精品解析：2025年湖北省随州市随县初中毕业生学业水平能力测试暨升学适应性考试数学试卷

2025年随县初中毕业生学业水平能力测试暨升学适应性考试 数学试卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的·下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 缘木求鱼 C. 水涨船高 D. 拔苗助长 7. 如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 平面直角坐标系内有一点A（a，b），若ab＝0，则点A的位置在（　　） A. 原点 B. x轴上 C. y轴上 D. 坐标轴上 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③； ④点D为对称轴上一点，当D为时周长最小； ⑤当图象经过点时，方程的两根为、，则．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是____． 12. 已知一元二次方程的两根为，，式子的值是________． 13. 如图所示，电路图上有A，B，C三个开关和一个小灯泡，任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是________． 14. 如图，矩形的对角线交反比例函数于点D，的面积为16，且，则________． 15. 如图，在正方形中，，，分别交于点P，Q，当且时，线段的长为________． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，，点D为的中点，以，为邻边的四边形为平行四边形，连接，．求证：四边形为矩形． 18. 2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞，舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界，机器人已经走进我们的生活．科创小达人菲菲从某省快递分拣站随机抽取A，B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 A型号 a b 15 B型号 20 20 c 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中________，________； （2）请计算表中c的值；（需要写出计算过程） （3）根据上述数据，请对A，B两种型号智能机器人的分拣能力进行分析；（写出一条即可） （4）若该省共投放市场的A型号智能机器人有80台，B型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？ 19. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，，B为中点，当时，伞完全张开． （1）求的长． （2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：） 20. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点C，D，与反比例函数的图象交于点A，B，其中A的坐标为． （1）求k，m的值； （2）若点D关于x轴的对称点为点E，x轴上是否存在点F，使的周长最小？若存在，求出点F的坐标；不存在，说明理由． 21. 如图，是的直径，是的切线，切点为B，． （1）求证：是的切线； （2）直线与交于点E，且，，求阴影部分的面积． 22. 某商店销售一种新型智能水杯，进价为每个40元，若售价为每个60元时，每天可售出200个．经市场调研发现：售价每上涨1元，每天销售量减少5个；售价每下降1元，每天销售量增加10个．设售价为每个x元，每天的销售利润为y元． （1）求售价定为多少时，每天的销售利润最大； （2）若商店希望每天的利润不低于4000元，直接写出售价x的取值范围． 23. 古希腊数学家帕波斯在《数学汇编》中探讨了旋转构造下的几何关系．已知，在中，，，，点P为直线上一动点（不与点A，B重合），连接，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，旋转角为，连接． （1）当点P在延长线上如图①，探究线段与的数量关系； （2）当点P在直线上，且，，时，请求出线段的长． 24. 如图，平面直角坐标系中，点A，D在x轴上，点B在y轴上，四边形为菱形，．抛物线经过点，，且点C为此抛物线的顶点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在边上以每秒2个单位长度的速度由B向C运动，同时动点Q在线段上以每秒3个单位长度的速度由D向A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当时，求t的值； （3）抛物线上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，求点M的坐标；不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年随县初中毕业生学业水平能力测试暨升学适应性考试 数学试卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论． 【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意； 圆柱的主视图是矩形，不符合题意； 圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意； 球体的主视图是圆，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，准确分析判断是解题的关键． 根据合并同类项法则可判断选项，根据积的乘方和幂的乘方可判断选项，根据完全平方公式可判断选项，根据同底数幂的乘法可判断选项． 【详解】解：，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项正确，符合题意； 故选． 4. 如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角垂直的定义，平角的定义，平分线的定义，对顶角的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴，则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了角的平分线即把一个角分成两个相等的角的射线，垂直的定义，对顶角的性质，熟练掌握定义和性质是解题的关键． 5. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查不等式的基本性质、不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质的运用，注意符号的变化是解答的关键． 6. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的·下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 缘木求鱼 C. 水涨船高 D. 拔苗助长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、守株待兔，是随机事件，不符合题意； B、缘木求鱼，是不可能事件，不符合题意； C、水涨船高，是必然事件，符合题意； D、拔苗助长，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图示找出数量关系是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据图示可以列出方程组． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：． 故选：B． 8. 如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，先求出，再由圆周角定理可求出的度数． 【详解】解：连接、，如图， ∵正五边形， ∴， ∴． 9. 平面直角坐标系内有一点A（a，b），若ab＝0，则点A的位置在（　　） A. 原点 B. x轴上 C. y轴上 D. 坐标轴上 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的乘法，可得a，b的值，根据坐标的特点，可得答案． 【详解】解：由ab＝0，得a＝0或b＝0， ∴点A的位置在坐标轴上， 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标，掌握坐标轴上点的坐标特点是解题关键． 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③； ④点D为对称轴上一点，当D为时周长最小； ⑤当图象经过点时，方程的两根为、，则．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的交点问题，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据抛物线的开口方向、对称轴以及与轴交点，可判断①结论；根据抛物线与轴有两个交点，可判断②结论；先判断出对称轴，再根据时，，可判断③结论；连接、、、，当、、三点共线时，周长最小，求出直线的解析式，即可判断④结论；根据二次函数与直线的两个交点，可判断⑤结论． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，与轴交点在负半轴， ，，， ， ，①结论正确； 抛物线与轴有两个交点， ， ，②结论正确； 抛物线与轴的两个交点分别为和， 对称轴为直线， ， ， 时，， ，③结论正确； 如图，连接、、、， 点D为对称轴上一点，点、关于对称轴对称， ， 周长， 即当、、三点共线时，周长最小， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， 即当D为时周长最小，④结论正确； 图象经过点， ， 当图象经过点时，方程的两根为、， 二次函数与直线的一个交点为， 对称轴为直线， 二次函数与直线的一个交点为， ，， ，⑤结论正确； 故选：D． 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 12. 已知一元二次方程的两根为，，式子的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，分式通分，熟练掌握在一元二次方程中、是解题关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系求出、，将通分变形为，再代入计算即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两根为，， ，， ． 故答案为：． 13. 如图所示，电路图上有A，B，C三个开关和一个小灯泡，任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案，能够根据题意画树状图是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果数，其中使灯泡发光有两种， ∴任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率， 故答案为：． 14. 如图，矩形的对角线交反比例函数于点D，的面积为16，且，则________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的几何意义等知识，过点作轴于点，作轴于点，则四边形为矩形，求出矩形的面积，根据，求出，，进而得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，作轴于点，则四边形为矩形，如图： ∵的面积为16， ∴矩形的面积， ∵， ∴， ∵四边形、为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵矩形的面积， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，，，分别交于点P，Q，当且时，线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】把绕点A顺时针旋转得到，点Q的对应点为点H，连接，则，得， ，得，得，证明，得，得，得，由，得，得，由，得，得，证明G、B、E三点共线，，得． 【详解】解：∵正方形中， ， ∴， 把绕点A顺时针旋转得到，点Q的对应点为点H，连接， 则， ∵， ∴， ∴G、B、E三点共线， ∴， ∴， ∵且， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形旋转．熟练掌握正方形性质，旋转性质，勾股定理，完全平方公式变形求值，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；－5 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，非负数的性质，掌握相关运算法则是解题关键．先根据平方差公式和单项式乘多项式展开合并化简，再根据绝对值和平方的非负性，求出、的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ， ，， ，， 原式． 17. 如图，在中，，点D为的中点，以，为邻边的四边形为平行四边形，连接，．求证：四边形为矩形． 【答案】 证明：，点D为的中点， ，， 四边形为平行四边形， 且， 则且， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，由等腰三角形的性质得到，，证明四边形为平行四边形，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】略 18. 2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞，舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界，机器人已经走进我们的生活．科创小达人菲菲从某省快递分拣站随机抽取A，B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 A型号 a b 15 B型号 20 20 c 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中________，________； （2）请计算表中c的值；（需要写出计算过程） （3）根据上述数据，请对A，B两种型号智能机器人的分拣能力进行分析；（写出一条即可） （4）若该省共投放市场的A型号智能机器人有80台，B型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？ 【答案】（1）和16；； （2）20； （3） B型号智能机器人的分拣能力更强， 理由：因为B型号智能机器人的平均数20万件大于A型号智能机器人的平均数15万件，所以B型号智能机器人的分拣能力更强． （4）估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有3200万件． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，用样本估计总体，中位数、众数的定义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）运用加权平均数求解即可； （3）根据平均数作决策可得出答案； （4）分别求出型和型机器人分别分拣的数量，再求和即可． 【小问1详解】 解： A型号的智能机器人每天可分拣和万件的机器人都有台，数量最多， ∴众数和16， A型号的智能机器人每天分拣的数量排在中间的两个数据是：， ∴中位数， 故答案为：和16，； 【小问2详解】 解：（万件） 的值为20． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：（万件） 估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有万件． 19. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，，B为中点，当时，伞完全张开． （1）求的长． （2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：） 【答案】（1）20cm；（2）26.4cm 【解析】 【分析】（1）根据中点的性质即可求得； （2）过点B作于点E．根据等腰三角形的三线合一的性质求出．利用角平分线的性质求出∠BAE的度数，再利用三角函数求出AE，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵B为中点， ∴， ∵， ∴． （2）如图，过点B作于点E． ∵， ∴． ∵平分， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为． 【点睛】此题考查的是解直角三角形的实际应用，等腰三角形的三线合一的性质，线段中点的性质，角平分线的性质，正确构建直角三角形解决问题是解题的关键． 20. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点C，D，与反比例函数的图象交于点A，B，其中A的坐标为． （1）求k，m的值； （2）若点D关于x轴的对称点为点E，x轴上是否存在点F，使的周长最小？若存在，求出点F的坐标；不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，点F为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，轴对称的性质等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据轴对称的性质、两点之间，线段最短等可得出直线与x轴的交点C即为点F，此时的周长最小，然后求出直线与x轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 解： 一次函数的图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ； 【小问2详解】 解：x轴上存在点F，使周长最小． 理由：点D关于x轴的对称点为点E， 直线与x轴的交点C即为点F，此时的周长最小， 由（1）得直线为， 当时，解得， 则点C为， 即点F为． 21. 如图，是的直径，是的切线，切点为B，． （1）求证：是的切线； （2）直线与交于点E，且，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为的切线， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，也考查了圆周角定理和扇形的面积公式及三角函数的应用．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． （1）连接，根据，得，，进而得，证明，根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明； （2）设，求出的长，得出，根据扇形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 在中解得， ， 在中， ， ， ，， ，均为的切线， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 22. 某商店销售一种新型智能水杯，进价为每个40元，若售价为每个60元时，每天可售出200个．经市场调研发现：售价每上涨1元，每天销售量减少5个；售价每下降1元，每天销售量增加10个．设售价为每个x元，每天的销售利润为y元． （1）求售价定为多少时，每天的销售利润最大； （2）若商店希望每天的利润不低于4000元，直接写出售价x的取值范围． 【答案】（1）售价定为每个70元时，每天的销售利润最大 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．得到利润的关系式是解题的关键． （1）依据题中的相等关系列出函数解析式，分涨价、降价两种情况，再依据二次函数的性质求解可得． （2）根据题意列不等式，分两种情况，即可求解． 【小问1详解】 解：当时：售价上涨，销量减少，销量为， 利润为：； 当时，； 当时：售价下降，销量增加，销量为：， 利润为：； 当时，不在取值范围内，； 综上所述，当时，利润最大； 【小问2详解】 解： 当时： ； 解得：； 当时： ；无解； 综上所述，每天的利润不低于4000元，售价x的取值范围是． 23. 古希腊数学家帕波斯在《数学汇编》中探讨了旋转构造下的几何关系．已知，在中，，，，点P为直线上一动点（不与点A，B重合），连接，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，旋转角为，连接． （1）当点P在延长线上如图①，探究线段与的数量关系； （2）当点P在直线上，且，，时，请求出线段的长． 【答案】（1） （2）线段的长为4或16 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，等边三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过P作，交的延长线于F，则，据此可得，再证明，得到，进一步可证明，得到，据此可得结论； （2）分P在的延长线上和P在的延长线上，两种情况画出对应的图形讨论求解即可． 【小问1详解】 解：过P作，交的延长线于F，则， ， ， ，， ， 由旋转可得，， ， ， ， ， ， ，即； ∴； 【小问2详解】 解：如图，当P在的延长线上时，则， ， 又，， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， 则， ； 如图，当P在的延长线上时，由（1）得， ，， ， ，， 是等边三角形， 则， ， ， ， ，且， ， 则， ， 则， 综上所述，线段的长为4或16． 24. 如图，平面直角坐标系中，点A，D在x轴上，点B在y轴上，四边形为菱形，．抛物线经过点，，且点C为此抛物线的顶点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在边上以每秒2个单位长度的速度由B向C运动，同时动点Q在线段上以每秒3个单位长度的速度由D向A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当时，求t的值； （3）抛物线上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，求点M的坐标；不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，M为或 【解析】 【分析】（1）过点C作于点E，由菱形的性质可得，则可证明为等边三角形，则，解直角三角形求出的长，进而可得点C的坐标，再把解析式设为顶点式，利用待定系数法求解即可； （2）证明四边形为平行四边形，得到，即，解方程即可得到答案； （3）分，三种情况画出示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 四边形为菱形， ， ， 为等边三角形， 过点C作于点E，则 ， 在中，，， ， 则C为， 设抛物线的解析式为，则， 解得， ； 【小问2详解】 解：四边形为菱形， ，， ， ， ∴ 四边形为平行四边形， ∴，即， 解得． 【小问3详解】 解：当时，如图所示，过点C作于点E，设直线交y轴于H， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立解得或， ∴此时点M的坐标为； 同理可得当时，设直线与y轴交于K，过点C作轴于J， ∵轴，，即轴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或 此时点M的坐标为， 当时，点M不在抛物线上，故舍去， 综上知M为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $