用导数研究函数的极值讲义-2025届高三数学一轮复习

第18讲 用导数研究函数的极值 【教学目标】 1．借助函数的图像，知道极值和极值点的概念． 2．结合导数判断函数单调性的定理，从具体、直观的角度了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件（定理），发展数学抽象、直观想象素养． 3．能利用导数求某些函数的极值，发展数学运算、逻辑推理素养． 【教学重点】 利用导数求某些函数的极大值、极小值． 【教学难点】 利用导数求某些函数的极大值、极小值． 【知识梳理】 利用导数研究函数的极值 (1)极大值与极小值:在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都不大于，则称在处取得极大值，点称为函数的极大值点；在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都不小于，则称在处取得极小值，点称为函数的极小值点； (2)定理:设是函数的驻点. ①若在点的左侧附近有，而在的右侧附近有，则函数在处取得极大值； ②若在点的左侧附近有，而在的右侧附近有，则函数在处取得极小值. 【教学过程】 例1 已知函数.若图像上的点处的切线斜率为. (1)求的值；(2)求的极值. 例 2 已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列所有真命题的序号为__________． ① 在区间上严格增； ② 是的极小值点； ③ 在区间上严格增，在区间上严格减； ④ 是的极小值点． 练习 函数的导函数的图像如图所示，给出下列命题: (1) 是函数的极值点； (2)-1是函数的最小值点； (3)在区间上严格增； (4)在处切线的斜率小于零. 以上正确命题的序号是____________. 例3 已知函数既存在极大值又存在极小值，求实数的取值范围. 练习 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围为__________. 【课后练习】 1. 已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 已知函数的导函数图像如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．是极大值点 C．在区间内一定有个极值点 D．的图像在点处的切线斜率等于 3. 函数在处有极小值，则的值等于 . 4. 已知函数在处有极值，则= . 5. 若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是 . A． B． C． D． 6. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . A． B． C． D． 7. 设函数的图像与直线在原点相切，若函数的极小值为，求函数的表达式与单调减区间． 8. 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时， （ⅰ）求的极值； （ⅱ）若的极小值小于0，求的取值范围． 【拓展提升】 1． 设、是实数，，若为函数的极大值点，则（ ） A．； B．； C．； D．． 2． 设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ） A．对任意，； B．是的极小值点； C．是的极小值点； D．是的极小值点． 3． 已知，则下列说法正确的是（ ） A．函数有三个极值点； B．函数有三个零点； C．点是曲线的对称中心； D．直线是曲线的切线． 4． 设、是实数，，若，函数的导数为，且和的零点均属于集合，求函数的极小值． 5． 已知，函数在区间上存在极值，求的取值范围及该极值点，并指明该点是极大值点还是极小值点． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 用导数研究函数的极值 【教学目标】 1．借助函数的图像，知道极值和极值点的概念． 2．结合导数判断函数单调性的定理，从具体、直观的角度了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件（定理），发展数学抽象、直观想象素养． 3．能利用导数求某些函数的极值，发展数学运算、逻辑推理素养． 【教学重点】 利用导数求某些函数的极大值、极小值． 【教学难点】 利用导数求某些函数的极大值、极小值． 【知识梳理】 利用导数研究函数的极值 (1)极大值与极小值:在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都不大于，则称在处取得极大值，点称为函数的极大值点；在附近存在一个小区间，该区间内其他自变量所对应的函数值都不小于，则称在处取得极小值，点称为函数的极小值点； (2)定理:设是函数的驻点. ①若在点的左侧附近有，而在的右侧附近有，则函数在处取得极大值； ②若在点的左侧附近有，而在的右侧附近有，则函数在处取得极小值. 【教学过程】 例1 已知函数.若图像上的点处的切线斜率为. (1)求的值；(2)求的极值. 【解析】(1)， 图像上的点处的切线斜率为， (2)由(1)得， 令，得.或， 列表如下： -1 3 0 0 极大值 极小值 的极大值为，极小值为. 例 2 已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列所有真命题的序号为____②③______． ① 在区间上严格增； ② 是的极小值点； ③ 在区间上严格增，在区间上严格减； ④ 是的极小值点． 练习 函数的导函数的图像如图所示，给出下列命题: (1) 是函数的极值点； (2)-1是函数的最小值点； (3)在区间上严格增； (4)在处切线的斜率小于零. 以上正确命题的序号是____________.【答案】(1)(3) 【解析】根据导函数图像，可知当时，，在时，函数在上严格减，在上严格增，故(3)正确；则是函数的极小值点，故(1)正确；函数在上严格增，不是函数的最小值点，故(2)不正确；函数在处的导数大于0，切线的斜率大于零，故(4)不正确.故答案为(1)(3). 例3 已知函数既存在极大值又存在极小值，求实数的取值范围. 【解析】既存在极大值又存在极小值，方程在区间，上有两个不相等的实数根， 设为，列表如下： 0 0 从而，只需要解得. 练习 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围为__________. 【答案】(-4，-2) 【解析】函数在区间(1，2)上有极值点，所以在区间上有变号零点.所以，即，解得.故答案为. 【课后练习】 1. 已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（  B    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据极值点定义或举例判断和为函数的极值点之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】根据极值点的定义，是函数的一个极值点可得， 但是时，不一定是函数的一个极值点， 比如，，满足，但在R上单调递增， 即不是函数的极值点， 故“”是“是函数的一个极值点”的必要不充分条件， 故选：B 2. 已知函数的导函数图像如图所示，则下列说法正确的是（ C  ） A． B．是极大值点 C．在区间内一定有个极值点 D．的图像在点处的切线斜率等于 3. 函数在处有极小值，则的值等于 0 . 4. 已知函数在处有极值，则= . 【解析】记，求导可得． 由于该函数在处有极值，于是有即解得 因此． 5. 若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是 . A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数极值点与导数零点的关系，结合零点存在定理列出不等式组即可求解. 【详解】已知，由题意知在内有变号零点， 显然在单调递增， 故原条件等价于，解得， 故实数a的取值范围是. 故选：C. 6. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数进行求导得，则方程在时有两个根，利用导数研究函数的值域，即可得 【详解】因为，得， 所以在时有两个变号根， 令， 当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减，且， 当时，；当时，， 所以与，所以，   7. 设函数的图像与直线在原点相切，若函数的极小值为，求函数的表达式与单调减区间． 【解析】记，求导，得． 由函数图像与直线相切于坐标原点，可得，，解得，． 令，解得两个驻点，． 依题意可得，解得． 因此所求函数的表达式为，此时． 当时，，故该函数单调减区间为． 8. 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时， （ⅰ）求的极值； （ⅱ）若的极小值小于0，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）极小值，无极大值；（ⅱ） 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）（ⅰ）求导，利用导数判断单调性进而求出极值； （ⅱ）分析可得，构造函数，，解法一利用导数判断函数的单调性，解法二根据，在内均单调递增得到函数的单调性，再根据求解即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即； （2）（ⅰ）因为的定义域为，且， 令，解得； 当时，；当时，； 所以在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值； （ⅱ）由题意可得：， 因为，所以， 构建，， 因为，所以在内单调递增， 因为，不等式等价于，解得， 所以的取值范围为. 解法二： 由题意可得：，即， 构建，， 因为，在内均单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以的取值范围为. 【拓展提升】 1． 设、是实数，，若为函数的极大值点，则（ D ） A．； B．； C．； D．． 2． 设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ D ） A．对任意，； B．是的极小值点； C．是的极小值点； D．是的极小值点． 3． 已知，则下列说法正确的是（ C ） A．函数有三个极值点； B．函数有三个零点； C．点是曲线的对称中心； D．直线是曲线的切线． 4． 设、是实数，，若，函数的导数为，且和的零点均属于集合，求函数的极小值． 【解析】求导得到． 令，且，得或． 由，，都属于集合，只有当，时，，其余情况均不成立． 此时，函数的驻点为，．列表如下： 1 + – + 极大值 极小值 因此函数的极小值为． 5． 已知，函数在区间上存在极值，求的取值范围及该极值点，并指明该点是极大值点还是极小值点． 【解析】令，求导，得 ． 由题意，关于的方程在区间上有解，令，即方程在区间上有解． 由方程的判别式，得该方程有两根，不妨设为、（），又，故，． 设，结合二次函数的图像，得，解得．此时． 当时，由及，得． 当即时，，严格减；当即时，，严格增． 因此，函数在处取到极大值． 综上，的取值范围是，是该函数的极大值点． 学科网（北京）股份有限公司 $$