精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高三下学期5月期中考试数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高三下学期期中考试数学试卷 一、单选题 1. 举办校运会，某班参加田赛的学生有9人，参加径赛的学生有14人，两项都参加的有5人，那么该班参加本次运动会的人数共有（ ） A. 28 B. 23 C. 18 D. 16 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 若过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，是抛物线的顶点，则是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 4. 已知O为的外心，且，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图像如图所示，其中为图像上两点，将函数图像的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 设奇函数，的导函数为，且，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前n项和为，则“为常数列”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 函数，设球O的半径为，则（ ） A. 球O的表面积随x增大而增大 B. 球O的体积随x增大而减小 C. 球O的表面积最小值为 D. 球O的体积最大值为 二、多选题 9. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的众数<平均数<中位数 C. 图（2）的众数<中位数<平均数 D. 图（3）的中位数平均数众数 10. 已知x，y∈R，且<0，则（ ） A. x-y>0 B. sinx-siny>0 C. >0 D. >2 11. 已知数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为递增数列 C. D. 三、填空题 12. 过三个点，，的圆的方程为______． 13. 等比数列中，，是方程的两根，则的值为___________. 14. 若是定义在上的偶函数，当时，，若方程恰有4个不同的根，则实数的取值范围是_____________． 四、解答题 15. 在四棱锥中底面为矩形，底面，且，点为的中点，点为的中点，(《九章算术》中有一词“鳖臑”，对“鳖臑”的解说：即四个面都是直角三角形的三棱锥.) （1）证明：平面； （2）请你判断三棱锥是否为“鳖臑”，若是请给出证明过程，若不是请说明理由. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）设，，求的值． 17. 已知函数在点处的切线与直线平行. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）令，求函数的单调区间. 18. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到400只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有320只，其中该项指标值不小于60的有220只. 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 （1）填写完成上面的列联表（单位：只），并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关. （2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有60只小白鼠产生抗体. （i）用频率估计概率，求一只小白鼠最多注射两次疫苗后产生抗体的概率； （ii）以（i）中确定的概率作为人体最多注射两次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，现有40人进行接种试验，设最多注射两次疫苗后产生抗体的人数为随机变量，当时，取得最大值，求. 参考公式：（其中为样本容量） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 19. 在平面直角坐标系 中，直线l 与抛物线W：相切于点P ，且与椭圆 交于A，B两点. （1）当P 的坐标为时，求； （2）若点G 满足 求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高三下学期期中考试数学试卷 一、单选题 1. 举办校运会，某班参加田赛的学生有9人，参加径赛的学生有14人，两项都参加的有5人，那么该班参加本次运动会的人数共有（ ） A. 28 B. 23 C. 18 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】分析出只参加田赛的有4人，只参加径赛的有9人，即可得解. 【详解】参加田赛的学生有9人，参加径赛的学生有14人，两项都参加的有5人， 所以只参加田赛的有4人，只参加径赛的有9人，所以参加本次运动会的人数共有18人. 故选：C 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的模长公式和复数的除法化简复数，由此可得出复数的虚部. 【详解】，所以，， 则，因此，的虚部为. 故选：B. 3. 若过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，是抛物线的顶点，则是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】设及直线的方程，与抛物线方程联立后消元，利用韦达定理得出，然后由向量的数量积计算可判断的大小． 【详解】设，显然与轴不垂直，设方程为，代入抛物线方程得：，∴，又， ∴， ∴， 是钝角，为钝角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线的焦点弦性质，设抛物线方程为，是抛物线过焦点的弦，，则，，． 4. 已知O为的外心，且，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题设中的向量等式可化为，两边平方后可求的大小. 【详解】因为，故， 故，整理得到：， 设外接圆的半径为，则， 故，而为三角形内角，， 故选：C. 5. 已知函数的部分图像如图所示，其中为图像上两点，将函数图像的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据图像得到，在于图像的平移得到，将带入正弦函数的递减区间，即可得答案. 【详解】由图像得，∴， ∴， ∵图像过点，∴，即，解得：， ∴，∴， ∴， ∴函数的单调递增区间为. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图像和性质、平移变换、单调区间、诱导公式等知识的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 6. 设奇函数，的导函数为，且，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给不等式，构造函数，由导数与单调性关系可知在时单调递增，由函数奇偶性的性质可知为偶函数，画出函数示意图，即可求得成立的x的取值范围. 【详解】令， 则， 当时，， 则当时，为单调递增函数， 为奇函数，则为偶函数， 且由，可知， 所以，则的函数关系示意图如下图所示： 当时，若，则，此时； 当时，若，则，此时； 综上可知，的解集为， 故选：D. 【点睛】本题考查了构造函数法解不等式，导数与函数单调性的关系应用，奇偶性的性质应用，数形结合法解不等式的应用，属于中档题. 7. 已知数列的前n项和为，则“为常数列”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用常数列、数列前n项和的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】数列为常数列，则，，， ，，则当时，，即， 有，因此，，，数列为常数列， 所以“为常数列”是“，”的充分必要条件. 故选：C 8. 函数，设球O的半径为，则（ ） A. 球O的表面积随x增大而增大 B. 球O的体积随x增大而减小 C. 球O的表面积最小值为 D. 球O的体积最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】设函数，利用导数判断其单调性，从而判断的单调性，进而判断球O的半径的单调性，由此可判断A,B,结合单调性可求得球的表面积以及体积的最值，判断C,D. 【详解】令 ，则 ， 故函数 ， ， 即为单调增函数， 而在 上递增，在 上递减， 故在上递增，在 上递减， 又在上递增，在 上递减， 且是正值，也是正值， 故在上递增，在 上递减， 即球O的半径在上递增，在 上递减， 故A，B错误； 由以上分析可知当时，球O的半径取到最大值为， 故球O的表面积最大值为，无最小值，故C错误； 同时球O的体积最大值为，故D正确； 故选：D 【点睛】本题将球的相关计算和导数综合在一起考查，综合性较强，考查综合分析，解决问题的数学素养以及能力，解答的关键是要判断球的半径的变化规律，也就是要结合导数判断复合函数的单调性. 二、多选题 9. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的众数<平均数<中位数 C. 图（2）的众数<中位数<平均数 D. 图（3）的中位数平均数众数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】图（1）的分布直方图是对称的，平均数中位数众数，A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，D错误. 故选：AC 10. 已知x，y∈R，且<0，则（ ） A. x-y>0 B. sinx-siny>0 C. >0 D. >2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的性质得出，再由三角函数的性质、指数函数的单调性以及基本不等式即可求解. 【详解】因为x，y∈R，且<0， 且，， A，由题意可得，故A正确； B，因为正弦函数是周期函数，仅有，不能得出sinx-siny>0，故B错误； C，由，则，即，故C正确； D，因为，则，即， 当且仅当，即取等号，又因为， 所以，故D正确. 故选：ACD 11. 已知数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为递增数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用作差法由数列单调性可求得数列为递增数列，可得A正确；再根据以及复合函数单调性可判断B，化简整理可判断C正确，由关系式可得，再利用累加法可判断D正确. 【详解】因为，即， 所以数列为递增数列，可得，选项A正确； 因为数列为递增数列且，则为递减数列，选项B错误； 因为，可得， 两边平方整理得，选项C正确． 因为，整理得， 两边平方得，即， 可得， 累加可得， 即，所以，故D正确． 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：再判断D选项时，关键要对表达式整理变形后进行合理放缩可得，即，再利用累加法即可作出判断. 三、填空题 12. 过三个点，，的圆的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法，建立方程组，解之即可求解. 【详解】设圆的一般方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故答案为： 13. 等比数列中，，是方程的两根，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由韦达定理可得，易知，再由等比数列的性质有，结合等比数列通项公式判断的符号，进而求目标式的值. 【详解】由题设知：，又为等比数列， ∴，且，而， ∴，故. 故答案为： 14. 若是定义在上的偶函数，当时，，若方程恰有4个不同的根，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得是偶函数，作出图象，将问题转化为的图象与的图象有4个交点，结合图象分求解即可. 【详解】解：当时，，则， 因为函数是偶函数，作出函数的图象，如图: 所以方程恰有个不同的根，则等价为函数在之间或在之间（包括），且， 要使得恰有个不同的根，则满足或， 即或，即或． 故答案为：. 四、解答题 15. 在四棱锥中底面为矩形，底面，且，点为的中点，点为的中点，(《九章算术》中有一词“鳖臑”，对“鳖臑”的解说：即四个面都是直角三角形的三棱锥.) （1）证明：平面； （2）请你判断三棱锥是否为“鳖臑”，若是请给出证明过程，若不是请说明理由. 【答案】（1）证明：作的中点，连接，，因为为的中点，所以，， 又因为F为DC的中点，所以，，即且， 四边形为平行四边形，所以，平面，平面， 所以平面； （2）三棱锥为“鳖臑”，证明见解析 【解析】 【分析】（1）作的中点，连接，，由平面几何知识证得四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行的判定定理可得证； （2）由线面垂直的性质可证得，为直角三角形，为直角三角形，三角形为直角三角形，由此可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 面，即三棱锥中，为直角三角形， 又底面为矩形，为直角三角形，由，，， 所以面，又面PAB，即，所以三角形为直角三角形， 则三棱锥为“鳖臑”. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）设，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及得到，从而求出； （2）由余弦定理求出，由正弦定理得到，由同角三角函数关系得到，利用余弦差角公式得到答案. 【小问1详解】 在中，由正弦定理可得，， 故， 因为中，且，故， 因为，所以，即； 【小问2详解】 在中，由余弦定理及，，可得， ，故． 由正弦定理，可得． 因为，故，所以为锐角，故， ∴ . 17. 已知函数在点处的切线与直线平行. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）令，求函数的单调区间. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）在和单调递减 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导，根据导数的几何意义，可得，所以． （Ⅱ），求导可得，设，所以，根据的正负，可得的单调性，结合单调性，可得在定义域内小于零，即可求的单调区间． 【详解】（Ⅰ） 在点处的切线与直线平行 解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 函数的定义域是， 所以， 令， 又， 有恒成立 故在上为增函数， 由， 所以函数是上单调递减． 有恒成立 故在上为减函数， 由， 所以函数是上单调递减． 综上，在和单调递减 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，难点在于设，并求导得到单调区间和极值，进而判断的正负，考查计算能力，属中档题． 18. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到400只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有320只，其中该项指标值不小于60的有220只. 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 （1）填写完成上面的列联表（单位：只），并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关. （2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有60只小白鼠产生抗体. （i）用频率估计概率，求一只小白鼠最多注射两次疫苗后产生抗体的概率； （ii）以（i）中确定的概率作为人体最多注射两次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，现有40人进行接种试验，设最多注射两次疫苗后产生抗体的人数为随机变量，当时，取得最大值，求. 参考公式：（其中为样本容量） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）列联表： 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 100 220 320 没有抗体 40 40 80 合计 140 260 400 注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关 （2）（i）；（ii）38. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图完善列联表，再求出的观测值，与临界值表比对即可. （2）（i）利用条件概率公式及对立事件的概率公式计算即可；（ii）利用二项分布的概率公式，列出不等式即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，该项指标值不小于60的频率为，有（只）， 则列联表如下：（单位：只） 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 100 220 320 没有抗体 40 40 80 合计 140 260 400 零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联， 根据列联表中数据，得 根据的独立性检验，推断不成立， 即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.025. 【小问2详解】 （i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠最多注射2次疫苗后产生抗体”， 记事件发生的概率分别为， 则，， 所以一只小白鼠最多注射2次疫苗后产生抗体的概率. （ii）依题意，随机变量， 因为最大，显然，且， 因此， 则，，解得， 而是整数，所以. 19. 在平面直角坐标系 中，直线l 与抛物线W：相切于点P ，且与椭圆 交于A，B两点. （1）当P 的坐标为时，求； （2）若点G 满足 求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意结合导数的几何意义求得切线方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理求，代入即可得结果； （2）根据题意可知：点为的重心，进而可得，结合基本不等式求其最大值. 【小问1详解】 由可得， 设，可知直线l 的斜率， 可知切线方程为，即， 联立方程，消去y得， 可知，解得， 设，则， 则 若P 的坐标为，即， 所以. 【小问2详解】 因为点到直线的距离， 由题意可知：点为的重心，且， 可知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：1．与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解． （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $