精品解析：云南省临沧地区中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷

2024——2025学年临沧地区中学上学期高一9月月考 数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果集合中只有一个元素，则a的值是（ ） A. 0 B. 4 C. 0或4 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用与，结合集合元素个数，求解即可． 【详解】解：当时，集合，只有一个元素，满足题意； 当时，集合中只有一个元素，可得，解得． 则的值是0或4． 故选：． 【点睛】本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，属于基础题． 2. 已知集合，，，则集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对集合C分析，当n为偶数时，它与集合A相等，所以集合A是集合C的真子集；又集合B和集合C相等，从而得出集合A、B、C的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C． 3. 已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则（ ） A. {－1} B. {0，1} C. {－1，2，3} D. {－1，0，1，3} 【答案】C 【解析】 【分析】由交集与补集的定义即可求解. 【详解】解：因为集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}， 所以， 又全集U＝{－1，0，1，2，3}， 所以， 故选：C. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由可以推出，故充分性成立， 反之或，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 该命题的否定为：，. 故选：B. 6. 若则一定有 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选 7. 若且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由且，可知，，即可对四个选项逐一判断正误，得出答案. 【详解】由且，，当且仅当时等号成立. 由，故，，当且仅当时等号成立，选项A，C均不成立； 由则，选项B不成立 (当且仅当时，等号成立)，选项D成立. 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的综合应用，属于中档题. 8. 若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有3个整数解求出实数的取值范围. 【详解】不等式可化为， 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得； 当时，原不等式等价于， 其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中错误的有（ ） A. 命题：，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】需要根据命题的否定、充分必要条件的判断以及方程根的情况，逐个分析每个选项，根据相关的数学概念和定理来判断其正误. 【详解】对于A选项，对于命题，其否定应该是.所以A选项错误. 对于B选项，当时，，，满足，但是. 反之，当时，例如，此时，，. 所以是“”的既不充分也不必要条件，B选项错误. 对于C选项，当时，，但是，不满足. 所以命题是假命题，C选项错误. 对于D选项，对于方程，若方程有一正一负根，则根据,即.且满足韦达定理，两根之积，即. 取交集得到. 反之，当时，方程的判别式，方程有两个不同的根，且两根之积，所以方程有一正一负根. 所以是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，D选项正确. 故选：ABC. 10. 定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（ ） A. 方程是“和谐方程” B. 若关于的方程是“和谐方程”，则 C. 若关于的方程是“和谐方程”，则的函数图象与轴交点的坐标是和 D. 若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程” 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用“和谐方程”的定义进行判断即可；对于B，设，利用根与系数的关系即可求出的值；对于C，由关于的方程是“和谐方程”，利用“和谐方程”的定义得到，代入即可求出函数图象与轴交点的坐标；对于D，由点在反比例函数的图象上得到，代入，利用“和谐方程”的定义检验是否为“和谐方程”. 【详解】由，则方程的两根为， 又， 则方程不是“和谐方程”，故A错误； 若关于的方程是“和谐方程”，设， 又，， 解得，或， ，故B正确； 若关于的方程是“和谐方程”，设， 又，，， 则，即， 又，解得方程的两根为， 即的函数图象与轴交点的坐标是和，故C正确； 点在反比例函数的图象上， ，， 则关于的方程， 解得方程的两根为，又， 即关于的方程是“和谐方程”，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题关键是对新定义“和谐方程”的理解，再结合根与系数的关系进行求解即可. 11. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论，其中正确结论的是（ ） A. B. C. 若整数、属于同一“类”，则 D. 若，则整数、属于同一“类” 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用题中定义可判断AB选项的正误；设，，、，，利用“类”的定义可判断C选项的正误；设，，、，、，推出，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，，故，A对； 对于B选项，，故，B错； 对于C选项，若整数、属于同一“类”，可设，，、，， 所以，，故，C对； 对于D选项，设，，、，、， 则，因为、，则且， 因为，则，即，故整数、属于同一“类”，D对. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】考虑和，两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】当时，解得或， 当时，不等式为，解集不为空集，不合要求，舍去； 当时，不等式为，解集为空集，满足要求， 当时，要想不等式解集为空集，则， 解得， 综上，实数的取值范围是 故答案为： 13. 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人. 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合，结合Venn图可知，要使区域的人数最多，其他区域人数最少即可，进而可求解. 【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合. 要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人. 故答案为：9. 14. 已知，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，再根据结合基本不等式求解即可. 【详解】设，，则， 因为，故，则. 故， ， 当且仅当，即，结合可得， ， 即，，，时取等号. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合的运算可求解； （2）利用充分不必要条件的定义，转化为P是Q的真子集，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【小问1详解】 已知集合，. 当时，，或， 又， . 【小问2详解】 因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集， 又，， 所以，解得， 当时，是Q的真子集； 当时，也满足是Q的真子集， 综上所述：实数的取值范围为. 16. 设集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）时，化简集合，根据交集、补集运算即可； （2）由可转化为，建立不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，， 或 ， （2）若，则， 当，即时，，成立； 当，即时，令，得. 故实数的取值范围是. 17. 某儿童玩具厂生产的某一款益智玩具去年年销量为2百万件，每件销售价格为20元，成本16元.今年计划投入适当广告费进行促销.预计该款玩具的年销售量百万件与年广告费用百万元满足，现已知每件玩具的销售价为年平均每件玩具所占广告费的与原销售价之和. （1）当投入广告费为2百万元时，要使该玩具的年利润不少于12百万元，求的取值范围； （2）若时，则当投入多少百万元广告费该玩具生产厂获得最大利润. 【答案】（1）； （2）当广告费2百万时最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）年利润，解即可； （2）当时，,利用函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 当 时，销售价为， 年利润，解得. 【小问2详解】 当时， 年利润， 设， 设， 则 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以. 因为，所以， 所以在上单调递减， 所以当时, 所以. 综上：当广告费2百万时最大利润为万元. 18. 已知集合，命题：“，”，命题：“，” （1）若命题是真命题，求的取值范围； （2）命题是真命题，求的取值范围． （3）若命题和中有且只有一个是真命题，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分情况讨论解二次不等式可得集合，再由命题为真命题，可知，根据集合间的关系可得不等式组，解不等式组即可； （2）由命题是真命题，可知，再根据集合间运算的结果可得不等式组，解不等式组即可得解. （3）分情况讨论两命题的真假，求参数范围. 【小问1详解】 不等式，即， 令，，， 当时，，不等式的解集为，即； 当时，，不等式的解集为，即； 当时，，不等式的解集为，即； 若命题是真命题， 则， 所以当时，不成立； 当时，，解得； 当时，，无解； 综上所述若命题是真命题，则； 【小问2详解】 若命题是真命题，则， 所以当时，不成立； 当时，，解得； 当时，，无解； 综上所述若命题是真命题，则； 【小问3详解】 由（1）（2）可知若命题是真命题，则，若命题是真命题，则， 所以当命题是假命题时，，当命题是假命题，则， 所以若真假时，且，不成立； 若假真时，且，即； 综上所述. 19. 对于四个正数，如果，那么称是的"下位序列" （1）对于，试求的"下位序列"; （2）设均为正数，且是的"下位序列"，试判断：之间的大小关系，并证明你的结论； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的"下位序列"，且是的"下位序列"，求正整数的最小值. 【答案】（1） （2），证明如下： 由题意可知此时取，则， 猜想， 先证左边则， 再证右边则， 综上. （3） 【解析】 【分析】（1）由“下位序列”的定义，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先猜想，然后结合作差法代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由“下位序列”的定义，列出不等式，得到的不等关系，再转化为最值问题，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可知此时则的“下位序列”为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可知①，又则， 此时于是解得 又对集合内的每个，上式都成立， 则， 下证满足题意， 由①可知， 再由（2）可知， 即对集合内的每个，总存在是满足题意的. 综上所述：正整数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025学年临沧地区中学上学期高一9月月考 数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果集合中只有一个元素，则a的值是（ ） A. 0 B. 4 C. 0或4 D. 不能确定 2. 已知集合，，，则集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 3. 已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则（ ） A. {－1} B. {0，1} C. {－1，2，3} D. {－1，0，1，3} 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 若则一定有 A. B. C. D. 7. 若且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法中错误的有（ ） A. 命题：，，则命题的否定是， B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“，”是真命题 D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 10. 定义：如果关于的一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（ ） A. 方程是“和谐方程” B. 若关于的方程是“和谐方程”，则 C. 若关于的方程是“和谐方程”，则的函数图象与轴交点的坐标是和 D. 若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程” 11. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论，其中正确结论的是（ ） A. B. C. 若整数、属于同一“类”，则 D. 若，则整数、属于同一“类” 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是__________． 13. 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人. 14. 已知，，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 16. 设集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 某儿童玩具厂生产的某一款益智玩具去年年销量为2百万件，每件销售价格为20元，成本16元.今年计划投入适当广告费进行促销.预计该款玩具的年销售量百万件与年广告费用百万元满足，现已知每件玩具的销售价为年平均每件玩具所占广告费的与原销售价之和. （1）当投入广告费为2百万元时，要使该玩具的年利润不少于12百万元，求的取值范围； （2）若时，则当投入多少百万元广告费该玩具生产厂获得最大利润. 18. 已知集合，命题：“，”，命题：“，” （1）若命题是真命题，求的取值范围； （2）命题是真命题，求的取值范围． （3）若命题和中有且只有一个是真命题，求的取值范围． 19. 对于四个正数，如果，那么称是的"下位序列" （1）对于，试求的"下位序列"; （2）设均为正数，且是的"下位序列"，试判断：之间的大小关系，并证明你的结论； （3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的"下位序列"，且是的"下位序列"，求正整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $