2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛江苏赛区预赛试题

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛江苏赛区预赛参考解析 一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.方程xog3= 2V2 的解集为 解：{2,8. 2.设等差数列{a.}的公差为d,Sn是其前n项和.已知a20s=S2s=2025,则d=一 解：2. 3.设z为复数，i为虚数单位.若名一上 z+1 的实部为0，则z-3一4的最大值为 解：6. 4.2sin20°+cos10°+tan20°.sin10°= 解：V3. 5.在平面直角坐标系20y中，R,飞分别是双曲线票-茶=-1a,b>0的左、右焦点，P是双曲线右 支上一点，M是PFB的中点，且OM1PR.若双曲线的离心率为5，则瓷的值为 PF 6.四边形ABCD中，AB=AC=CD=1,BC=V2,AD=V3.沿直线AC将△ACD折起，形成 三棱锥D-ABC,已知二面角B-AC-D的大小为120°，则三棱锥D-ABC的体积 为 解：名 7.△ABC中，AB=5,BC=3,CA=4,点I为△ABC内心.设a,B∈R,若可=a·CA+B·AB, 则a十6= 解吕 8.甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球.甲乙两人每次交换1个球，经过四次交换后，黑球仍然在 甲的概率为】 第1页/共5页 ： 9.已知△ABC的面积为2，AB=2,则C CA 的范围为 解： V5-1vV5+1 22 10.如图，函数f(x)=e一e+1与g(x)=ln(红+e一1)的部分图像组成封闭曲线C.设斜率为-1的直 线与封闭曲线C相交于A,B两点，则AB的最大值为 解：√2(e-2). 11,设r(d)表示正整数d的所有正因数的个数，例如6有4个正因数：1,2,3,6，则r(6)=4.设 f)=∑r(,其中∑表示d取遍n的所有正因数求和。例如 f6=r国=r0++8)+⑥=1+2+2+4=9. 则f(100)的值为 解：36. 12,设函数f(x)定义在[0，+o∞)上，f(2)=0,f(x)≥0，且当0≤x<2时，f(x)≠0，若 fo小jo)=fe+,则（细）+f)= 解：11. 二、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13.设A,B,C为△ABC的三个内角，求sin2A+sin2B+sin2C的最大值. 解：由A+B+C=T知cosC=cos2(A+B),于是 sin2A+sin2B+sin2C =1-cos2A+1-cos2B 1-cos2C 2 2 2 (C02A+com28+02C) …(5分) 第2页/共5页 =号-号2oms(A+Bcs(A-B+2ems3C-川 =-cos2(A+B)-cos(A-B)cos(A+B)+2 =- cos(+0(0s(A-B) 2 4 (10分) ≤2+4-m≤2+-是 4 当且仅当csA-团=1，Qs(4+B)=一，即A=B=C=君时原式取最大位 4 …(15分) 14.如图，在圆内接四边形ABCD中，点E,F在对角线BD上，满足DE=BF. 若∠DAE=∠CAB,求证∠DCF=∠ACB. 证：由A,B,C,D共圆知∠ADE=∠ADB=∠ACB. 由已知∠DAE=∠CAB,所以△AEDn△ABC. 于是船-配。 …(5分) 由已知ED=BP,所以AD=BF AC=BC· 再由A,B,C,D共知∠DAC=∠FBC,所以△DACn△FBC. …(10分) 于是∠DCA=∠FCB. 进而∠DCA+∠ACF=∠ACF+∠FCB,即∠DCF=∠ACB. …（15分） 第3页/共5页 15.设数列{a}满足：a=1,a+1=a+十…+a V2m+1<a+1s1 证明：当n≥2时，1 2n 证：由题设可知a=1,4==1,a=十2=号 a 当n≥2时， 1=1十+…+a-1+a.= an+1 a品=是++2. 国此1= …(5分) 于是，当n≥2时 a+ =1+会+2) =2n-1+a ≥2n-1+a=2n. 由此an+h≤√2n 1 …(10分) 另一方面，0=立之√2×2+1 1 当n≥3时 s2+宫v-n <2+宫-司 √2 =2+V2(Wm-1-1)<V2m+1. 于是当n≥2时，皆有a+1>√2n+1 1 …（15分) 第4页/共5页 16.有9支队伍进行单循环赛（任意两队之间进行一场比赛）.在比赛了一阶段后进行统计，发现任意 3支队伍之间最多进行了两场比赛，求此时这9支队伍之间的比赛总场次的最大值，并说明理由， 解：最多已比赛20场. 设n=9.用n个点代表n支队伍，若某两支队伍之间进行了比赛，就在这两个队伍对应的顶点之 间连一条边，这样就得到了一个n个顶点的简单图G,其边数设为e, 设v是图G中度最大的顶点，与u相邻的顶点集合记为B,B中有k个元素，其他顶点的集合记为 C,则C中有n一1-k个元素. …(5分) 对于B中的任意两点不能连线，否则的话，它们与U构成三角形，表示它们对应的3个队伍之间进 行了3场比赛，与已知矛盾.于是B中的每个点至多连出n一k条边.对于C中的任意点u,至多连出 k条边，所以 e≤+n-)+a-及-期=a-利≤买 而e为整数，所以e≤[ (这里[x]表示不超过实数x的最大整数，) 当n=9时，e≤20. …(10分） 下面说明20可以取到： 把9个队伍分成A,B两组，A={,2,,},B={山1,2，a,4,}.同组之间不安排比赛，不同 组之间的两队(，u,)都进行一场比赛，共4×5=20场比赛. …(15分) 第5页/共5页 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛江苏赛区预赛 一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．方程的解集为 ▲ ． 2．设等差数列的公差为，是其前项和．已知，则 ▲ ． 3．设为复数，为虚数单位．若的实部为0，则的最大值为 ▲ ． 4． ▲ ． 5．在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的中点，且．若双曲线的离心率为5，则的值为 ▲ ． 6．在四边形中，，，，沿直线将折起，形成三棱锥．已知二面角的大小为，则三棱锥的体积为 ▲ ． 7．在中，，点为内心．设，若，则 ▲ ． 8．甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球．甲乙两人每次交换1个球，经过四次交换后，黑球仍然在甲的概率为 ▲ ． 9．已知的面积为2，，则的范围为 ▲ ． 10．如图，函数与的部分图像组成封闭曲线．设斜率为-1的直线与封闭曲线相交于两点，则的最大值为 ▲ ． 11．设表示正整数的所有正因数的个数，例如6有4个正因数：，则．设，其中取遍的所有正因数求和．例如 则的值为 ▲ ． 12．设函数定义在上，，，且当时，． 若，则 ▲ ． 二、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．设为的三个内角，求的最大值． 14．如图，在圆内接四边形中，点，在对角线上，满足． 若，求证． 15．设数列满足：． 证明：当时，． 16．有9支队伍进行单循环赛（任意两队之间进行一场比赛）．在比赛了一阶段后进行统计，发现任意3支队伍之间最多进行了两场比赛，求此时这9支队伍之间的比赛总场次的最大值，并说明理由． ( 第 1 页 / 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$