用导数研究函数的单调性讲义-2025届高三数学一轮复习

第17讲 用导数研究函数的单调性 【教学目标】 1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养． 2．能利用导数研究函数的单调性，发展数学运算、逻辑推理素养． 3．借助对函数图像的观察以及运用导数判断函数值增长速度的快慢，体会导数在描述函数局部特征时的量化作用，初步感受数学从定性到定量的基本研究思路． 【教学重点】 教学重点：运用导数判断函数的单调性． 【教学难点】 学习难点：理解函数的单调性与导数之间的关系． 【知识梳理】 利用导数研究函数的单调性 1. 定理：在区间上，若，则函数在该区间严格增； 在区间上，若，则函数在该区间严格减. 已知函数的单调性求参数的取值范围 2.定理：若函数在区间上严格增，则对恒成立 若函数在区间上严格减，则对恒成立 【教学过程】 例1 （1）求函数的单调减区间． 【解析】对函数求导，得．令，解得，，故此函数有两个驻点．当或时，，函数严格减．因此，函数的单调减区间为及． （2）函数的严格单调减区间为 和 . （3）求函数的单调区间． 【解析】该函数定义域为．对函数求导，得．令，解得，故此函数有一个驻点．当或时，，函数严格减；当时，，函数严格增． 因此，函数的单调减区间为及，单调增区间为． 例2 右图为函数的导函数的图像，那么函数的图像可能为（ A ） A． B. C． D． 练习 已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（ B ） A． B． C． D． 例3 已知函数，讨论的单调性. 【解析】，.当时，，函数在上严格增；当时，当时，，当时，，在上严格增，在上严格减. 综上，当时，在上严格增；当时，在上严格增，在上严格减. 练习 已知函数，求的单调区间; 【分析】求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性； 【详解】由，， 得. 令，解得. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. 思考：若去掉a>0这个条件呢？ 例4 已知函数.若函数在区间内严格减，求的取值范围. 【解析】. ①当时，恒成立，在上严格增； ②当时，令，得；令，得，所以的单调增区间为及，单调减区间为； ③当时，令，得；令，得， 所以的单调增区间为及，单调减区间为； 当时，，所以，解得，即的取值范围为. 例5☆ 若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】求导得，转化为在上有解，最后分离参数即可. 【详解】函数，则 ， 因为在上存在单调递增区间，所以在上有解， 所以当时，有解， 令，而当时，令 ， 即为， 此时(此时)，所以， 故答案为：. 例6☆ 若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的导函数，分析单调性求解实数的取值范围即可. 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 若函数在上不单调，即，，可得， 所以实数的取值范围是. 【课后练习】 1. 函数的单调增区间是__________. 【答案】【解析】，且，由，解得或.当时，严格增；故答案为. 2. 函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（   ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】B 【分析】由函数的导数符号与函数单调性的关系即可得解. 【详解】若要，则由图可知，， 故的单调增区间为，. 3. 已知定义在区间上的奇函数的导函数是，当时，的图像如图所示，则关于的不等式的解集为____． 4. 若函数既有单调增区间，又有单调减区间，则实数的取值范围是______________． 5. 已知函数的单调减区间为，若，则的最大值为_____6_____. 【答案】6【解析】由，可得. 令，解得，即函数的单调减区间为，即的最大值为6. 6. 函数在区间上不单调，则实数 k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据导数的几何意义及导函数的符号与函数的单调性的关系，把问题转化为二次函数的零点分布问题求解. 【详解】函数求导， 因为在区间上不单调，所以在区间内有零点. 又因为为偶函数，所以在上最多只有1个根. ，因为，， 所以. 7. 设，记，试根据的不同取值，讨论函数的单调性． 【解析】函数的定义域为，对函数求导，得． ①当时，，函数严格增． ②当时，令，解得，函数有唯一驻点． 其中，当时，，函数严格减；当时，，函数严格增． 因此，当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调减区间为，单调增区间为． 8. 已知，． （1）若是函数的驻点，求的值； （2）当时，求函数的单调区间． 【解析】（1）对函数求导，得，根据驻点定义，，解得． （2）由（1）知，．令，得，． ① 当，即时，函数的单调增区间为和，单调减区间为． ② 当，即时，函数的单调增区间为和，单调减区间为． ③ 当，即时，驻点两侧导数值均大于0，函数只有单调增区间． 9. 已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数进行求导，参数进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系即得；（2）由题可得函数在上为增函数，在上恒成立，再利用导数求函数的最值即可. 【详解】（1）由题意得，， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得， ，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增， （2）因为函数在上为增函数， 所以，在上恒成立． 即在上恒成立． 令，当时，， 所以，在上单调递增，． 所以，，解得， 所以，实数的取值范围为． 【拓展提升】 1． 已知函数的定义域为，其导函数为，满足，则不等式的解集为__________. 【答案】【解析】依题意，令，因为，则，即函数在上严格增，又，则，所以不等式，则有，解得.所以不等式的解集为.故答案为. 2． 已知，若对于任意的，都有，则实数的最小值为__________. 【答案】-10【解析】由，知在上严格减， 设，令，所以，则在上严格减，故.所以. 由千，则. 所以，得.故答案为. 3． 设，，其中，、．若对任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且记所有的“控制函数”在（）处的最小值为． （1）若，，问：函数是否为函数的“控制函数”？请说明理由； （2）若，且直线是曲线在点处的切线，证明：函数是函数的“控制函数”，并求的值． 【解析】（1）因为对任意的成立，所以函数是函数的“控制函数”． （2）由题意，，求导，得，故，又，因此曲线在点处的切线方程为，即，亦即． 因为对任意的成立，所以函数是函数的“控制函数”． 因为且，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 用导数研究函数的单调性 【教学目标】 1．结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养． 2．能利用导数研究函数的单调性，发展数学运算、逻辑推理素养． 3．借助对函数图像的观察以及运用导数判断函数值增长速度的快慢，体会导数在描述函数局部特征时的量化作用，初步感受数学从定性到定量的基本研究思路． 【教学重点】 教学重点：运用导数判断函数的单调性． 【教学难点】 学习难点：理解函数的单调性与导数之间的关系． 【知识梳理】 利用导数研究函数的单调性 1. 定理：在区间上，若，则函数在该区间严格增； 在区间上，若，则函数在该区间严格减. 已知函数的单调性求参数的取值范围 2.定理：若函数在区间上严格增，则对恒成立 若函数在区间上严格减，则对恒成立 【教学过程】 例1 （1）求函数的单调减区间． （2）函数的严格单调减区间为 . （3）求函数的单调区间． 例2 右图为函数的导函数的图像，那么函数的图像可能为（ ） A． B. C． D． 练习 已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（ ） A． B． C． D． 例3 已知函数，讨论的单调性. 练习 已知函数，求的单调区间; 思考：若去掉a>0这个条件呢？ 例4 已知函数.若函数在区间内严格减，求的取值范围. 例5☆ 若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 例6☆ 若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【课后练习】 1. 函数的单调增区间是________. 2. 函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（   ） A．， B．， C．， D．，， 3. 已知定义在区间上的奇函数的导函数是，当时，的图像如图所示，则关于的不等式的解集为____． 4. 若函数既有单调增区间，又有单调减区间，则实数的取值范围是__ _______． 5. 已知函数的单调减区间为，若，则的最大值为_________. 6. 函数在区间上不单调，则实数 k的取值范围是 . 7. 设，记，试根据的不同取值，讨论函数的单调性． 8. 已知，． （1）若是函数的驻点，求的值； （2）当时，求函数的单调区间． 9. 已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围． 【拓展提升】 1． 已知函数的定义域为，其导函数为，满足，则不等式的解集为__________. 2． 已知，若对于任意的，都有，则实数的最小值为__________. 3． 设，，其中，、．若对任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且记所有的“控制函数”在（）处的最小值为． （1）若，，问：函数是否为函数的“控制函数”？请说明理由； （2）若，且直线是曲线在点处的切线，证明：函数是函数的“控制函数”，并求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$