所以且． 17. 如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面平行判断定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面.  下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 因为E在棱PD上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 18. 在中，角所对的边分别为，已知，. （1）求； （2）若，求的面积； （3）若的面积为是上的点，且，求的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知得出，利用余弦定理结合可得出，再利用余弦定理可求得的值； （2）由（1）求得，，，代入三角形的面积公式，计算即可； （3）利用三角形的面积公式结合（1）和（2）中的结论可求出、、的值，求出的值，利用正弦定理可求出的长. 【小问1详解】 在中，因为， 所以，即， 因为，则，即，所以， 由余弦定理得. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 因为，，所以， 由（1）知，所以， 所以的面积. 【小问3详解】 由（2）知， 因为，可得， 由（1）知，，故，，， 因为是上的点，且，则，， 由（1）知， 所以，， 在中，由正弦定理可得， 故. 19. 射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作． （1）若点分别是线段的中点，求； （2）当时称为调和点列，若，求值； （3）已知，且，点为线段的中点，，，求 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由射影几何学新定义可得； （2）由射影几何学新定义结合调和点列可得； （3）方法一，由射影几何学新定义结合正余弦定理可得； 方法二，由射影几何学新定义结合三角形的面积公式和余弦定理可得. 【小问1详解】 由条件可得，，则，所以． 【小问2详解】 由知，两点分属线段内外分点， 不妨设，， 则，， 由知：， 则，即，即． 【小问3详解】 方法一：由，可得，即，所以， 又点B为线段的中点，即，所以， 又，所以，，， 又已知，所以． 设，，由，得， 即，解得，① 在中，由正弦定理可得，得②， 在中，由正弦定理可得，得③， 又， ②③得，即④， 由①④解得，（负值舍去），即，， 所以． 方法二：因为，所以， 设，则， 又B为线段的中点，所以， 又已知，，所以， 所以，得，所以，， 由， 得， 所以， 设，则， 由，互补得， 即， 解得，所以，， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $