精品解析：重庆市九龙坡区 2025年数学指标到校真题卷（适应性考试 数学试题）

初2025届九年级适应性考试数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意惠项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回； 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确的答案对应的方框涂黑） 1. 将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到图中所示的立体图形是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 3. 实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，交于点E，交于点F，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 6. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个大正方形需要4个小正方形，拼第2个大正方形需要9个小正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第50个大正方形比第49个大正方形多几个小正方形？（ ） A. 50 B. 100 C. 51 D. 101 8. 如图，在矩形中，以中点E为圆心，长为半径作半圆交于点F，以点F为圆心，长为半径作半圆，两半圆交于点G．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为a的正方形中，点G为对角线上一点，且，连接并延长交于点E，过点D作于点F，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 将几个正整数排成一列数M：，其中n为正整数且，每次进行以下操作之一： 操作一：将其中一个数删除； 操作二：将其中一个数变为比该数更小的正整数； 操作三：将其中一个数变为两个正整数，且两个正整数之和小于原来的正整数； 现甲、乙二人对这些数按照甲—乙—甲—乙—……的顺序轮流进行操作，规定最后操作将所有数删除的人获胜． 下列说法： ①若，4，则甲第一次操作后可能产生6种不同的结果； ②若，3，甲、乙二人共经过k次操作后将所有数都删除，且上述三种操作至少各进行了一次，则或5； ③若，则甲有必胜策略． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上） 11. 计算：______． 12. 在一个不透明的盒子里装有9个白球和若干个黑球，这些球除着色外都相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到黑球的概率是，则黑球的个数为_______． 13. 如图，在边长为的等边中，是中线，点E为点D关于直线的对称点，连接，则的面积为______． 14. 若关于x的不等式组有且只有5个整数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是_______． 15. 如图，在四边形中，为对角线，，，，过C、D两点的与相切于点G．E为中点，连接并延长，交于点F，则的长度为______；的半径为_______． 16. 对于一个四位正整数，去掉M的千位和百位上的数字后得到的两位数记为；去掉M的十位和个位上的数字后得到的两位数记为，如果比刚好大4，那么称这个四位数M为“卯数”．例如：四位数2529，∵29-25=4，∴2529是“卯数”．又如：四位数2534，∵34-25≠4，∴2534不是“卯数”．若一个“卯数”为，则这个数为_______；若一个“卯数”同时又是一个奇数，则称这个数为“丙卯数”，设是一个四位的“丙卯数”，记，当是质数（除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的整数叫质数，如2，3，5，7，11，……）时，则满足条件的N的最大值与最小值之差是______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17-18题各8分，其余每题各10分，共86分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 数学来源于生活，也应用于生活．在石材加工场中，如图所示的四边形花岗岩，其具备的特征．为推进后续加工流程，需要在这块石材上精准绘制菱形标线，我们把此生活问题转化为以下数学问题，请同学们按要求完成作图与填空． 用直尺和圆规作图：连接，作的垂直平分线交于点E，交于点F，连接、，与交于点．（只保留作图痕迹） 已知：如图，在四边形中，，为对角线，垂直平分，垂足为点． 求证：四边形是菱形． 证明：∵， ∴． ∵垂直平分， ∴，，，， 在和中， ∴． ∴， ∴四边形是平行四边形， 又④_______， ∴平行四边形是菱形． 20. 除夕夜，重庆夜空的无人机表演为大家提供了一场精彩绝伦的空中视觉盛宴．某公司为了检测甲、乙两款无人机的续航时间，工作人员分别随机抽查了两款无人机各10架进行试飞，记录下它们的续航时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（续航时间用表示，共分为三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 甲款10架无人机续航时间在A组中的数据是：33，33，35，35，35，35． 乙款10架无人机续航时间是：20，22，22，25，30，32，33，33，33，40． 抽取的甲、乙两款无人机续航时间统计表 型号 平均数 中位数 众数 方差 甲 29 33 35 49.4 乙 29 37.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，_______，_______． （2）根据以上数据，你认为该公司哪款无人机的续航时间更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若该公司仓库有甲款无人机700架、乙款无人机900架，估计两款无人机续航时间在A组的总共有多少架？ 21. 某咖啡店2024年12月销售咖啡1200杯，每杯成本10元、售价15元．因新年人们对咖啡的需求增加，咖啡豆售价随之上涨，影响了该咖啡店每杯咖啡的售价和月销售量．2025年1-2月该咖啡店每杯咖啡的成本均为12元． （1）2025年1月该咖啡店的销售量为1500杯，但销售利润与2024年12月持平，求2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是多少元？ （2）2025年2月该咖啡店每杯咖啡的售价比1月每杯咖啡的售价提高了，2025年2月的销售量比2024年12月的销售量减少了，且2025年2月的销售利润是2024年12月销售利润的，求的值． 22. 如图1，在中，，，．动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线的方向运动；同时动点E以相同的速度从点C出发，沿折线的方向运动，当动点D运动到点C时两点都停止运动．设运动时间为秒．记点D、B之间的距离与点E、B之间的距离之和为；的周长与点D的运动时间之比为． （1）请直接写出、关于的函数表达式并注明自变量t的取值范围： （2）在给定的平面直角坐标系，如图2，画出、的函数图象，并写出的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当一次函数与的图象有两个交点时k的取值范围． 23. 如图，小红同学为了测量小河对岸某塔的高度，他在与塔底B同一水平线上的点C处测得塔的顶端A的仰角为，接着他沿着坡度的斜坡向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为．（参考数据：，，，，） （1）求点D到的距离； （2）求塔的高度．（结果精确到0.1米） 24. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点，连接． （1）求抛物线的表达式． （2）点在直线上方抛物线上运动，过点作轴，交直线于点，过点作交轴于点．点、是直线上的两动点，点在点的左侧，，连接、．当的值最大时，求此时的最小值． （3）在（2）中取最大值的条件下，连接．将原抛物线沿射线方平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧），在新抛物线上存在点，使得．请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，，点D、E分别在上，，连接．将绕点C顺时针方向旋转，旋转角度为，连接． （1）如图1，若，，求的面积． （2）如图2，若，点三点在同一直线上，延长至点M，使，连接，点P为中点，点Q为中点，连接．求证：． （3）若，设与交于点H，，点K为直线上一动点，连接，将线段绕点K逆时针方向旋转得到线段，连接．设线段的最小值为，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2025届九年级适应性考试数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意惠项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回； 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确的答案对应的方框涂黑） 1. 将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到图中所示的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了点线面体，解题的关键是掌握面动成体．点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体，分别判断各选项是否可得到图中所示的立体图形． 【详解】解：A、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； B、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； C、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； D、绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形，故符合题意． 故选：D． 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，依据题意，根据反比例函数的性质可得，进而逐个判断可以得解．将各个坐标代入解析式逐一计算判断，即可求解，理解图象经过点的意义是解题的关键． 【详解】解：A．当时，，故符合题意； B．当时，，故不符合题意； C．当时，，故不符合题意； D．当时，，故不符合题意； 故选：A． 3. 实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义，加法与乘法的法则，数形结合是解题的关键． 根据数轴的位置，可得，，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据数轴的位置，可得，，， A．，错误，不符合题意；       B．，错误，不符合题意； C．，正确，符合题意；    D．，错误，不符合题意． 故选：C． 4. 如图，，交于点E，交于点F，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质可得，再求得即可解答，熟练运用平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：B． 5. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，先计算二次根式乘法，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，   故选： B． 6. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角，熟记多边形内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 利用多边形外角和为的性质以及内角和公式建立方程求解即可． 【详解】设多边形的边数为， ∵ 多边形的外角和为，且内角和是外角和的倍， ∴ 内角和， 又∵ 内角和 ， ∴ ， 解得：， 即这个多边形的边数为． 故选：C． 7. 如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个大正方形需要4个小正方形，拼第2个大正方形需要9个小正方形……拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第50个大正方形比第49个大正方形多几个小正方形？（ ） A. 50 B. 100 C. 51 D. 101 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形类的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键．由题意知，可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，则第个正方形需个小正方形，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，拼第1个正方形需个小正方形， 拼第2个正方形需个小正方形， 拼第3个正方形需个小正方形， …… ∴可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形， ∴按照这样的方法拼成的第50个大正方形比第49个大正方形多小正方形个数为： （个）， 故选：D． 8. 如图，在矩形中，以中点E为圆心，长为半径作半圆交于点F，以点F为圆心，长为半径作半圆，两半圆交于点G．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积的计算、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，连接、，由题意易知是等边三角形，根据计算即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、， 由题意易知是等边三角形， ． 故选：D． 9. 如图，在边长为a的正方形中，点G为对角线上一点，且，连接并延长交于点E，过点D作于点F，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，根据正方形的性质可证，推出，求出，求出，设中边上的高为h，根据三角形面积公式求出，根据相似三角形的性质可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形边长为a的正方形， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设中边上的高为h， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 将几个正整数排成一列数M：，其中n为正整数且，每次进行以下操作之一： 操作一：将其中一个数删除； 操作二：将其中一个数变为比该数更小的正整数； 操作三：将其中一个数变为两个正整数，且两个正整数之和小于原来的正整数； 现甲、乙二人对这些数按照甲—乙—甲—乙—……的顺序轮流进行操作，规定最后操作将所有数删除的人获胜． 下列说法： ①若，4，则甲第一次操作后可能产生6种不同的结果； ②若，3，甲、乙二人共经过k次操作后将所有数都删除，且上述三种操作至少各进行了一次，则或5； ③若，则甲有必胜策略． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查数列的应用和逻辑推理，若要进行操作三，则最大项的数值必须大于等于3；若要进行操作二，则最大项的数值必须大于等于2；进行操作二不改变数列的项数． 【详解】解：①当甲进行操作一时，会产生2种不同的结果，或；当甲进行操作二时，会产生3种不同的结果，，3或，2或，1；当甲进行操作三时，会产生2种结果，，1，2或，1，1；因此甲第一次操作后可以产生7种不同的结果，故①错误； ②在数列M中，只有项能进行操作三，并要求三种操作至少各进行了一次，进行操作三后，项数为3，； 当第二步先进行操作一时，只能删除为1的项，此时（操作三）（操作二）（操作一）； 当第二步先进行操作二时，（操作三）（操作二）（操作一）； 因此或6，故②错误； ③根据题意可知，若数列有奇数个项，甲、乙逐个消去，最终甲执行最后一次操作；有偶数个项逐个消去，最终乙执行最后一次操作；执行操作二、操作三不影响最终结果； ∵，为奇数项且最多可执行2（偶数）次操作二， ∴能确保甲最后将所有项消除，只需保证进行偶数次操作二即可，故③正确． 故选：B． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上） 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂运算，根据零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 在一个不透明的盒子里装有9个白球和若干个黑球，这些球除着色外都相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到黑球的概率是，则黑球的个数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，根据题意可得摸出白球的概率为，即可求出盒子中小球的总个数，进而求出白球的个数． 【详解】解：根据题意可得摸出白球的概率为， 则盒子中小球的总个数为：（个）， 黑球的个数为：（个）， 故答案为：． 13. 如图，在边长为的等边中，是中线，点E为点D关于直线的对称点，连接，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质及勾股定理，过点E作垂线交延长线与点，连接，求出，由轴对称的性质可得，求出，，再利用直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：过点E作垂线交延长线与点，连接， ∵在边长为的等边中， ∴， ∵是中线， ∴， ∵点E为点D关于直线的对称点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若关于x的不等式组有且只有5个整数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程、一元一次不等式组的解法，根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的有解进一步确定a的值后求和即可． 【详解】解：解不等式，得， 解得不等式，得， ∵不等式组有且只有5个整数解， ∴， ∴， 将分式方程两边同乘以，得， 解得， ∵分式方程有解， ∴， ∴， ∴所有满足条件的整数a为：3，5， ∴所有满足条件的整数的和是， 故答案为：8． 15. 如图，在四边形中，为对角线，，，，过C、D两点的与相切于点G．E为中点，连接并延长，交于点F，则的长度为______；的半径为_______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，等角对等边等等，连接，设交于M，由垂径定理得到，解得到，同理可得；证明，得到，则可求出，，；过点F作于H，可证明，则，解直角三角形可得，则；设，则，由切线的性质可得，再证明，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设交于M， ∵E为中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 同理可得 ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，过点F作于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵过C、D两点的与相切于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴，即的半径为， 故答案为：；． 16. 对于一个四位正整数，去掉M的千位和百位上的数字后得到的两位数记为；去掉M的十位和个位上的数字后得到的两位数记为，如果比刚好大4，那么称这个四位数M为“卯数”．例如：四位数2529，∵29-25=4，∴2529是“卯数”．又如：四位数2534，∵34-25≠4，∴2534不是“卯数”．若一个“卯数”为，则这个数为_______；若一个“卯数”同时又是一个奇数，则称这个数为“丙卯数”，设是一个四位的“丙卯数”，记，当是质数（除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的整数叫质数，如2，3，5，7，11，……）时，则满足条件的N的最大值与最小值之差是______． 【答案】 ①. 2125 ②. 7070 【解析】 【分析】本题考查了新定义计算、有理数的运算、列代数式、整式的加减运算，根据“卯数”的定义列式可得出的值即可得出第一个空格的答案；由“丙卯数”的定义得出，结合是奇数可得出，根据可求出，再根据是质数，得出的最大数和最小数，即可得出结果． 【详解】解：根据题意得比刚好大4，可得， ∴， ∵为“卯数”， ∴ ∴， ∴这个数为：； ∵是一个四位的“丙卯数”， ∴， ∴， 整理得，， ∵是奇数， ∴或3或5或7或9， ∴当最小时，则最小， 当时，，，此时，， ∴， ∴是质数， 当时，，，此时，， ∴，不是最小数； 当时，，，此时，， ∴， ∴不是质数， 当时，，，此时，， ∴， ∴不是质数， 当时，，，此时，， ∴， ∴不是质数， 故最小的数为：1721； 要使最大，则最大， 当时，，则， ∴， ∴不是质数， 当时，，则， ∴， ∴不是质数， 当时，，则， ∴， ∴不是质数， 当时，，则， ∴， ∴是质数， 所以，最大的数为：8791； 所以，满足条件的N的最大值与最小值之差是， 故答案为：2125；7070． 三、解答题（本大题共9个小题，第17-18题各8分，其余每题各10分，共86分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，去括号，进行单项式乘以多项式，平方差公式的计算，再合并同类项即可．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 19. 数学来源于生活，也应用于生活．在石材加工场中，如图所示的四边形花岗岩，其具备的特征．为推进后续加工流程，需要在这块石材上精准绘制菱形标线，我们把此生活问题转化为以下数学问题，请同学们按要求完成作图与填空． 用直尺和圆规作图：连接，作的垂直平分线交于点E，交于点F，连接、，与交于点．（只保留作图痕迹） 已知：如图，在四边形中，，为对角线，垂直平分，垂足为点． 求证：四边形是菱形． 证明：∵， ∴． ∵垂直平分， ∴，，，， 在和中， ∴． ∴， ∴四边形是平行四边形， 又④_______， ∴平行四边形是菱形． 【答案】 如图，四边形为求作的； ①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图——作已知线段的垂直平分线及菱形的判定，熟知基本作图及菱形的判定方法是正确解答此题的关键． 根据题意作出的垂直平分线按题意连接得四边形即可；根据证明过程补全即可． 【详解】解：作的垂直平分线，按题意连接得四边形， 证明：∵， ∴． ∵垂直平分， ∴，，，， 在和中， ∴． ∴， ∴四边形是平行四边形， 又④， ∴平行四边形是菱形． 故答案为：；；； 20. 除夕夜，重庆夜空的无人机表演为大家提供了一场精彩绝伦的空中视觉盛宴．某公司为了检测甲、乙两款无人机的续航时间，工作人员分别随机抽查了两款无人机各10架进行试飞，记录下它们的续航时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（续航时间用表示，共分为三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 甲款10架无人机续航时间在A组中的数据是：33，33，35，35，35，35． 乙款10架无人机续航时间是：20，22，22，25，30，32，33，33，33，40． 抽取的甲、乙两款无人机续航时间统计表 型号 平均数 中位数 众数 方差 甲 29 33 35 49.4 乙 29 37.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，_______，_______． （2）根据以上数据，你认为该公司哪款无人机的续航时间更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若该公司仓库有甲款无人机700架、乙款无人机900架，估计两款无人机续航时间在A组的总共有多少架？ 【答案】（1）10，31，33 （2） 解：甲款无人机运行性能更好些， 理由如下：虽然两款无人机运行最长时间的平均数相同，甲款无人机运行最长时间的中位数和众数均高于乙款无人机，所以甲款无人机运行性能更好些（答案不唯一）； （3）估计两款无人机续航时间在组的总共有960架 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，频数分布表，算术平均数，中位数，众数，方差以及用样本估计总体，解题关键是从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据组所占百分比求出，根据中位数和众数的定义即可得出，； （2）可比较中位数，众数得出结论； （3）利用样本估计总体可求解． 【小问1详解】 解：组所占百分比为：， 组所占百分比为：， ； 乙组的中位数为：， ； 乙组中出现最多的数据是33， ． 故答案为：10，31，33； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（架， 答：估计两款无人机续航时间在组的总共有960架． 21. 某咖啡店2024年12月销售咖啡1200杯，每杯成本10元、售价15元．因新年人们对咖啡的需求增加，咖啡豆售价随之上涨，影响了该咖啡店每杯咖啡的售价和月销售量．2025年1-2月该咖啡店每杯咖啡的成本均为12元． （1）2025年1月该咖啡店的销售量为1500杯，但销售利润与2024年12月持平，求2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是多少元？ （2）2025年2月该咖啡店每杯咖啡的售价比1月每杯咖啡的售价提高了，2025年2月的销售量比2024年12月的销售量减少了，且2025年2月的销售利润是2024年12月销售利润的，求的值． 【答案】（1）2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是元 （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）设2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是元，根据2025年1月该咖啡店的销售量为1500杯，但销售利润与2024年12月持平，列出一元一次方程求解即可； （2）利用总利润等于单杯的利润销售量，列出关于a的一元二次方程求解，并取符合实际的值即可． 【小问1详解】 解：设2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是元，根据题意得： 解得：， 答：2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是元； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：或（舍去）， 答：的值为． 22. 如图1，在中，，，．动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线的方向运动；同时动点E以相同的速度从点C出发，沿折线的方向运动，当动点D运动到点C时两点都停止运动．设运动时间为秒．记点D、B之间的距离与点E、B之间的距离之和为；的周长与点D的运动时间之比为． （1）请直接写出、关于的函数表达式并注明自变量t的取值范围： （2）在给定的平面直角坐标系，如图2，画出、的函数图象，并写出的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当一次函数与的图象有两个交点时k的取值范围． 【答案】（1）； （2） 函数图象如下所示： 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而不变；当时，随的增大而增大； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可分当在上，当在上，然后分类求解即可； （2）根据（1）可直接进行作图，然后根据图象可进行求解； （3）根据函数图象可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， ①当在上，即时，则有：， 此时，在上，则， ； ②当在上，在上，即时， 同理得：， ∴； ③当在上，在上，即时， 同理得：， ∴； 综上，； ∵的周长为：， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵一次函数恒过点， 如图，当一次函数过点时，，解得：， 当一次函数过点时，，解得：， 故根据图象可得一次函数与的图象有两个交点时，． 23. 如图，小红同学为了测量小河对岸某塔的高度，他在与塔底B同一水平线上的点C处测得塔的顶端A的仰角为，接着他沿着坡度的斜坡向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为．（参考数据：，，，，） （1）求点D到的距离； （2）求塔的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】（1）点D到的距离为5米 （2）塔的高度约为米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握斜坡的坡度即是正切值，利用锐角三角函数列方程求解． （1）过点D作于点G，利用坡度进行求解即可； （2）过点D作于点H，设，求出，利用两个直角三角形的锐角三角函数进行求解． 【小问1详解】 解：过点D作于点G． 在中， ， ，即， ∵米， 米， 答：点D到的距离为5米； 【小问2详解】 解：过点D作于点H，则四边形是矩形． 米， 设，则米， 在中， ， ， 在中，米， 米， 在中， ， ． 解得米， 答：塔的高度约为米． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点，连接． （1）求抛物线的表达式． （2）点在直线上方抛物线上运动，过点作轴，交直线于点，过点作交轴于点．点、是直线上的两动点，点在点的左侧，，连接、．当的值最大时，求此时的最小值． （3）在（2）中取最大值的条件下，连接．将原抛物线沿射线方平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧），在新抛物线上存在点，使得．请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称轴为，且过点，得和，求解即可； （2）延长交轴于点，先求出，，则可求出，通过证明，得出，则，求出直线的解析式为，设，则，，可得，利用二次函数的图象与性质得出当时，取得最大值，此时，将沿方向平移个单位长度得到点，即水平向右平移个单位长度，再水平向上平移个单位长度，求出，由平移得，由两点之间线段最短，得，且当、、依次共线时，取得最小值，求解即可； （3）沿射线方平移个单位长度，可知相当于水平向右平移个单位长度，再水平向上平移个单位长度，可得新抛物的解析式为，联立，得出，再求得， ∵，分两种情况：①当点在直线上方时，此时点为，过点作轴交于点，过点作轴于交于点，得出，则，设，则可得，，列式求解即可；②当点在直线下方时，此时点为，过点作轴交轴于点，过点作轴交于点， 同①方法求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，且过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，延长交轴于点， 令，得， 解得：，， ∴，， 令，得， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 则，， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， 此时，， 则， ∵， ∴， 如图，过点作轴，过点作轴交于， ∴， ∴， 将沿方向平移个单位长度得到点，即水平向右平移个单位长度，再水平向上平移个单位长度， ∴，即， 由平移得， ∴， 由两点之间线段最短，得，且当、、依次共线时，取得最小值， ∵， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：沿射线方平移个单位长度，同（2）的方法，可知相当于水平向右平移个单位长度，再水平向上平移个单位长度， 则新抛物的解析式为， 联立， 解得：，， 当时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， 如图，当点在直线上方时，此时点为，过点作轴交于点，过点作轴于交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， 解得：（舍），， 当时，， ∴； 如图，当点在直线下方时，此时点为，过点作轴交轴于点，过点作轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， 解得：（舍），， 当时，， ∴； 综上所示，或． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求一次函数与二次函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，坐标中的平移，轴对称的性质，三角函数，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 25. 在中，，，点D、E分别在上，，连接．将绕点C顺时针方向旋转，旋转角度为，连接． （1）如图1，若，，求的面积． （2）如图2，若，点三点在同一直线上，延长至点M，使，连接，点P为中点，点Q为中点，连接．求证：． （3）若，设与交于点H，，点K为直线上一动点，连接，将线段绕点K逆时针方向旋转得到线段，连接．设线段的最小值为，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴点四点共圆， ∵， ∴， 连接，取中点，连接，延长交于点， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 即， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）若，根据，得出，根据，，求出，过点作，求出，根据即可求解． （2）证明，得出，即可得点四点共圆，根据，得出，连接，取中点，连接，延长交于点，证明是的中位线，得出，即，得出，证明是的中位线，得出，得，即可得，结合，得出，即可得，过点作，求出，即可证明． （3）根据，，得出，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，证明，得出，证明，得出，即可得点在所在直线上运动，得出当时，最短，延长交于点，求出，在中，得出，证明，得出，即可得；求出的值：即可求出，从而得出． 【小问1详解】 解：若， ∵， ∴， ∵，， ∴， 过点作， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 将绕点逆时针旋转得到，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在所在直线上运动， 当时，最短， 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； 求： 在中， 在上取点使得， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴． ∴． 【点睛】该题是几何综合题，考查了相似三角形的性质和判定，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，三角形中位线定理，圆内接四边形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $