用导数研究函数的最值讲义-2025届高三数学一轮复习

第19讲 用导数研究函数的最值 【教学目标】 1．结合函数图像，从图形直观的角度，通过对驻点处与区间两端点处的函数值进行比较，探究归纳用导数求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值的一般方法，发展数学抽象、直观想象素养． 2．理解驻点函数值与极值、最值的关系． 3．利用导数解决二次函数、一元二次方程和一元二次不等式问题，体会应用导数工具研究函数性质的优越性，发展逻辑推理素养． 【教学重点】 能利用导数求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 【教学难点】 体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系． 【知识梳理】 回忆必修一中学习的函数的最大值、最小值的定义， 函数的最大值与最小值统称为最值． 利用导数研究函数的最值 (1)在闭区间上的连续函数，函数的最大值和最小值一定存在； (2)在导数存在的前提下，对于闭区间上的连续函数，将极值点处的函数值与区间端点处的函数值进行比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值. 【教学过程】 例1 已知函数.当时，求函数的值域. 练习 已知．求： （1）函数的单调区间及极值; （2）函数在区间上的最大值与最小值． 例2 设是实数，若函数在区间上存在最大值，则的取值范围是（ ） A．； B．； C．； D．． 例3 已知函数，讨论函数在的最大值. 【课后练习】 1. 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值； （2）函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值； （3）函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值； （4）函数在某区间上的最大值就是它在区间上的极大值． 2. 设是实数，，若，则函数在区间上的最大值是____________． 3. 函数在区间上的最小值、最大值分别为（ ） A．、； B．、； C．、； D．、． 4. 设，已知，当时，函数有极值，求函数在区间上的最小值． 5. 求函数在区间上的最大值． 6. 已知，求函数，的最大值和最小值． 7. 已知函数，其中为实数. (1)若函数的图像在处的切线与直线平行，求函数的解析式； (2)若，求在上的最大值和最小值. 【拓展提升】 1． 设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2． 设函数是定义在上的函数，若存在，使得在上是严格增函数，在上是严格减函数，则称为上的单峰函数，称为峰点，称为含峰区间. (1)判断：下列函数中，哪些是“上的单峰函数”?若是，指出峰点；若不是，是说出原因:； (2)若函数是区间上的单峰函数，证明:若存在，使得，则为含峰区间；使得，则为含峰区间； (3)若函数是区间上的单峰函数，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 用导数研究函数的最值 【教学目标】 1．结合函数图像，从图形直观的角度，通过对驻点处与区间两端点处的函数值进行比较，探究归纳用导数求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值的一般方法，发展数学抽象、直观想象素养． 2．理解驻点函数值与极值、最值的关系． 3．利用导数解决二次函数、一元二次方程和一元二次不等式问题，体会应用导数工具研究函数性质的优越性，发展逻辑推理素养． 【教学重点】 能利用导数求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 【教学难点】 体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系． 【知识梳理】 回忆必修一中学习的函数的最大值、最小值的定义， 函数的最大值与最小值统称为最值． 利用导数研究函数的最值 (1)在闭区间上的连续函数，函数的最大值和最小值一定存在； (2)在导数存在的前提下，对于闭区间上的连续函数，将极值点处的函数值与区间端点处的函数值进行比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值. 【教学过程】 例1 已知函数.当时，求函数的值域. 【解析】. 令，得或；令，得. 当时，严格增；当时，严格减； 当时，严格增；所以当时，函数取得极大值； 当时，函数取得极小值. 又， 则，所以当时，函数的值域为. 练习 已知．求： （1）函数的单调区间及极值; （2）函数在区间上的最大值与最小值． 解 （1）函数的定义域为，求导可得． 容易算出，当时，，当时，，当时，．因此，函数的单调增区间为及，单调减区间为． 因此，函数在处取得极大值，在处取得极小值． （2）由（1）可知，函数的两个驻点是，． 比较，，，． 可知函数在区间上的最大值是，最小值是． 例2 设是实数，若函数在区间上存在最大值，则的取值范围是（ ） A．； B．； C．； D．． 【解析】，于是， 该函数在上严格减，在上严格增，在上严格减． 故若函数在开区间上有最大值，该最大值一定是极大值，于是有且，即：且，解得．故选A． 例3 已知函数，讨论函数在的最大值. 【课后练习】 1. 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值； （2）函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值； （3）函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值； （4）函数在某区间上的最大值就是它在区间上的极大值． 2. 设是实数，，若，则函数在区间上的最大值是____________． 由，于是， 由，可知是的一个根，求出，注意到另一根为正，于是函数在闭区间上的最大值仅可能在或者取到．比较与，可知函数在上的最大值是． 3. 函数在区间上的最小值、最大值分别为（ ） A．、； B．、； C．、； D．、． 可得，函数在闭区间上的驻点为，．由于最值只能在极值点或边界取到，而极值点一定是驻点．于是计算，，，． 比较可知，最小值为，最大值为，故选D． 4. 设，已知，当时，函数有极值，求函数在区间上的最小值． 记，求导可得． 当时，函数有极值，于是由，解得． 此时，函数，，令，得该函数的两个驻点为，． 比较，，以及，可知函数在区间上的最小值为． 5. 求函数在区间上的最大值． 因为对任意的，，所以函数在区间上严格增，当时，函数取得最大值． 6. 已知，求函数，的最大值和最小值． 求导，得． 令，解得或，故函数，的驻点为，，． 比较，，，，，可知函数，的最大值为，最小值为． 7. 已知函数，其中为实数. (1)若函数的图像在处的切线与直线平行，求函数的解析式； (2)若，求在上的最大值和最小值. 【解析】解:(1)， 由题意，得，解得.. （2），则，解得， 当时，解得，即函数在上严格减； 当时，解得或，即函数分别在上严格增. 【拓展提升】 1． 设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设，则，由，可得； 由，可得或， 故函数的单调增区间为、，单调减区间为， 且，如下图所示: 函数经过，要使存在唯一的正整数，使得，即有唯一正整数解，所以只要并且 故选A. 2． 设函数是定义在上的函数，若存在，使得在上是严格增函数，在上是严格减函数，则称为上的单峰函数，称为峰点，称为含峰区间. (1)判断：下列函数中，哪些是“上的单峰函数”?若是，指出峰点；若不是，是说出原因:； (2)若函数是区间上的单峰函数，证明:若存在，使得，则为含峰区间；使得，则为含峰区间； (3)若函数是区间上的单峰函数，求实数的取值范围. 【解析】(1)， 当时，，在上不是单峰函数.当时，.在上是严格增函数；当时，.在上是严格减函数，而，故在上是单峰函数，峰点为. （2）函数是区间上的单峰函数，存在，使得在上是严格增函数，在上是严格减函数.又存在，使得.即为含峰区间. 又存在，使得，，即为含峰区间. (3)是区间上的单峰函数， 存在，使得在上是严格增函数，在上是严格减函数.在上大于零，在上小于零. 若，则，故不存在，使得在上大于零，在上小于零；若，则在，严格增，故不存在，使得在上大于零，在上小于零，实数的取值范围为空集. 学科网（北京）股份有限公司 $$