河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2024-2025学年高三下学期5月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2024-2025学年高三下期05月测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B B A C C C B BD ABD BD 12．或（写1个即可） 13． 14．48 15．（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【详解】试题分析：（1）依题意，由点到直线的距离公式可得，又有，联立可求离心率； （2）由（1）设椭圆方程，再设直线方程，与椭圆方程联立，求得，令，可得，即得椭圆方程. 试题解析：（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. （Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直. 设其直线方程为，代入（1）得 . 设，则，. 由，得，解得. 从而. 于是. 由，得，解得. 故椭圆的方程为. 16．(1) (2) 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，求出点的坐标及向量坐标，利用共面向量基本定理建立方程组求解即可； 方法二：建立空间直角坐标系，求出点的坐标及向量坐标，求出平面的法向量，然后利用建立方程求解即可； 方法三：延长交于，连接，利用线面平行判定定理证明平面，然后利用线面平行的性质定理得四边形是平行四边形，利用比例相等求解即可； （2）求出平面的法向量，然后利用向量法表示二面角的平面角，求解， 方法一：利用向量法求三棱锥的高，然后求出，利用锥体体积求解即可； 方法二：先利用线面平行的性质定理得平面，然后利用等体积法，转化为求解即可. 【详解】（1）方法一：坐标法（利用共面向量基本定理） 在平面内作，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， ，，，，， 又，分别为，的中点， ，， ， ，，共面，存在实数，，使得， 即， ，解得； 方法二：坐标法（利用法向量） 在平面内作，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， ，，，，， ， 又，分别为，的中点， ，， 设平面的法向量为， ，，令得， ， 又，，共面， ，解得； 方法三：几何法：延长交于，连接， ，分别为，的中点，， 平面，平面， 平面， 又平面平面， ，，又， 四边形是平行四边形， ，， 过作交于，， 又，； （2）方法一：由（1）得， 又，， 设平面的法向量为， ，解得，令得， ， 设平面和平面所成的角为， ， 整理得， ，，即； 方法一：利用向量法求三棱锥的高， 平面的法向量为，， 设点到平面的距离为，， 平面，又平面，， 又，，、平面， 平面， 又，分别为，的中点， ，， 平面，又平面，， 又，，， 则， 所以； 方法二：几何法：，分别为，的中点，， 平面，平面，平面， ， ，平面， ， . 17．(1)， (2)5 【分析】（1）根据数列新定义知是公差为m的等差数列，进而求出，利用累加法求出，最后求解即可. （2）根据“1—函数”定义结合等差数列和等比数列求和公式求出，变为，令，利用导数法判断其单调性，结合得，即可得解. 【详解】（1）由定义及，知， 所以是公差为m的等差数列，所以. 因为，所以，所以，即. 当时，有，，……， 所以，即. 当时，， 所以“2—函数”. 当时，. （2）当时，， 故“1—函数” . 由，得. 令，则， 所以在上单调递增. 因为.所以当时，，所以当时，， 故n的最大值为5. 18．（1）见解析. （2）见解析. （3）见解析. 【分析】（1）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；（2）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0．5中n的最小值；（3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适． 【详解】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0．2，0．4，0．2，0．2，从而 ； ； ； ； ； ； ． 所以的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 （2）由（1）知，，故的最小值为19． （3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用. 当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040； 当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080. 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选． 考点：离散型随机变量及其分布列 19．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）分析在和，时的正负判断即可； （3）根据（2）可得，又，设，根据时为临界条件，分与两种情况，分别求导分析的单调性，进而得到的正负区间，进而得到的单调区间，同时结合零点存在定理求解即可 【详解】（1）由题意，，，故，又，故曲线在点处的切线方程为，即 （2）由题意，因为，故当时，，当时，，当时，，故当时，有且只有一个零点 （3）由（2）可得，，故 设，则 ①若，则，在上为减函数，故，故在上为减函数，不满足题意； ②若， i）当时，，单调递减，且，，故存在使得，故在上单调递增，在上单调递减.又，，且，设，易得，故在单调递增，故，故，故.故在上有一个零点，综上有在区间上有一个零点 ii）当时，，设，则，故为减函数，因为，，故存在使得成立，故在单调递增，在单调递减.又，，故存在使得成立，故在上，单调递减，在上，单调递增.又，故，且，，故，故存在使得，综上有在区间上有一个零点. 综上所述，当时，在区间各恰有一个零点 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，同时考查了利用导数分析函数的单调性与最值，同时结合零点存在定理判断函数零点的问题，需要根据题意确定临界条件分类讨论，再分析导函数的单调性，进而得到导函数的正负区间，从而得到原函数的单调性，并根据零点存在性定理分析，属于难题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2024-2025学年高三下期05月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．命题：“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 2．满足集合为的真子集且的集合的个数是 A．6 B．7 C．8 D．15 3．下图是2013-2020年国家财政性教育经费（单位：万元）和国家财政性教育经费占总教育经费占比的统计图，下列说法正确的是 A．2019年国家财政性教育经费和国家财政性教育经费占总教育经费占比均最低 B．国家财政性教育经费逐年增加 C．国家财政性教育经费占比逐年增加 D．2020年国家财政性教育经费是2014年的两倍 4．已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则 A． B． C． D． 5．已知的展开式中所有项的系数之和为3，则展开式中的常数项为 A． B．100 C． D．380 6．已知四点，，，，四边形有内切圆，则点的轨迹是 A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 7．赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”．亦称“赵爽弦图”．如图1，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若图2中，，则 A． B． C． D． 8．已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示.这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则正确的是 A． B． C． D． 10．已知函数，则下面说法正确的是 A．是的一个周期 B．的最大值为 C．是的对称轴 D．是的对称中心 11．设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则下列选项中的取值可能为 A． B．1 C． D．2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．写出一个半径为，且与直线相切于点的圆的方程： ． 13．已知正项数列的前项和为，且，则的最小值为 ． 14．，任意，满足，求有序数列有 对. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程． 16．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为，的中点． （1）设，且，，，四点共面，求实数的值； （2）若平面和平面所成角的余弦值为，求三棱锥的体积． 17．对于数列，定义，满足，，记，称为由数列生成的“m—函数”. （1）试写出“2—函数”，并求的值； （2）若“1—函数”，求n的最大值.（提示：） 18．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求X的分布列； （2）若要求，确定n的最小值； （3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？ 19．已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，有且只有一个零点； （3）若在区间各恰有一个零点，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$