用导数研究实际应用讲义-2025届高三数学一轮复习

第20讲 用导数研究实际应用 【教学目标】 1．通过复习回顾，体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系． 2．经历从现实情境中抽象概括出相关的数学问题的过程，能利用导数解决与最值有关的问题，体会数学的应用价值，发展数学建模素养． 【教学重点】 利用导数知识解决实际生活中的最优化问题． 【教学难点】 利用导数知识解决实际生活中的最优化问题． 【教学过程】 例1 现有一张半径为2米的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮（如图1中阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）的容器．当圆锥筒容器的深度为多少米时，其容积最大？容积的最大值为多少立方米？（铁皮厚度忽略不计）图1 图2 例2 如图，四边形是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流，其经过的路线是以中点M为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计）.某公司准备投资一个大型矩形游乐园. (1)建立适当的坐标系，求抛物线的方程； (2)求游乐园面积的最大值. 练习 （上海春考）如图所示，正方形ABCD是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为________．（结果精确到0.1） 例3 时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格:（单位：元/套）满足的关系式，其中为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套． （1）求的值； （2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数） 例4 如图，某海滨浴场的岸边可近似地看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行进速度为2米/秒，。 （1）分析救生员的选择是否正确； （2）在AD上找一点C，使救生员从A到B的时间为最短，并求出最短时间. 【课后练习】 1. 用总长cm的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多cm，要使它的容积最大，则容器底面的宽为______10____cm． 2. 如左图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得，四个点重合于右图中的点，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒，若要包装盒容积最大，则的长为__________ 3. 一件铁艺品由边长为1米的正方形及两段圆弧组成，如图所示，分别是以为圆心，半径为1米的四分之一圆弧.若要在铁艺品中焊装一个矩形，使分别在圆弧上，在边上，设矩形的面积为. （1）设，将表示成的函数，并写出函数的定义域； (2)求面积取最大值时对应自变量的值. 4. 如图，某国家森林公园的一区域为人工湖，其中射线、为公园边界.已知，以点为坐标原点，以为轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米）.曲线的轨迹方程为：.计划修一条与湖边相切于点的直路（宽度不计），直路与公园边界交于点、两点，把人工湖围成一片景区. （1）若点坐标为，计算直路的长度；（精确到0.1千米） （2）若为曲线（不含端点）上的任意一点，求景区面积的最小值.（精确到0.1平方千米） 【拓展提升】 5. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下:若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. (1)若曲线与在处的曲率分别为，比较大小； (2)求正弦曲线曲率的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 用导数研究实际应用 【教学目标】 1．通过复习回顾，体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系． 2．经历从现实情境中抽象概括出相关的数学问题的过程，能利用导数解决与最值有关的问题，体会数学的应用价值，发展数学建模素养． 【教学重点】 利用导数知识解决实际生活中的最优化问题． 【教学难点】 利用导数知识解决实际生活中的最优化问题． 【教学过程】 例1 现有一张半径为2米的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮（如图1中阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）的容器．当圆锥筒容器的深度为多少米时，其容积最大？容积的最大值为多少立方米？（铁皮厚度忽略不计）图1 图2 解 由题意知，圆锥的底面半径与高满足，其中，容积 ． 记，求导可得，． 令，得． 当时，，函数严格增；当时，，函数严格减．因此，当时，是极大值，也是最大值． 因此，当容器深度为米时，其容积最大，容积的最大值为立方米． 例2 如图，四边形是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流，其经过的路线是以中点M为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计）.某公司准备投资一个大型矩形游乐园. (1)建立适当的坐标系，求抛物线的方程； (2)求游乐园面积的最大值. 【答案】(1)（没有范围扣一分） (2)， (3)（点的坐标两种设法都行，计算量不同） 【分析】（1）以M点为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为.将代入计算即可； （2）设是曲线上任一点，根据面积公式得到游乐园的面积S. （3）运用导数求最值即可. 【详解】（1）如图，以M点为原点，所在直线为y轴建立平面 直角坐标系，则.设抛物线方程为. ∵点D在抛物线上，，解得， ∴抛物线方程为. （2）设是曲线上任一点，则 ，，∴矩形游乐园面积为 ， （3）求导得，，令，得， 解得或（舍）. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. ∴当时，S有极大值且为最大值， 此时，， ∴游乐园的最大面积为. 练习 （上海春考）如图所示，正方形ABCD是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为________．（结果精确到0.1） 【答案】 【解析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，. 设抛物线的方程为，将代入，解得. 设点的坐标为，则，， 所以矩形的面积， 所以，令，解得，检验可知时，取得极大值（最大值），因而 例3 时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格:（单位：元/套）满足的关系式，其中为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套． （1）求的值； （2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数） 解：（1）将代入关系式可得： （2）思路：依题意可得售出一套，所得利润为元，所以总的利润，其中，利用导数判定的单调性，进而可求得最大值点 解：依题意所获利润 化简可得： 令，即解不等式 解得 在单调递增，在单调递减 在取得最大值，即 例4 如图，某海滨浴场的岸边可近似地看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行进速度为2米/秒，。 （1）分析救生员的选择是否正确； （2）在AD上找一点C，使救生员从A到B的时间为最短，并求出最短时间. 解：（1）思路：所谓“选择是否正确”，是指方案二所用的时间是否比直接游到处时间短，所以考虑分别求出两种方案所用的时间，再进行比较即可。 解：从图形可得：，所以（s） 而，所以（s） ，所以救生员的选择是正确的 （2）思路：要求得时间的最值，考虑创设一个变量 ，并构造出时间关于的函数 ，再求出的最小值即可。不妨设，则，所以时间，再求导求出的最小值即可 解：设，则，设所用时间为 令，即解不等式 ，解得： 在单调递减，在单调递增 （秒） 答：当时，救生员所用的时间最短，为秒 【课后练习】 1. 用总长cm的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多cm，要使它的容积最大，则容器底面的宽为______10____cm． 2. 如左图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得，四个点重合于右图中的点，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒，若要包装盒容积最大，则的长为__________ 【解析】设包装盒的高为，底面边长为， 则. 包装盒的容积，则 当时，，当时，， 所以函数在上严格增，在上严格减，所以当时，取得最大值，此时. 3. 一件铁艺品由边长为1米的正方形及两段圆弧组成，如图所示，分别是以为圆心，半径为1米的四分之一圆弧.若要在铁艺品中焊装一个矩形，使分别在圆弧上，在边上，设矩形的面积为. （1）设，将表示成的函数，并写出函数的定义域； (2)求面积取最大值时对应自变量的值. 【解析】(1)设，依题意，得. 在Rt中，， 故， 显然解得.所以，定义域为. (2)由(1)知，，即.、令， 则 由此可得出如下列表： 0 极大值 所以当时，取最大值，即面积取最大值. 4. 如图，某国家森林公园的一区域为人工湖，其中射线、为公园边界.已知，以点为坐标原点，以为轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米）.曲线的轨迹方程为：.计划修一条与湖边相切于点的直路（宽度不计），直路与公园边界交于点、两点，把人工湖围成一片景区. （1）若点坐标为，计算直路的长度；（精确到0.1千米） （2）若为曲线（不含端点）上的任意一点，求景区面积的最小值.（精确到0.1平方千米） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数与切线的关系求解即可； （2）利用切线方程与导数的关系求出点处的切线方程，从而表示出的面积，再利用导数与单调性和最值的关系即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 所以由点斜式可得，即， 令，解得，令，解得， 所以，所以. 【小问2详解】 设， 则由（1）可知， 所以的直线方程为， 整理得， 令，解得，令，解得， 所以， 设， ， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以. 【拓展提升】 5. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下:若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. (1)若曲线与在处的曲率分别为，比较大小； (2)求正弦曲线曲率的最大值. 【解析】(1)， 所以，所以. (2)，所以， 令，则. 设，则，显然当时，严格减，所以.即最大值为1，所以的最大值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $$