精品解析：吉林省通化市梅河口市博文学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

2023-2024学年第二学期期末考试 高一数学试卷 第I卷 选择题（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求） 1. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层随机抽样的方法抽取了10%的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为（ ） A. 50% B. 32% C. 30% D. 27% 3. 已知从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋中各摸出一个球，下列结论错误的是（ ） A. 两个球都是红球的概率为 B. 两个球中恰有1个红球的概率为 C. 两个球不都是红球的概率为 D. 至少有1个红球的概率为 4. 下列说法正确的是（ ） A. 为了了解全国中学生的视力情况，应该采用普查的方式 B. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差 ，则乙比甲稳定 C. 一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和50%分位数都是8 D. 某人在玩掷骰子游戏，掷得数字3的概率是，则此人掷6次骰子一定能掷得一次数字3 5. 若复数 满足，则 （ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 6. 袋中有10个红球和10个绿球，它们除颜色不同外，其它都相同.从袋中随机取2个球，互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少有一个红球；至少有一个绿球 B. 至少有一个红球；都是红球 C. 恰有一个红球；恰有两个绿球 D. 至少有一个红球；都是绿球 7. 样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 设是两个平面， 是两条直线，则的一个充分条件是（    ） A. B. C. 与相交 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，下列式子与的值相等的有（ ） A. B. C. D. (R为 ABC的外接圆半径) 10. 若的平均数为3，方差为4，则的（ ） A. 平均数为1 B. 方差为1 C. 平均数为 D. 方差为2 11. 设A，B为两个随机事件，若，则下列结论中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若，则A，B相互独立 C. 若A与B相互独立，则 D. 若A与B相互独立，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某同学10次数学检测成绩统计如下：95，97，94，93，95，97，97，96，94，93，设这组数的平均数为，中位数为，众数为 ，则，， 的大小为___________（用“>”符号连接） 13. 某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为________． 14. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 如图：平面， ． （1）求证： 平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 16. 从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题： （1）这一组的频数和频率分别是多少？ （2）若用分层抽样的方法在，随机抽取5人，再从这5人中随机抽取两人，求两人都在区间的概率． 17. 的内角的对边分别为 ， . （1）证明： ； （2）若 ，求的面积. 18. 如图，在四棱锥中，底面 为梯形，其中，且，点为棱 的中点. （1）求证：平面； （2）若为 上的动点，则线段 上是否存在点N，使得平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由. 19. 为纪念五四青年运动105周年，进一步激励广大团员青年继承和发扬五四精神，宁波市教育局组织中小学开展形式多样、内容丰富、彰显青年时代风貌的系列主题活动．某中学开展“读好红色经典，争做强国少年”经典知识竞赛答题活动，现从该校参加竞赛的全体学生中随机选取100份学生的答卷作为样本，所有得分都分布在，将得分数据按照，，…，分成7组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计该中学参加竞赛学生成绩的平均分（注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）估计该中学参加竞赛学生成绩的第75百分位数（结果精确到0.1）； （3）若竞赛得分100分及以上的学生视为“强国少年”．根据选取的100份答卷数据统计；竞赛得分在内学生的平均分和方差分别为110和9，竞赛得分在内学生的平均分和方差分别为128和6，请估计该中学“强国少年”得分的方差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期期末考试 高一数学试卷 第I卷 选择题（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求） 1. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量坐标满足的条件进行判断. 【详解】因为，所以. 故选：C 2. 已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层随机抽样的方法抽取了10%的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为（ ） A. 50% B. 32% C. 30% D. 27% 【答案】D 【解析】 【分析】先利用扇形统计图求出抽取的样本容量及小学生、初中生、高中生的人数，再利用条形统计图求出样本容量中近视的学生人数，从而求出平均近视率，得出结果. 【详解】根据题意，抽取的样本容量为，其中小学生、初中生、高中生抽取人数分别为：350，450，200，根据图②知抽取的小学生、初中生、高中生中，近视的人数分别为：35，135，100， 所以该地区学生的平均近视率为， 故选：D. 3. 已知从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋中各摸出一个球，下列结论错误的是（ ） A. 两个球都是红球的概率为 B. 两个球中恰有1个红球的概率为 C. 两个球不都是红球的概率为 D. 至少有1个红球的概率为 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式，结合互斥事件、对立事件逐项分析运算. 【详解】对于A：两个球都是红球的概率为，故A正确； 对于B：两个球中恰有1个红球的概率为，故B正确； 对于C：两个球不都是红球的对立事件为两个球都是红球 所以概率为，故C错误； 对于D：至少有1个红球包含两个球都是红球、两个球中恰有1个红球， 所以概率为，故D正确； 故选：C. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 为了了解全国中学生的视力情况，应该采用普查的方式 B. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差 ，则乙比甲稳定 C. 一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和50%分位数都是8 D. 某人在玩掷骰子游戏，掷得数字3的概率是，则此人掷6次骰子一定能掷得一次数字3 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽样方法、方差、百分位数、概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，“全国中学生的视力”总体太大，所以不应该普查，A选项错误. B选项，甲组数据的方差小于乙组数据的方差，所以甲比乙稳定，B选项错误. C选项，数据为，众数是， 分位数，也即中位数是，所以C选项正确. D选项，掷6次骰子不一定能掷得一次数字3，D选项错误. 故选：C 5. 若复数满足，则 （ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法法则和复数的模长公式计算即可. 【详解】， . 故选：D. 6. 袋中有10个红球和10个绿球，它们除颜色不同外，其它都相同.从袋中随机取2个球，互斥而不对立的事件是（ ） A. 至少有一个红球；至少有一个绿球 B. 至少有一个红球；都是红球 C. 恰有一个红球；恰有两个绿球 D. 至少有一个红球；都是绿球 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义求解. 【详解】A. 至少有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；两个红球；至少有一个绿球等价于：一个绿球，一个红球；两个绿球，不互斥. B. 至少有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；两个红球；与都是红球不互斥. C. 恰有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；与恰有两个绿球互斥不对立 D. 至少有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；两个红球；与都是绿球互斥且对立 故选：C 【点睛】本题主要考查随机事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 7. 样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据平均数和方差的公式可知， 由于一个样本a,3,5,7的平均数是b，那么可知a+3+5+7=4b 同时a、b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则可知a+b=5,ab=4,那么解方程可知a=1,b=4，那么可知样本的方差为，故选C. 考点：本试题考查了数字的平均值和方差的求解． 点评：解决该试题的关键是理解平均值的公式和方差的公式，运用表达式准确的表示和求解，需要细心点．属于基础题． 8. 设是两个平面， 是两条直线，则的一个充分条件是（    ） A. B. C. 与相交 D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例可判定ABC，利用线面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定D. 【详解】对于A：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故A错误； 对于B：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故B错误； 对于C：当满足与相交时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故C错误； 对于D: 因为，又，所以， 故是的一个充分条件，故D正确； 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，下列式子与的值相等的有（ ） A. B. C. D. (R为 ABC的外接圆半径) 【答案】CD 【解析】 【分析】利用正弦定理对选项进行一一验证，即可得答案； 【详解】对A，取，显然，故A错误； 对B，取，，故B错误； 对C，D， ，， 故C，D正确； 故选：CD 10. 若的平均数为3，方差为4，则的（ ） A. 平均数为1 B. 方差为1 C. 平均数为 D. 方差为2 【答案】AB 【解析】 【分析】利用均值和方差的性质求解新的均值和方差. 【详解】若的平均数为，方差为， 则的平均数为，方差为， 令，，解得，． 故选：AB 11. 设A，B为两个随机事件，若，则下列结论中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若，则A，B相互独立 C. 若A与B相互独立，则 D. 若A与B相互独立，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C. 【详解】A，若 ，则，A错误； B ，因为，则，B正确； C，因为A与B相互独立，则也相互独立， 则，C错误； D，若A与B相互独立，则也相互独立， 则，D正确. 故选：BD 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某同学10次数学检测成绩统计如下：95，97，94，93，95，97，97，96，94，93，设这组数的平均数为，中位数为，众数为 ，则，， 的大小为___________（用“>”符号连接） 【答案】 【解析】 【分析】将数据从小到达的顺序排列，从而求出平均数、中位数、众数，即可比较出它们的大小． 【详解】将数据从小到达的顺序排列，则为， 所以平均数为， 中位数为，众数为， 所以， 故答案为：. 13. 某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为________． 【答案】20 【解析】 【详解】试题分析：由分层抽样的方法知样本中松树苗的棵数应为150的，所以样本中松树苗的棵数应为. 考点：分层抽样. 14. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数是纯虚数，可知其实部为0，虚部不为0，据此列出方程组求解即可. 【详解】解：依题意有解得. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查复数的概念,实部、虚部的辨析，考查运算求解能力，属于基础题型. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 如图：平面， ． （1）求证： 平面； （2）若，求直线 与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面得出 ，结合 ，即可证明 平面； （2）由 平面得出直线 与平面所成角为 ，通过解三角形即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵平面，平面， ∴ ， 又∵ ， , ∴平面． 【小问2详解】 解：由（1）得平面， ∴ 在平面内的射影为， ∴ 就是直线 与平面所成的角， 在中， ， ∴ ∴， ∴直线 与平面所成的角为． 16. 从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题： （1）这一组的频数和频率分别是多少？ （2）若用分层抽样的方法在，随机抽取5人，再从这5人中随机抽取两人，求两人都在区间的概率． 【答案】（1）0.25；15；（2）. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图可得频率，由频率可得频数； （2）由频率分布直方图知这一组抽取2人，在这一组抽取3人，编号后用列举法出任取2人的所有基本事件，可得所求概率． 【详解】（1）这一组的频率为， 这一组的频数为． （2）由频率分布直方图可得： 这一组的频数为：； 这一组的频数为：； 用分层抽样的方法在这一组抽取2人，记为 ，在这一组抽取3人，记为， 任取2人的基本事件有：共10个，其中只有属于两人都在区间的基本事件． 所以所求概率为． 17. 的内角的对边分别为 ， . （1）证明： ； （2）若 ，求的面积. 【答案】（1） 因为 ，所以 ， 则 . 又，所以 ， 故 ，即 . （2） 【解析】 【分析】(1)用正弦定理转化，结合正弦差角公式即可求解.(2)结合第一问的结论和余弦定理求得 的余弦值，代入面积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，. 因为 ，所以， 则， 故的面积. 18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）若为 上的动点，则线段 上是否存在点N，使得平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）点 为 的中点，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形截面，由线线平行即可证明线面平行； （2）要证明动直线和另一个平面平行，只需要证明动直线所在的平面与另一个平面平行即可. 【小问1详解】 取点为棱 的中点，又因为点为棱的中点，所以 ，且， 又因为，且，所以 则四边形是平行四边形，即， 又因为 平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 存在点 为 的中点，满足平面. 因为点 为 的中点，点为棱的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 再由平面，， 平面，平面， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面. 19. 为纪念五四青年运动105周年，进一步激励广大团员青年继承和发扬五四精神，宁波市教育局组织中小学开展形式多样、内容丰富、彰显青年时代风貌的系列主题活动．某中学开展“读好红色经典，争做强国少年”经典知识竞赛答题活动，现从该校参加竞赛的全体学生中随机选取100份学生的答卷作为样本，所有得分都分布在，将得分数据按照，，…，分成7组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计该中学参加竞赛学生成绩的平均分（注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）估计该中学参加竞赛学生成绩的第75百分位数（结果精确到0.1）； （3）若竞赛得分100分及以上的学生视为“强国少年”．根据选取的100份答卷数据统计；竞赛得分在内学生的平均分和方差分别为110和9，竞赛得分在内学生的平均分和方差分别为128和6，请估计该中学“强国少年”得分的方差． 【答案】（1）分 （2）分 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均数的公式求出即可． （2）先估计第75百分位数在内，后按求百分位数的方法求解第75百分位数即可． （3）算出竞赛得分在内学生的答卷数为 ；分数记为，其平均数记为，方差记为；算出竞赛得分在内学生的答卷数为 ；分数记为，其平均数记为，方差记为；把“强国少年”得分的平均数记为，方差记为．用分层随机抽样总样本平均数、方差与各层样本平均数、方差的关系式求解即可． 【小问1详解】 （分）， 据此估计该校参加竞赛学生成绩的平均分约为69分． 【小问2详解】 前4组频率和为，第5组频率为，故第75百分位数在内，即第75百分位数为（分）． 据此估计该校参加竞赛学生成绩的第75百分位数约为86.7分． 【小问3详解】 竞赛得分在内学生的答卷数为；分数记为，其平均数记为，方差记为； 竞赛得分在内学生的答卷数为；分数记为，其平均数记为，方差记为； 把“强国少年”得分的平均数记为，方差记为．根据方差的定义，总样本方差为： ．（*） 由，，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为：． 把已知的平均数和方差的取值代入（*）可得：． 据此估计该学校“强国少年”得分的方差约为80． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $