专题18几何证明压轴题 2024-2025学年九年级中考复习数学试题（重庆专用）

专题18 几何证明压轴题（解析版） （2大类型精选40题） 1．如图，在等边中，、分别为、上动点，满足． (1)如图1，连接，过作于点，交于点，若，，求的长； (2)如图2，连接，P为中点，连接，G为边上一点，连接交于点F，F恰为中点，将绕点G逆时针旋转到，连接，．求证：； (3)如图3，点M是平面内直线上方一点，，Q为直线右方一动点，满足，，连接，N为上一点，连接、，当取得最大值时，请直接写出当为直角三角形时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)2或 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）作于，由正切的定义可得，由等边三角形的性质可得，，从而得出，设，则，，求出，，从而可得，，由等边三角形的性质可得，结合勾股定理得出，求出，解直角三角形得出，即可得解； （2）作于，由等边三角形的性质可得，，，，得出，由平行线分线段成比例定理可得，从而可得，，，，，由旋转的性质可得，，得出，结合，，得出，由相似三角形的性质可得，，，求出，延长交于，连接，证明，得出，从而可得为等边三角形，，由等边三角形的性质可得，最后由勾股定理计算即可得解； （3）延长，得到射线，延长至，使得，连接、， 由等边三角形的性质可得，，求出，由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，从而求出，求出，由题意可得，证明，得出，，，求出，结合三角形内角和定理得出，从而可得，当、、在同一直线上时，最大，此时最大，再分两种情况：当时，作交的延长线于；当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，作于， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴； （2）证明：如图，作于， ∵为等边三角形，P为中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵F恰为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 延长交于，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴； （3）解：如图，延长，得到射线，延长至，使得，连接、， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵点M是平面内直线上方一点，， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当、、在同一直线上时，最大，此时最大， ∵为直角三角形， ∴当时，作交的延长线于， 由角平分线的性质定理可得， 设， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2．如图，在中，，，点是外一点，连接交于点，过点作于点，交于点，连接交于点． (1)如图1，若，，求线段的长度； (2)如图2，连接，．若，，求证：； (3)如图3，连接，点是直线上一动点．若，将线段绕着点逆时针旋转得，当的长度取最小值时，将沿直线翻折得，当的长度取最大值时，直接写出的值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据题意设，则，，先证垂直平分，得，，得，再结合三角形内角和定理求得，进而可得，再解直角三角形即可求解； （2）证明：过点作交于点，交于点，过点作交于点，先证垂直平分，得，再证，得，然后证明，可得，进而可得，可知，即可证得，最后证得，可知，，由此可得； （3）设，则，，过点作交于，交于，先证，得，再证，，得，过点作交于，则，得，过点作交于，证得，可知，进而可知，点在与点距离，且垂直于线段的直线上，当垂直于该直线时的长度取得最小值，此时，则，由翻折可知，，则，当点在上时取等号，可得的最大值为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴设，则，， ∵，，则垂直平分， ∴，， ∴， ∴． ∵，且， ∴， 在中，， 即：，解得：， ∴， 在中，， ∵， ∴； （2）证明：过点作交于点，交于点，过点作交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴，则垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴，， ∴； （3）设，则，， 过点作交于，交于， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，则， ∴，， ∴， 过点作交于，则， ∴， 由旋转可知，，，则 ∴， 过点作交于，则， ∴， ∴， ∴点在与点距离，且垂直于线段的直线上，当垂直于该直线时的长度取得最小值，此时，则， 由翻折可知，， 则，当点在上时取等号， 即：的最大值为， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定及性质，图形的翻折与旋转，添加辅助构造全等，得到动点的轨迹是解决问题的关键． 3．在等边中，于点D，点E是线段上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转到，连接． (1)如图1，，，求的面积： (2)如图2，以为边在右侧作等边，延长交的延长线于点H．若，求证：； (3)如图3，，点K为平面内一动点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接．点M是线段的中点，以点M为直角顶点，为直角边，在上方作，，连接，当线段取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过点E作于点G，根据等边三角形的性质得到，求出，即可求出，根据旋转的性质易得，证明，推出，由正切的定义求出，得到，利用勾股定理求出，即可求出的面积； （2）连接，过点G作于点P，根据结合，求出，同理（1）可得，得到，由等边三角形的性质得到，进而得到，易证，得到，求出，证明是等边三角形，得到，根据等边三角形的性质证明，得到，，再求出，易证，得到，得到，即可证明结论； （3）在上取点，使得，连接，由翻折的性质得到为定值，即可得到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，由，求出，再证明是的中位线，得到，推出到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，证明，即可得到点在以为圆心，长为半径的圆上运动，利用相似三角形的性质求出，结合图形得到当三点共线，且点O在线段上时，线段取最大值，此时最大值为，过点N作于点T，根据垂直平分线的性质，求出，进而求出，即可求出此时的面积． 【详解】（1）解：过点E作于点G， ∵等边中，于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）证明：连接，过点G作于点P， ∵，， ∴， ∴， 同理（1）可得， ∴， ∵等边中，于点D， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取点，使得，连接， 由翻折的性质得到为定值， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∵， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴点在以为圆心，长为半径的圆上运动， ∴， ∴， 当三点共线，且点O在线段上时，线段取最大值， 此时最大值为， 过点N作于点T， 由（2）知垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴此时的面积为． 【点睛】本题考查旋转和对称的几何变换，涉及等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握瓜豆原理是解题的关键． 4．在中，，，过点作． (1)如图1，若点在点的左侧，连接，过点作交于点．若点是的中点，求证：； (2)如图2，若点在点的右侧，连接，点是的中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，平分交于点，求证：； (3)若点在点的右侧，连接，点是的中点，且．点是直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接，．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】（1）证明得到，再由点是的中点，得到，即可证明； （2）如图所示，过点G作于H，连接，先证明，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到；由直角三角形斜边上的中线的性质可得，则，进而可证明，则；设，则，可得由角平分线的定义可得，则可证明，进而证明，得到，即可证明； （3）如图所示，过点D作交延长线与H，连接，则四边形是矩形，可得，证明是等边三角形，得到，进而得到，；由旋转的性质可得，证明，得到，则点Q在直线上运动，设直线交于K，则，可得，由垂线段最短可知，当时，有最小值，则，设，则，则，；再求出，则，，由勾股定理得；由全等三角形的性质可得，则；由折叠的性质可得，由，得到当点Q在线段上时，此时有最大值，最大值为，据此代值计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点G作于H，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图所示，过点D作交延长线与H，连接， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在直线上运动， 设直线交于K，则， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴当点Q在线段上时，此时有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰直角三角的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，垂线段最短，矩形的性质与判定等等，解（2）的关键在于作出辅助线证明，得到；解（3）的关键在于通过手拉手模型证明点Q的运动轨迹是直线，从而根据垂线段最短确定点Q的位置． 5．如图，在中，，，点是平面内一点，连接，以为斜边在的逆时针方向构造等腰直角三角形． (1)如图1，恰好落在边上时，连接交于，若，，求线段的长； (2)将绕点A旋转到如图2所示位置，连接，在右侧作，交线段于点，求证：； (3)在（2）的条件下，延长到点，使，连接，若，，将绕点A旋转一周，直接写出当取最大值时的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、点与圆上一点的最值问题 【分析】（1）由勾股定理可得，进而得到，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理可得，进而得到、,再证明并运用相似三角形的性质可得，最后根据勾股定理求解即可； （2）过点作，延长交于点，连接，证明，即可得证； （3）连接，取的中点，连接，过点作于点，由（2）可得，根据中位线的性质可得，则在以为圆心，为半径的圆上运动，当在的延长线上时取得最大值，进而解三角形，得出，最后根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴, ∴， ∵腰直角三角形， ∴,, ∴，即，解得：, ∴，, ∵，, ∴, ∴,即, ∴,解得：, ∴. （2）解：如图所示，过点作，延长交于点，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ （3）解：如图所示，连接，取的中点，连接，过点作于点 由（2）可得 ∴ ∵，， ∴，则， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当在的延长线上时取得最大值， 在中， ∵，则， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的 性质与判定，相似三角形的性质与判定，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，中位线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接． (1)如图1，，，若，求的度数； (2)如图2，，，过点D作交于点F，若，求证：； (3)如图3，，延长交的延长线于点F，交于点G，点D是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，连接，若，当线段取得最大值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、点与圆上一点的最值问题 【分析】（1）先求出，进而证明是等边三角形，再证明，进一步证明，得到，利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案； （2）在上截取，连接交于点N，证明，得到，再证明，得到，进而证明，得到由，即可证明； （3）如图所示，在上取一点T，使得，连接，先证明是等边三角形，得到，进而证明，得到，设，则，；证明，得到；设，则，，，，；如图所示，过点F作分别交延长线于S、K，证明，是等边三角形，得到，，则，，证明，得到，推出，则，；如图所示，取中点R，连接，由折叠的性质可得，证明是的中位线，得到，则点M在以R为圆心，为半径的圆上运动，故当A、M、R三点共线，且R在上时，有最大值，如图所示，过点A作于V，则，进而得到，，由勾股定理得，则，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中，      ∴． ∴， 又∵， ∴； （2）证明：在上截取，连接交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，      ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ； ∴， ∴， 又∵∠， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图所示，在上取一点T，使得，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点F作分别交延长线于S、K， ∴， 又∵， ∴，是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 如图所示，取中点R，连接， 由折叠的性质可得， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点M在以R为圆心，为半径的圆上运动， ∴当A、M、R三点共线，且R在上时，有最大值， 如图所示，过点A作于V， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题综合性强，主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，一点到圆上一点距离的最值问题，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，推出是解题的关键． 7．在等边中，，垂足为D，点E是线段上一点，连接，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点G． (1)如图1，若的延长线恰好过点B，且，求的长度； (2)如图2，在上取一点H，使，在的延长线上取一点K，连接，且满足，求证：； (3)如图3，，点M为平面内任意一点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，点T是线段中点，将线段绕点T逆时针旋转到，点P为线段中点，连接，直线与直线交于点Q，当取最大值时，请直接写出此时的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据等边三角形，旋转的性质得到，，如图，过点作，交于，则，根据含30度角的直角三角形的性质得到，由此即可求解； （2）如图，过点作交延长线于，连接，可证，再根据含30度角的直角三角形的性质得到，，由此即可求解； （3）由题意可知，由翻折可知，连接，如图①，由旋转可知，，在上取，连接，则，可证，则，，连接，得，则，当点在的延长线时取等号，如图②，过点作交于，此时有最大值，则，再证，则，即，由勾股定理得到，，则，所以，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，即垂直平分， ∴，则， 由旋转可知， ∴，则， ∴， ∴， 如图，过点作，交于，则， ∴，则， ∵， ∴，， ∴； （2）证明：由（1）可知，，，， 如图，过点作交延长线于，连接， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，，则， ∴， ∵， ∴； （3）解：由题意可知， ∵， ∴， 由翻折可知， 连接，如图①， ∵点是线段中点， ∴为的中位线，则， 由旋转可知，， ∴，， 在上取，连接，则，，，， ∴， ∴，则， ∴， 连接， ∵点为线段中点， ∴，则， 由三角形三边可知， 当点在的延长线时取等号，如图②，过点作交于，此时有最大值，则， ∵， ∴， ∴，则，即， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转、折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，线段最值的计算方法，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 8．如图，在三角形中，，，为上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，若点在边上，延长交于点，，，求的长； (2)如图2，若点在延长线上，延长交于点，交于点，求证：； (3)若点在边上，为边上一点，，为上方一点，，，连接，为上一点，，当取得最大值时，将线段绕点旋转得到线段，连接，线段绕点逆时针方向旋转得到线段，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，先在含的中和等腰直角中，利用勾股定理列式求出；证明是等腰直角三角形，在含的中和等腰直角中，利用勾股定理列式求出，即可求解； （2）过点作交延长线于点，在上取点，连接，使，过点作于点，可证明，证，再结合，可证，再证明，得，再利用线段的和差即可证明； （3）利用是固定大小的等腰三角形，则可以固定，进行变动，由，，利用定角定弦可以构造点的轨迹圆，利用两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最大，最大值为，通过计算求出，，利用将线段绕点旋转得到线段，得出点的轨迹为以点为圆心，长为半径的，由线段绕点逆时针方向旋转得到线段，则点的轨迹为点逆时针方向旋转得到的，可得，由圆外一点到圆上一点的最大距离，可得当，，依次共线时最大，再进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 则，， ∴， 解得：， ∴； （2）解：过点作交延长线于点，在上取点，连接，使，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即 ； （3）解：∵，，， ∴是固定大小的等腰三角形， ∴可以固定，进行变动， ∵，， ∴构造的外接圆，连接，，如图， ∴，， ∴是等边三角形，且， ∴是固定圆， ∴点的轨迹为点为圆心，半径为的圆， 利用两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最大，此时如图，最大值为， 设交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵将线段绕点旋转得到线段， ∴点的轨迹为以点为圆心，长为半径的， ∵线段绕点逆时针方向旋转得到线段， ∴点的轨迹为绕点逆时针方向旋转得到的，如图， ∴， ∴， ∵， ∴点为定点， 由圆外一点到圆上一点的最大距离，可得当，，依次共线时最大，此时如图， ∵，, ∴, ∴最大值． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，圆的定义及圆周角定理，勾股定理，二次根式，熟练掌握这些性质与判定，并掌握轨迹圆和主动从动圆是解题的关键． 9．在中，，以为边向右作等边． (1)如图1，若，，求四边形的面积； (2)如图2，连接，取的中点，连接、，求证：； (3)如图3，点为中点，连接，将沿翻折，得，连接，当取得最大值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查三角形的综合，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，中位线，熟练掌握性质和定理，并根据题意正确作出辅助线，掌握轨迹圆和主动从动点模型是解题的关键． （1）过点作交点，过点作交点，在中，利用勾股定理和含直角三角形的性质求出和，再在中利用勾股定理求出，再中求出和，分别计算和面积即可； （2）过点作，交的延长线于点，延长至点，使，连接，过点作于点，过点作于点，先证，再证，再证四边形为矩形，通过证明，，，结合即可证明； （3）先利用“定弦定角模型”确定点轨迹，再利用“主动从动点模型”确定点轨迹，则易得当、、共线时，取得最大值，最大值为；设等边边长为，当最大时，连接交于点，连接交于点，过点作于点，过点作于点，设与交于点，在和中求解，，，，则可求出，利用勾股定理求出，则可求出，在和中，利用勾股定理列式求出，则可求，则知，再利用，求出，，即可求，由勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作交点，过点作交点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴四边形的面积为； （2）解：过点作，交的延长线于点，延长至点，使，连接，过点作于点，过点作于点， ∵为中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设等边位置固定，且边长为， 如图，构造的外接圆，圆心为点， 则， 又∵， ∴为等边三角形， ∴点位置固定，， ∴是以为边长的固定圆， 则点的轨迹为固定在左侧的弧， 取中点，连接，， 又∵为中点， ∴，是固定值， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在左侧的弧， 由两点之间线段最短，知，且当、、共线时，取得最大值，最大值为； 当最大时，如图，连接交于点，连接交于点，过点作于点，过点作于点，设与交于点， 由， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中，由勾股定理得， 即， 解得：， ∴， 由翻折得， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：，， ∴， ∴， ∴． 10．已知如图，在中，，点是上一点，； (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，若，，，连接，若点是的中点，连接，求证：； (3)如图3，若，，点P是直线上一点，点A关于的对称点是，连接，，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据勾股定理求得和，进而得出结果； （2）延长，交的延长线于G，可证得，从而，进而证得，从而得出； （3）作等腰三角形，使，连接，可证得，从而得出，从而，当共线时，最大，作于X，依次求得，进而求得，四边形的面积，进一步得出结果． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）证明：如图，延长交的延长线于 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵F是的中点 ∴ 在中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中 ∴ ∴ ∴ （3）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴，， ∵点关于的对称点 ∴ 作等腰三角形使，，连接 ∴， ∴ 在中 ∴ ∴ ∴ ∴当共线时，最大 如图4 作， ∴， 在中， 在中， 在中， ∵ ∴ ， ∴ 【点睛】本题考查了解直角三角形与几何综合，涉及等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 11．在中，对角线、相交于点O，于点M，在线段上截取一点N，使得，连接． (1)如图1，若，，，求线段的长度； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，平行四边形的周长为36，在平行四边形内部存在一点Q，线段存在一点P，连接，，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形的性质证明、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由，可知四边形是菱形，得，设，则，在中，，列出方程进而可求解得，，再由勾股定理即可求解； （2）由题意得，由平行四边形的性质可知，，，由，可知，可证得，进而可证，得，，则，过点作垂直，交延长线于，则，可知，利用勾股定理得，再证，进而可证得，即可得． （3）设，，由平行四边形的性质可知，将绕点顺时针旋转得，过点作，交于，可知为等边三角形，，则，进而可知，当，，，在上时取等号，即的最小值为，过点作，则四边形为矩形，求得，由，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴四边形是菱形， ∴， 设，则， ∵， ∴在中，，即， 解得：，（舍去），即， ∴， 在中，； （2）证明：∵， ∴，则， 又∵四边形是平行四边形， ∴，，则， 又∵，则， ∴， 则， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， 则， 过点作垂直，交延长线于，则， ∴，则， 在中，，即， ∵，则， ∴， 在与中，， ∴， ∴，则． （3）设，， ∵四边形是平行四边形，且周长为36，， ∴，， 将绕点顺时针旋转得，过点作，交于， 则，，，，， ∴为等边三角形，，则， ∴，当，，，在上时取等号， 即的最小值为， 过点作，则四边形为矩形， ∴， ∴， 即：的最小值为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形等知识点，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 12．如图，在中，，为直线上一点（不与、重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，若在边上，，，求的长； (2)如图2，若在边上，连接，延长交于，求证：； (3)如图3，若在的延长线上，连接，延长交于，为射线上一点，连接，使得，连接、，当△为直角三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值为或 【知识点】全等三角形综合问题、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、等边三角形的性质、含有特殊角的直角三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得是等边三角形，所以可求出，解直角三角形即可得解； （2）作射线交的延长线于点，使，过点作交于点，过点作的垂线段交于点，先证，再证，所以，进而即可得证； （3）以为边向上侧作等边，易证，可证出，所以，进而得到，然后证，再证，可得，，最后分类讨论，根据特殊角找出边的关系求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， 在中，，， ，， 在中，， ， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形， ； （2）证明：如图2，作射线交的延长线于点，使，过点作交于点，过点作的垂线段交于点， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， 由（1）知，， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：以为边向上侧作等边，连接，连接， 则，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， , ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ①当时， 设， ， ， ， ， ； ②当时， 设，则， ， ， ， ； 综上，的值为或． 13．在中，，，，点为线段上一点，连接． (1)如图1，若为的中点，连接，，求的长； (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，为上一点，连接，满足，取，中点分别为，，连接，求证：； (3)如图3，若，将线段绕着点逆时针旋转得，连接，为上一点，且，连接、，将沿直线翻折至所在平面内得到，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】与三角形中位线有关的证明、圆的基本概念辨析、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，中位线的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）过点作于点，解直角三角形求得，进而可得，勾股定理，即可求解； （2）取的中点，连接，，，证明得出，进而证明△△，得出，进而即可得证； （3）先求得，根据旋转的性质可得，在上取点，使得，构造得出，则点在以为圆心为半径的圆上运动，依题意，与关于对称，当面积取得最小值时，的面积取得最小，当在上时，取得等于号，此时最小，求得的最小值，最小，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：在直角中，，，， ，， ， ， ， 如图1，过点作于点， 是的中点 ，， ， ， 在中，； （2）证明：如图2，取的中点，连接，，， 设，则， ， ， 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， 又， ， ， ，是的中点，是的中点， ，， 又是的中点， ， ， 又，则， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 是的中点， ， ； （3）解：，， ， 由旋转的性质得： 如图3，在上取点，使得，则， 又， ， ， ， ， ， 点在以为圆心为半径的圆上运动， 依题意，与关于对称， 当面积取得最小值时，的面积取得最小， ， 当在上时，取得等于号，此时最小，即最小， 的最小值为， ， 当最小时，的面积为． 14．在四边形中，对角线，与交于点，且． (1)如图1，若，，当时，求四边形的面积； (2)如图2，若，过中点作分别交，于点，．证明：； (3)如图3，若，点在直线上，将绕点逆时针旋转得到，当线段取最小值时，内部一点满足，当取最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）作于，则，求出，得出，，求出，得出为等腰直角三角形，推出，由勾股定理可得，即可得解； （2）作于，交的延长线于，作交于，令交于，由等腰三角形的性质可得，，，设，则，求出，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，求出 ，由平行线的性质可得，得出为等腰直角三角形，推出，证明，得出，利用相似三角形的判定与性质，得出，即可得证； （3）作，作于，连接，过点作直线，交直线于，证明四边形为正方形，得出，，证明，得出，得出点在直线上运动，从而可得当时，最小，即最小，证明为等腰直角三角形，得出，以为圆心，为半径画圆，点为优弧上一点，则，求出点在上，且在劣弧上，当、、三点共线时，最小，作于，则为等腰直角三角形，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，于，则， ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的面积为； （2）证明：如图，作于，交的延长线于，作交于，令交于， ， ∵，， ∴，，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，作，作于，连接，过点作直线，交直线于， ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵点在直线上，将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当时，最小，即最小， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵内部一点满足， ∴， 以为圆心，为半径画圆，点为优弧上一点，则， ∴， ∴点在上，且在劣弧上， ∴当、、三点共线时，最小， ∵， ∴，， ∴， 作于，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 15．在中，，，点是边上一点，点是边上一点，连接、，且． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，为延长线上一点，连接，且，求证：； (3)如图3，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接交于点，连接、，当最小时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）勾股定理得出，进而可得，证明，根据全等三角形的性质，得出，进而即可求解； （2）将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，过点作交于点，过点作交于点，则，，证明，即可得证； （3）先证明得出，在中，，得出，进而得出当最小时，则最小，当时，最小，此时如图所示，连接，证明是直角三角形，得出，进而可得是等腰直角三角形，则得证明得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，过点作交于点，过点作交于点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，而是定值， ∴当最小时，则最小， ∴当时，最小，此时如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，正切的定义，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16．在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，点D恰好为中点，与交于点G，若，求的长度； (2)如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； (3)如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，即可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可得，可得，可得结论； （3）先证明当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值，再证明点Q，点B，点D三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴； （2）证明：如图2，过点D作交于点H， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值， 如图4， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点B，点Q，点D三点共线， 由折叠的性质得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17．如图，中，，，点D是射线上一点，连接，过点C作于点E，过点A作交于点F． (1)如图1，点D在线段上，，，求的面积； (2)如图2，点D在延长线上，若，过点F作于点H，连接，求证：； (3)如图3，点D在的延长线上，，，点N在的延长线上，点M在的延长线上，且，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）根据题干条件可推出，，再利用特殊角求解即可； （2）过点作交延长线于点，分别证出和，即可将所证线段进行转化； （3）如图，取，作，，证出，转化到，当重合时取最小值，此时， 由可得，则，再由，得到，，，过作于点， ，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ∵，， ， ，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ∴； （2）证明：如图2，过点作交延长线于点， ∵，， ， ， ， ， ，， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ， ∵， ∵，， ∴， ， ， ∴， ，， ∵， ∴， ， 即． （3）解：如图3，取，作，． ， ， ，， ∴， ，，， ， ， ， ， ， ， 如图4，当，重合时，取最小值， 此时， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 过作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，直角三角形的性质，熟记等腰直角三角形和直角三角形三边比时解题的关键． 18．如图，等腰直角三角形ABC中，，，点D是AB边上的中点，点E是平面内一点，连接DE，将DE绕着点D逆时针旋转90°，得到DF，连接FA，FE，BE． (1)如图1，若点E在线段AC上，，，求△DEF的面积； (2)如图2，若E点在直线BC下方，点G是AC中点，连接DG，EG，EC，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作点E分别关于直线BC和AB的对称点M、N，连接MN，MD，ND，当时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点E作EM⊥BD，则，即，求得，，由勾股定理求得，由题意可得为等腰直角三角形，即可求解； （2）连接BG、FG、GE交BC于点N，延长EC到点H使得CH=BE，连接GH，如图，由题意可得：，，则，，再根据题意可求得，，从而得到，则为等腰直角三角形，即可求证； （3）连接EM交BC于点P，作EI⊥AB交AB延长线于点I，作FQ⊥AD于点Q，如下图，根据，可得，即，得到，设，则，由得到，，由题意可得：，得到，，，再由勾股定理求得、即可求解． 【详解】（1）解：过点E作EM⊥BD，如下图： 则， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， 由题意可得：为等腰直角三角形， ∴； （2）证明：连接BG、FG、GE交BC于点N，延长EC到点H使得CH=BE，连接GH，如下图： 由题意可得：，为的中位线，，，， ∴，， ∴，， ∴（SAS），（SAS）， ∴，，，，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ 又∵，， ∴， 又∵，， ∴（SAS）， ∴，， ∴为等腰直角三角形， 由勾股定理可得：，即， ∴，即； （3）解：连接EM交BC于点P，作EI⊥AB交AB延长线于点I，作FQ⊥AD于点Q，如下图， 则由题意可得：，，，，， ∴ 又∵， ∴ ，即， ∴， 设，则， 由（2）得，， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴，， 由题意可得：，，， ∴（AAS）， ∴，， ∴， 由勾股定理得：，， ， ， 【点睛】此题考查了旋转的综合应用，涉及了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，依据旋转的性质，作出辅助线． 19．如图，在中，，，点D是平面内一点，连接，，且． (1)如图1，若点D在内部，，延长交于H，若时，求的长； (2)如图2，若点D在内部，将绕点A，逆时针旋转得到线段，直线与交于点F，证明：； (3)如图3，点P是边上一点，连接，将绕点P顺时针旋转得到线段，连接，，，若，当，均取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）作交于，由直角三角形的性质可得，求出，解直角三角形得出，证明为等腰直角三角形，得出，结合，得出，从而可得，即可得解； （2）连接，延长使得，连接，由旋转的性质可得，，证明，得出，，再证明，得出，，结合对顶角相等得出，从而可得，即可得证； （3）由等腰直角三角形的性质可得，，由圆周角定理可得，点在以为直径的圆上，取的中点，连接交于，此时最小，为，则，由勾股定理可得，从而求出的最小值为，作于，于，则，，由旋转的性质可得，，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，从而推出点在过点且与夹角为的直线上，过点作于，由垂线段最短可得，此时最小，为，证明，由相似三角形的性质求出，，最后由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，作交于， ， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接，延长使得，连接， ， 由旋转的性质可得，， ∴，即，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴由圆周角定理可得，点在以为直径的圆上， 如图，取的中点，连接交于，此时最小，为， ， 则， ∴， ∴的最小值为， 作于，于，则，， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点在过点且与夹角为的直线上， 过点作于， 由垂线段最短可得，此时最小，为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴当，均取得最小值时，的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 20．在等边中，点D在直线上，连接，过点B作于点H． (1)如图1，点D在的延长线上，，，求的长度； (2)如图2，点D在边上，点E在边上，且，与交于点F，若点F恰是的中点，请用等式表示与的数量关系，并证明； (3)如图3，点D在边上，过点H作．连接、，将沿翻折至，连接，，请直接写出当取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质、90度的圆周角所对的弦是直径、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过点A作于点E，根据等边三角形的性质得出，，解直角三角形得出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后得出答案即可； （2）过点E作于点G，证明，得出，，设，则，，求出，证明，得出，设，则，求出，根据，求出，得出，求出，即可得出答案； （3）延长，交于点G，证明四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，说明点N在以为直径的圆上运动，取的中点O，以点O为圆心为半径作圆，连接并延长，交于点N，此时最大，设，则，解直角三角形，求出，，最后根据，代入求出结果即可． 【详解】（1）解：过点A作于点E，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴． （2）解：，理由如下： 过点E作于点G，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵∵， ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长，交于点G，如图所示： 根据折叠可知：，，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∵等边中， ∴， ∴， ∴点N在以为直径的圆上运动， 取的中点O，以点O为圆心为半径作圆，连接并延长，交于点N，此时最大， 设，则， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点D作于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，确定圆的条件，等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关判定和性质． 21．已知，在等边中，点在边上，点在边的延长线上． (1)如图1，连接交于点，若，，求的长度； (2)如图2，点绕点逆时针旋转后的对应点恰好落在的延长线上，在直线下方有一点，连接、，其中交于点，且，，请猜想、、的数量关系并证明； (3)如图3，当时，在边上有一点，在边上有一点，满足，当最小时，将沿翻折得到，点为点的对应点，当最小时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】全等三角形综合问题、解直角三角形的相关计算、等边三角形的性质、圆的基本概念辨析 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，在，中，分别求得，同理可得，则； （2）；延长到，使得，连接，证明，得出，，设，导角得出，进而证明，则，过点作，即可得证； （3）过点作，过点过点作交于点，连接，过点作于点，证明四边形是平行四边形，当最小时，则最小，则是等腰直角三角形，设，则，，进而求得，，根据题意得出在以为圆心1的长为半径的圆上运动，当最小时，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵等边， ∴ ∵ ∴， ∵ 在中，， 在中，， 同理可得 ∴； （2）如图，延长到，使得，连接 ∵点绕点逆时针旋转后的对应点恰好落在的延长线上， ∴， ∵等边， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴，， 设， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， 中，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴，则 又∵， ∴ ∴ ∴ 过点作 ∴， ∴； （3）如图，过点作，过点过点作交于点，连接，过点作于点， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵等边， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴当最小时，则最小， ∴时最小， 又∵， ∴是等腰直角三角形， 设，则，， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴三点共线， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴是的角平分线， ∴垂直平分 ∴ ∵当最小时，将沿翻折得到，点为点的对应点， ∴在以为圆心1的长为半径的圆上运动， ∴当最小时，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．如图，在等边中，点为边上一点，点为边上一点，． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，延长至点，，用等式表示、和之间的数量关系，并证明； (3)点从点运动到点的过程中，点为射线上一点，，连接，若为线段上一点，点关于直线的对称点为点，直线与直线交与点，当取得最小值时，，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)的值为或 【知识点】等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，从而可得，证明，由相似三角形的性质求解即可； （2）作交于，在上取一点，使得，令交于，则，，，证明四边形为平行四边形，得出，由等边三角形的性质可得，，证明，得出，从而可得，即，即可得解； （3）作于，证明，得出，即，由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时点与点重合，点与点重合，再分两种情况：当点在线段上时，连接，作于，于；当点在的延长线上时；分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，作交于，在上取一点，使得，令交于， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：如图：作于， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时点与点重合，点与点重合，如图所示： ∵为线段上一点，点关于直线的对称点为点，直线与直线交与点， ∴当点在线段上时，连接，作于，于，如图所示： 设，则，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴点在的角平分线上，点在的角平分线上， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上时，则， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、解直角三角形、折叠的性质、角平分线的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 23．已知是等腰直角三角形，，为平面内一点． (1)如图1，当点在的中点时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，求线段的长度； (2)如图2，当点在外部时，、分别是、的中点，连接、、，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，若，请探究、、之间的数量关系并给出证明； (3)如图3，当在内部时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若经过中点，连接、，为的中点，连接并延长交于点，当最大时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、与三角形中位线有关的求解问题、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点E作交的延长线于H，分别求出求出的长，即可得到答案； （2）连接，过点F作交于H，证明， 则，证明是等腰直角三角形，得到，，证明， 则，由即可证明结论； （3）设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，证明，则，设，则，在中，，，当A、Q、G三点共线时，，取得最大值，证明，则，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：过点E作交的延长线于H，则，如图1， ∵点D是的中点，且， ∴， 在中，， ∴，， 由旋转得： ，， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，； （2）解：，理由如下： 如图2，连接，过点F作交于H， ∵是等腰直角三角形，E、F分别是的中点， ∴，，， ∴，为等腰直角三角形，， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，如图， ∵将绕点D逆时针旋转，得到， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵由上知，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵Q是的中点，G是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 设，则， 在中，， ∵中点Q， ∴， 当A、Q、G三点共线时， ，取得最大值， 又∵， ∴此时， ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点，G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 24．已知在中，，点E在线段上，点F在线段上，且E、F均不在线段端点处，连接，点D在线段的延长线上，连接交于点N． (1)如图1，若点N恰为中点，，，求的度数． (2)如图2，在内有一点Q，连接，，，若，且，．猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，延长至G，使，连接，若，在内有一点P，连接，，．当最小时，在线段上截取使得，将点H绕点D旋转，连接，点M为线段的中点，将点M绕点B顺时针旋转得到点，连接，当最大时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）作交于，则，证明，得出，结合题意得出，由三角形内角和定理求出，由等边对等角得出，最后由三角形外角的定义及性质求解即可； （2）作交于，作且，连接、，证明，再证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，证明四边形为平行四边形，得出，由平行线的性质可得，从而可得为等腰直角三角形，证明、、、四点共圆，得出，从而推出为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，，证明，得出，即可得证； （3）将绕点顺时针旋转并放大倍，得到，连接，，由旋转的性质可得，，，，由勾股定理得出，根据，得出当、、、在同一直线上时，的值最小为，作交的延长线于，则，证明，求出，，进而得出，，即的最小值为，求出，得出点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆上，取的中点为，得出点在以为圆心，为半径的圆上，由旋转的性质可得，，点在以为圆心，为半径的圆上，则，，作交的延长线于，交的延长线于，则，证明，得出，，进而求出，，当在的延长线时最大，为，证明，求出，最后由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，作交于，则， ， ∴， ∵点N恰为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： ， 如图，作交于，作且，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转并放大倍，得到，连接，， ， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，的值最小为， 作交的延长线于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵当最小时，在线段上截取使得， ∴， ∴点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆上， 取的中点为， ∵点M为线段的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∵将点M绕点B顺时针旋转得到点， ∴由旋转的性质可得：，，点在以为圆心，为半径的圆上，则，， 作交的延长线于，交的延长线于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴当在的延长线时最大，为， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、四点共圆等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 25．在中，，，绕点C顺时针旋转角度α（）得到． (1)如图1，若，连接交于点E，若，求的长； (2)如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)8． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据旋转可得，即可得到，据此求解即可； （2）连接，与交于点O，根据角平分线可得，进而得到，，得到，，可得，即可推出和是等腰直角三角形，据此求解即可； （3）如图，过P作交于H，交于O，过Q作交于G，延长交于N，延长至E，使，过A作交于F，根据一线三垂直模型可证明，得，，设,则， ，得到四边形是矩形，四边形是正方形，再说明M与O重合，，最后根据，得到当A、N、E三点共线时取得最小值，得到，解得，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：由旋转可得，， ∴，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，与交于点O，如图2， 由旋转可得，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴G、B、D三点共线，且是等腰直角三角形， ∴， ∴， 整理得； （3）如图3，过P作交于H，交于O，过Q作交于G，延长交于N，延长至E，使，过A作交于F， ∵将绕点P逆时针旋转90°得到， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴点B在上，，, ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴O为的中点， ∵M为的中点， ∴M与O重合，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当A、N、E三点共线时取得最小值，此时， ∴, ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称与最小值，勾股定理，30°直角三角形的性质，涉及知识点比较多，难度比较大． 26．在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接 (1)如图1，，，若，求的度数； (2)如图2，，，过点D作交于点F，，请探究线段之间的等量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，延长线上有一点D，且，连接，在线段上取一点E，使得，连接交于点F，点P是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，当线段取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明是等边三角形，再证明，进一步证明，得到，利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案； （2）在上截取，连接交于点N，证明，得到，再证明，得到，进而证明，得到由，即可证明； （3）连接，根据三角形的中位线定理可得出，连接，则，故当M在上时，最小，过C作于G，过作于H，可证明是等边三角形，求出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，进而求出，根据勾股定理求出，结合已知可求出，根据三线合一求出，则，，，，证明，可求出，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形． ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中， ，     ∴． ∴， 又∵， ∴； （2）， 证明：在上截取，连接交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，      ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ； ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：连接， ∵翻折， ∴， ∴， ∵，M是中点， ∴， 连接，则，即， 故当M在上时，最小， 过C作于G，过作于H， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 即线段取得最小值时， 的面积． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 27．如图，是等边三角形，、分别是、边上的点（点、不与端点重合），，连接、为交于点，点为延长线上一点，且，点为平面内上方、左侧一点，，延长交于点． (1)若点是中点，，求线段的长度； (2)若，请用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明； (3)若，为内部一点，当最小时，直接写出面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、点与圆上一点的最值问题 【分析】（1）如图所示，过点作于点，过点作于点，解，，进而等面积法求得，再求得，在中，求得，进而即可求解； （2）证明，设，得出，过点作，，设与交于点，证明得出，进而得出，又，即可得出结论； （3）连接，以，为直角边分别在其右侧作等腰，，连接，可得，进而可得四点共线时取得最小值，最小值为，过点分别作的垂线，垂足分别为，则，得出，根据四点共线，是等腰直角三角形，连接，在上截取，得出在的一部分弧上运动，过点作于点，当在上时，面积取得最小值，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，进而求得，根据得出，进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵是等边三角形，点是中点，， ∴，， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （2）解：； 证明：∵是等边三角形，， ∴ 又∵， ∴， ∴； 设， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，过点作，，连接，设与交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴； 又， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接，以，为直角边分别在其右侧作等腰，，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴四点共线时取得最小值，最小值为； 如图所示， ∵是等边三角形，， ∴，； 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，则， ∵等腰，， ∴,， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵四点共线，，则是等腰直角三角形， ∴， 连接，在上截取， ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴在的一部分弧上运动， 如图所示，过点作于点，当在上时，面积取得最小值， ∵， ∴； 过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，如图所示，作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，求一点到圆上的最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28．中，，将绕点A逆时针旋转到，直线与直线交于点E，过点D作交AC延长线于点F． (1)如图1，当时，连接，若，求的长度； (2)如图2，若点G为的中点，连接，请用等式表示线段之间的数量关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，，连接，点P为边上一动点，连接，以为直角边在其右侧作等腰直角，，并将绕点Q旋转至，连接，请直接写出当和均取得最小值时的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、点与圆上一点的最值问题 【分析】（1）如图所示，过点D作于H，先证明是等边三角形，得到，再由旋转的性质得到，据此可得，进而得到，进一步证明，据此求出的长，再求出的长，即可得到答案； （2）延长到T，使得，连接，由旋转的性质可得，证明，得到，导角证明，得到，再由直角三角形的性质得到，则可证明； （3）如图所示，以B为直角顶点，为直角边作等腰直角，连接，可证明，得到，由旋转的性质可得，则可证明；再证明四边形是正方形，得到， ，进而得到点Q在直线上运动，且K、D、F三点共线，则当时，有最小值，设此时点Q与重合，再证明点M在以点Q为圆心，的长为半径的圆上运动，则当M、E、Q三点共线，且点E在上时，有最小值，设此时M与重合；由勾股定理得，，由（2）的结论可知，则，；求出，，则；如图所示，过点作于N，则，证明，利用相似三角形的性质得到，则． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作于H， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，延长到T，使得，连接， 由旋转的性质可得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点G为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，以B为直角顶点，为直角边作等腰直角，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是正方形， ∴， ∴点Q在直线上运动，且，则K、D、F三点共线， ∴当时，有最小值，设此时点Q与重合， ∵将绕点Q旋转至， ∴， ∴点M在以点Q为圆心，的长为半径的圆上运动， ∴当M、E、Q三点共线，且点E在上时，有最小值，设此时M与重合； 在中，由勾股定理得， ∵，G为的中点， ∴， 由（2）的结论可知， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，过点作于N，则， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质等等，解（2）的关键在于作出辅助线构造全等三角形，解（3）的关键在于构造相似三角形证明点Q的轨迹为直线，进而证明点M的轨迹为圆． 29．如图，在等腰中，，，点为边上的动点．将绕点逆时针旋转得到． (1)如图1，若，，求旋转后到的距离； (2)如图2，连接、，若为的中点，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，在点运动的过程中，在线段上存在一点，使的值最小，当的值取得最小值时，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】与三角形中位线有关的证明、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）过点作于点，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理得出，进而得出，根据旋转的性质得出是等腰直角三角形，进而根据勾股定理，即可求解； （2）延长交于点，根据中位线的性质得出，证明得出，则即可得证； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，当点，点，点，点共线时，值最小，证明是等边三角形，是等边三角形，进而得出，根据，可得，即可得出，进而求得的长，根据旋转的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ∵等腰中，，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到． ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴，即旋转后到的距离为； （2）解：如图2，延长交于点， 由（1）可得 ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵，即 ∴， 又∵为的中点， ∴是的中位线 ∴ ∵将绕点逆时针旋转得到． ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴，即； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，值最小， 此时，如图，连接， 将绕点顺时针旋转得到， ，，， 是等边三角形，是等边三角形， ，， ，， 垂直平分， ，， ， ，，， ， ， ， ， 根据旋转的性质可得：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 30．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点． (1)如图，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． (3)如图3，当时，过点作，垂足为点，以为一边构造如图正方形，连接，当时，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】（1）连接，由题意得：，进而得出，得到，证明是中点． （2）通过作辅助线构造，再结合得出线段间的数量关系． （3）先求出动点的运动轨迹是的角平分线，再利用正方形的性质和对称，将转化为两点间线段，再根据勾股定理求最小值． 【详解】（1）证明：连接，由题意得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点是的中点； （2） 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵G是的中点， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 在中，，， ， 正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 动点的运动轨迹是的角平分线， 作点关于的对称点，则点一定在上， 连接，交于点， ，即的最小值就是， 过点作垂直于，交的延长线于点， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ∴，即的最小值是． 【点睛】本题考查了三角形全等，平行的性质，等腰三角形的性质及判定，正方形的性质，以及利用几何变换求线段最值等知识．解题的关键是根据已知条件合理构造全等，利用其性质进行线段关系的推导，对于求线段和最小值问题，要运用对称等方法转化． 31．在中，点C在直线的上方． (1)如图1，，点D在边上，且，若，求线段的长； (2)如图2，点E为外一点，，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，，，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转到得线段，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解 【分析】（1）设，则，，在中，利用勾股定理求解即可得； （2），证明：在取一点，使得，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，由此即可得证； （3）分两种情况：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，设与的交点为点，过点作，且，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后利用勾股定理可得，最后根据（当且仅当点共线时，等号成立）可得的最小值，由此即可得． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以线段的长为． （2）解：，证明如下： 如图，在取一点，使得， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． （3）解：①如图，当点在线段上时， 设与的交点为点，过点作，且，连接， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， 又∵（当且仅当点共线时，等号成立）， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②如图，当点在的延长线上时， 设与的交点为点，过点作，且，连接， 同理可证：， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， 同理可证：， ∴， ∵在中，，， ∴， 又∵（当且仅当点共线时，等号成立）， ∴的最小值为， ∴的最小值为； 综上，的最小值为． 【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、一元二次方程的应用、平行四边形的判定与性质等知识，较难的是题（3），正确找出取得最小值时的位置，并分两种情况讨论是解题关键． 32．已知如图，在中，，点是上一点，；    (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，若，，，连接，若点是的中点，连接，试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，点P是直线上一点，点A关于的对称点是，连接，，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据勾股定理求得和，进而得出结果； （2）延长，交的延长线于，可证得，从而，，进而证得，从而得出； （3）作等腰三角形，使，，连接，可证得，从而得出，从而，当、、共线时，最大，作于，依次求得，，，进而求得，，四边形的面积，进一步得出结果． 【详解】（1）解： ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，   ，理由如下： 延长，交的延长线于， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ，， 不妨设，则， ， ， ， ． （3）解：如图2，   ，， ，， ，， ， ， 点关于的对称点是， ， 作等腰三角形，使，，连接， ，， ， ， ， 当、、共线时，最大， 如图3，    作于， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 33．在中，，D是平面内一点，连接．将绕点A逆时针旋转一定角度α（），得到，且满足，连接． (1)如图1，，D是边上一点，求的度数； (2)如图2，D是平面内一点，F是的中点，连接．猜想与存在怎样的数量关系？写出你的结论，并证明； (3)在（2）的条件下，若，在直线上存在一点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形是锐角为的菱形，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、线段问题(旋转综合题)、角度问题(旋转综合题) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，由，，得到，进而推出，结合，证明，得到，由即可得出结果； （2）延长到M，使得，连接，推出，证明，得到，即可得出结论； （3）证明为等边三角形，再证明，得到，由，当为菱形的边时，推出点M与点C重合，进而得到，即，根据，推出，点是的中点，根据，同理，当为菱形对角线时，根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：旋转的性质得到，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：延长到M，使得，连接， A是的中点， F是的中点， 是的中位线， ， ，， ，即， ， ，， ， ， ， ； （3）解：如图， ， ， ， 为等边三角形， ， 当为菱形的边时， 四边形是锐角为的菱形， ，，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 点M与点C重合， ， ， ， ， ， ， ； 当为菱形的对角线时，点M在点处， 四边形是锐角为的菱形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 综上，． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质定理，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，求正切值，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 34．是等边三角形，点D为线段上任意一点，连接，E为直线上一点，    (1)如图1，当点D为中点时，点E在边上，连接，若，，求的长； (2)如图2，若点E为延长线上一点，且，点F为延长线一点，且，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（1）的条件下，M为线段上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，当的值最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过点E作于F，根据等边三角形的性质得到，，利用锐角三角函数求得、、，进而求得，然后利用勾股定理求解即可； （2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质分别证明和得到即可得出结论； （3）在上截取，连接，则是等边三角形，证明得到，，进而，则点N在过点G且垂直于的直线l上运动，作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于N，交于H，连接交直线l于O，此时的值最小，设直线l与相交于K，连接，利用锐角三角函数求得，，，证明是等边三角形和 ，进而求得，，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：过点E作于F，如图，    ∵，， ∴， ∵是等边三角形，点D为中点， ∴，， ∴，，， 在中，， ∴； （2），理由为： 在上截取，连接，    ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴； （3）在上截取，连接，交于    ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴点N在过点G且垂直于的直线l上运动， 作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于N，交于H，连接交直线l于O，则，，，此时的值最小， 设直线l与相交于K，连接， ∵，，， ∴，，， ∴，又， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、旋转性质、等腰三角形的性质、利用轴对称求最短路径问题等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识与联系，并添加辅助线构造等边三角形和全等三角形是解答的关键． 35．已知，和都是等腰三角形，且，． (1)如图1，若，点是上一点，连接，求证：； (2)如图2，若，绕点旋转，经过的中点，点落在上，请探究、、之间的数量关系并给出证明； (3)如图3，若，，点和点重合，连接，点为上一点，连接，，当面积的最大值时，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)6 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、三线合一、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）证明即可由全等三角形的性质得出结论； （2）过点B作于F，利用等腰三角形三线合一的性质证得，，，，得出，即可得出． （3）当面积的最大值时，此时，可证得、是等边三角形，求得，当点P与点A重合时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：， 证明：过点B作于F，如图2， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，经过的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：∵，，，点和点重合， ∴ 当面积的最大值时，此时， ∵， ∴， ∵， ∴、是等边三角形， ∴， ∵点为上一点， ∴， ∴当点P与点A重合时，最小，最小值为， ∴当面积的最大值时，最小值． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，最短路径问题．熟练掌握等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键． 36．如图，在等边中，点是平面内一点． (1)如图1，若点在的延长线上，且，，求的长； (2)如图2，若点在的垂直平分线上，交于点，点是的中点，连接，，，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若点在的延长线，连接，点是的中点，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的求解问题、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）过点A作于点E，证明为等腰直角三角形，得出，根据等边三角形的性质得出，，设，则，根据勾股定理得：，得出，求出x的值，即可得出答案； （2）延长，截取，连接，，证明，得出，证明，得出，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，最后得出结果即可； （3）连接并延长，取，连接并延长，过点P作，交于点G，连接，取的中点H，连接并延长，交于点F，过点C作于点E，证明，得出，，证明，得出，，证明，得出，根据中位线性质证明，根据为中点，为中点，得出，说明点M一定在过点H平行于的直线上，根据垂线段最短，得出当在点E处时，最小，即最小，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：过点A作于点E，如图所示： 则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． （2）解：；理由如下： 延长，截取，连接，，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接并延长，取，连接并延长，过点P作，交于点G，连接，取的中点H，连接并延长，交于点F，过点C作于点E，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为中点，为中点， ∴， ∵， ∴， ∵为中点，为中点， ∴， ∴点M一定在过点H平行于的直线上， ∵垂线段最短， ∴当在点E处时，最小，即最小， ∵为中点， ∴， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，中位线性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合，作出辅助线． 37．在中，． (1)如图1，D为上一点，，，求的面积； (2)如图2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至G，使得，连接，过C作交延长线于E，若，请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，，，D为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕E顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过B作延长线于E，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，进而可得， ，然后解直角三角形求解，，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）延长交于H，在射线上截取，连接，根据三角形的中位线性质得到，，进而推出，从而证明得到，，可推出，进而可得结果； （3）以为直角边作等腰三角形，，，证明四边形是平行四边形得到，证明得到，由，当F、C、G共线时取等号， 进而可得解． 【详解】（1）解：如图1，过B作延长线于E， ∵，， ∴， ∵， ∴, ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）解：． 理由：如图2，延长交于H，在射线上截取，连接， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，以为直角边作等腰三角形，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由旋转和折叠性质得，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，当F、C、G共线时取等号， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行四边形的判定与性质、折叠与旋转性质、三角形的三边关系等知识，综合性强，有一定的难度，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，构造相似三角形是解答的关键． 38．已知在中，，，为直线上一动点，连接． (1)如图1，若为线段上的一点且满足，若，求线段的长； (2)如图2，若为线段上的一点，过点作∥交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接，试探究线段之间的数量关系，并证明其结论； (3)如图3，，将绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和HL综合（HL）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）过点作于点．求出，得，，证明是等腰直角三角形，得，根据求出，从而得出结论； （2）如图2中，延长交的延长线于点T．证明，推出，，证明，推出，可得结论； （3）将绕点逆时针旋转得到．证明，当'时，有最小值．过点作于点，延长交直线于点，连接，证明，求出，，得，求出，，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点． ∵在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：结论：． 证明如下：如图2，延长交的延长线于点． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：的最小值为． 如图3，将绕点逆时针旋转得到． 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴． ∵是定点， ∴点在直线上运动， ∴当'时，有最小值． 过点作于点，延长交直线于点，连接， ∵在中，， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 39．已知是边长为的等边三角形，将边绕点逆时针旋转一定角度得到线段，的延长线交直线交于点，连接交直线于点． (1)如图1，若，求线段的长度； (2)如图2，若，延长并在延长线上取一点，连接使，过点作交于点，猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，点是平面内任意一点，将沿翻折得到，连接，是上一点，当取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、圆的基本概念辨析、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】（1）过点作延长线于点，利用等边三角形性质得，，求出，得出，， 利用，得出，得出，即，求出，再求即可； （2）利用，，得出，，则可得，利用，得出，则可求出，，利用字型求出，证明，则，再利用线段的和差即可证明； （3）过作于点，先通过计算求出，，可得，利用翻折得出点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，在上取点，使，可证明，可得，过点作，过点作于点，可得，则，由点到直线的最短距离可得，当、、、依次共线，且时，取得最小值，此时过点作于点，由，得，计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作延长线于点， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设与交于点， ∵， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：如图，过作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴，， ∵点是平面内任意一点，将沿翻折得到， ∴， ∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 如图，在上取点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由点到直线的最短距离可得，当、、、依次共线，且时，取得最小值，此时如图， 过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的定义，等边三角形的性质，点到直线的距离，熟练掌握这些判定与性质是解题的关键． 40．如图，在中，且，点D为边上一动点，连接，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点D为边的中点时，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，连接，连接交于点F．若时，求的长． (2)当点D为边上任意一点时，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，分别连接，，再将线段绕着点C顺时针方向旋转得到线段，连接．猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图3，当点D为边上任意一点时，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，分别连接，．作点A关于直线的对称点，点M是边的中点，连接，若，当的长度最大时，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）过点E作于点H，根据勾股定理求出，结合所对直角边等于斜边一半及勾股定理求解即可得到答案； （2）由线段旋转得，， 由余角性质得，可得 ，从而得到，，由线段旋转得到，，证明点E、D、F共线，过点E作，交于点G，可得，从而得到，，证明 ，得，根据，，可得 ，即可得到答案； （3）当M，C，三点共线时，取得最大值，过点E作，交延长线于点H，连接，，设交直线于点I，由轴对称知，， 得，根据，得，得，得，得， ，得，设，可得，解得，即可得到答案 【详解】（1）解：如图1中，过点E作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下， 理由：过点D作于点J，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴D，E，B，C四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：如图3中，由题意， ∴点的运动轨迹是以C为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在的延长线上时，的值最大，如图4中， 在上取一点K，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形和旋转．熟练掌握等腰三角形性质，等腰直角三角形判定和性质，旋转性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，含30度的直角三角形判定和性质，添加辅助线，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 几何证明压轴题（原卷版） （2大类型精选40题） 类型一：直接求证类 1．如图，在等边中，、分别为、上动点，满足． (1)如图1，连接，过作于点，交于点，若，，求的长； (2)如图2，连接，P为中点，连接，G为边上一点，连接交于点F，F恰为中点，将绕点G逆时针旋转到，连接，．求证：； (3)如图3，点M是平面内直线上方一点，，Q为直线右方一动点，满足，，连接，N为上一点，连接、，当取得最大值时，请直接写出当为直角三角形时的值． 2．如图，在中，，，点是外一点，连接交于点，过点作于点，交于点，连接交于点． (1)如图1，若，，求线段的长度； (2)如图2，连接，．若，，求证：； (3)如图3，连接，点是直线上一动点．若，将线段绕着点逆时针旋转得，当的长度取最小值时，将沿直线翻折得，当的长度取最大值时，直接写出的值． 3．在等边中，于点D，点E是线段上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转到，连接． (1)如图1，，，求的面积： (2)如图2，以为边在右侧作等边，延长交的延长线于点H．若，求证：； (3)如图3，，点K为平面内一动点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接．点M是线段的中点，以点M为直角顶点，为直角边，在上方作，，连接，当线段取最大值时，请直接写出的面积． 4．在中，，，过点作． (1)如图1，若点在点的左侧，连接，过点作交于点．若点是的中点，求证：； (2)如图2，若点在点的右侧，连接，点是的中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，平分交于点，求证：； (3)若点在点的右侧，连接，点是的中点，且．点是直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接，．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值． 5．如图，在中，，，点是平面内一点，连接，以为斜边在的逆时针方向构造等腰直角三角形． (1)如图1，恰好落在边上时，连接交于，若，，求线段的长； (2)将绕点A旋转到如图2所示位置，连接，在右侧作，交线段于点，求证：； (3)在（2）的条件下，延长到点，使，连接，若，，将绕点A旋转一周，直接写出当取最大值时的面积． 6．在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接． (1)如图1，，，若，求的度数； (2)如图2，，，过点D作交于点F，若，求证：； (3)如图3，，延长交的延长线于点F，交于点G，点D是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，连接，若，当线段取得最大值时，请直接写出的值． 7．在等边中，，垂足为D，点E是线段上一点，连接，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点G． (1)如图1，若的延长线恰好过点B，且，求的长度； (2)如图2，在上取一点H，使，在的延长线上取一点K，连接，且满足，求证：； (3)如图3，，点M为平面内任意一点，连接、，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，点T是线段中点，将线段绕点T逆时针旋转到，点P为线段中点，连接，直线与直线交于点Q，当取最大值时，请直接写出此时的面积． 8．如图，在三角形中，，，为上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，若点在边上，延长交于点，，，求的长； (2)如图2，若点在延长线上，延长交于点，交于点，求证：； (3)若点在边上，为边上一点，，为上方一点，，，连接，为上一点，，当取得最大值时，将线段绕点旋转得到线段，连接，线段绕点逆时针方向旋转得到线段，直接写出的最大值． 9．在中，，以为边向右作等边． (1)如图1，若，，求四边形的面积； (2)如图2，连接，取的中点，连接、，求证：； (3)如图3，点为中点，连接，将沿翻折，得，连接，当取得最大值时，请直接写出的值． 10．已知如图，在中，，点是上一点，； (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，若，，，连接，若点是的中点，连接，求证：； (3)如图3，若，，点P是直线上一点，点A关于的对称点是，连接，，当取最大值时，请直接写出的面积． 11．在中，对角线、相交于点O，于点M，在线段上截取一点N，使得，连接． (1)如图1，若，，，求线段的长度； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，平行四边形的周长为36，在平行四边形内部存在一点Q，线段存在一点P，连接，，，直接写出的最小值． 12．如图，在中，，为直线上一点（不与、重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，若在边上，，，求的长； (2)如图2，若在边上，连接，延长交于，求证：； (3)如图3，若在的延长线上，连接，延长交于，为射线上一点，连接，使得，连接、，当△为直角三角形时，请直接写出此时的值． 13．在中，，，，点为线段上一点，连接． (1)如图1，若为的中点，连接，，求的长； (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，为上一点，连接，满足，取，中点分别为，，连接，求证：； (3)如图3，若，将线段绕着点逆时针旋转得，连接，为上一点，且，连接、，将沿直线翻折至所在平面内得到，当最小时，直接写出的面积． 14．在四边形中，对角线，与交于点，且． (1)如图1，若，，当时，求四边形的面积； (2)如图2，若，过中点作分别交，于点，．证明：； (3)如图3，若，点在直线上，将绕点逆时针旋转得到，当线段取最小值时，内部一点满足，当取最小值时，直接写出的面积． 15．在中，，，点是边上一点，点是边上一点，连接、，且． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，为延长线上一点，连接，且，求证：； (3)如图3，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接交于点，连接、，当最小时，请直接写出的值． 16．在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，点D恰好为中点，与交于点G，若，求的长度； (2)如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； (3)如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 17．如图，中，，，点D是射线上一点，连接，过点C作于点E，过点A作交于点F． (1)如图1，点D在线段上，，，求的面积； (2)如图2，点D在延长线上，若，过点F作于点H，连接，求证：； (3)如图3，点D在的延长线上，，，点N在的延长线上，点M在的延长线上，且，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积． 18．如图，等腰直角三角形ABC中，，，点D是AB边上的中点，点E是平面内一点，连接DE，将DE绕着点D逆时针旋转90°，得到DF，连接FA，FE，BE． (1)如图1，若点E在线段AC上，，，求△DEF的面积； (2)如图2，若E点在直线BC下方，点G是AC中点，连接DG，EG，EC，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，作点E分别关于直线BC和AB的对称点M、N，连接MN，MD，ND，当时，直接写出的值． 19．如图，在中，，，点D是平面内一点，连接，，且． (1)如图1，若点D在内部，，延长交于H，若时，求的长； (2)如图2，若点D在内部，将绕点A，逆时针旋转得到线段，直线与交于点F，证明：； (3)如图3，点P是边上一点，连接，将绕点P顺时针旋转得到线段，连接，，，若，当，均取得最小值时，直接写出的面积． 类型二：探究关系求证类 20．在等边中，点D在直线上，连接，过点B作于点H． (1)如图1，点D在的延长线上，，，求的长度； (2)如图2，点D在边上，点E在边上，且，与交于点F，若点F恰是的中点，请用等式表示与的数量关系，并证明； (3)如图3，点D在边上，过点H作．连接、，将沿翻折至，连接，，请直接写出当取得最大值时的值． 21．已知，在等边中，点在边上，点在边的延长线上． (1)如图1，连接交于点，若，，求的长度； (2)如图2，点绕点逆时针旋转后的对应点恰好落在的延长线上，在直线下方有一点，连接、，其中交于点，且，，请猜想、、的数量关系并证明； (3)如图3，当时，在边上有一点，在边上有一点，满足，当最小时，将沿翻折得到，点为点的对应点，当最小时，求的值． 22．如图，在等边中，点为边上一点，点为边上一点，． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，延长至点，，用等式表示、和之间的数量关系，并证明； (3)点从点运动到点的过程中，点为射线上一点，，连接，若为线段上一点，点关于直线的对称点为点，直线与直线交与点，当取得最小值时，，直接写出此时的值． 23．已知是等腰直角三角形，，为平面内一点． (1)如图1，当点在的中点时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，求线段的长度； (2)如图2，当点在外部时，、分别是、的中点，连接、、，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，若，请探究、、之间的数量关系并给出证明； (3)如图3，当在内部时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若经过中点，连接、，为的中点，连接并延长交于点，当最大时，请直接写出的值． 24．已知在中，，点E在线段上，点F在线段上，且E、F均不在线段端点处，连接，点D在线段的延长线上，连接交于点N． (1)如图1，若点N恰为中点，，，求的度数． (2)如图2，在内有一点Q，连接，，，若，且，．猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，延长至G，使，连接，若，在内有一点P，连接，，．当最小时，在线段上截取使得，将点H绕点D旋转，连接，点M为线段的中点，将点M绕点B顺时针旋转得到点，连接，当最大时，请直接写出的面积． 25．在中，，，绕点C顺时针旋转角度α（）得到． (1)如图1，若，连接交于点E，若，求的长； (2)如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 26．在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接 (1)如图1，，，若，求的度数； (2)如图2，，，过点D作交于点F，，请探究线段之间的等量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，延长线上有一点D，且，连接，在线段上取一点E，使得，连接交于点F，点P是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，当线段取得最小值时，请直接写出的面积． 27．如图，是等边三角形，、分别是、边上的点（点、不与端点重合），，连接、为交于点，点为延长线上一点，且，点为平面内上方、左侧一点，，延长交于点． (1)若点是中点，，求线段的长度； (2)若，请用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明； (3)若，为内部一点，当最小时，直接写出面积的最小值． 28．中，，将绕点A逆时针旋转到，直线与直线交于点E，过点D作交AC延长线于点F． (1)如图1，当时，连接，若，求的长度； (2)如图2，若点G为的中点，连接，请用等式表示线段之间的数量关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，，连接，点P为边上一动点，连接，以为直角边在其右侧作等腰直角，，并将绕点Q旋转至，连接，请直接写出当和均取得最小值时的面积． 29．如图，在等腰中，，，点为边上的动点．将绕点逆时针旋转得到． (1)如图1，若，，求旋转后到的距离； (2)如图2，连接、，若为的中点，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，在点运动的过程中，在线段上存在一点，使的值最小，当的值取得最小值时，，请直接写出的长． 30．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点． (1)如图，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． (3)如图3，当时，过点作，垂足为点，以为一边构造如图正方形，连接，当时，直接写出的最小值． 31．在中，点C在直线的上方． (1)如图1，，点D在边上，且，若，求线段的长； (2)如图2，点E为外一点，，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，，，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转到得线段，连接，直接写出的最小值． 32．已知如图，在中，，点是上一点，；    (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，若，，，连接，若点是的中点，连接，试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，点P是直线上一点，点A关于的对称点是，连接，，当取最大值时，请直接写出的面积． 33．在中，，D是平面内一点，连接．将绕点A逆时针旋转一定角度α（），得到，且满足，连接． (1)如图1，，D是边上一点，求的度数； (2)如图2，D是平面内一点，F是的中点，连接．猜想与存在怎样的数量关系？写出你的结论，并证明； (3)在（2）的条件下，若，在直线上存在一点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形是锐角为的菱形，请直接写出的值． 34．是等边三角形，点D为线段上任意一点，连接，E为直线上一点，    (1)如图1，当点D为中点时，点E在边上，连接，若，，求的长； (2)如图2，若点E为延长线上一点，且，点F为延长线一点，且，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（1）的条件下，M为线段上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，当的值最小时，直接写出的面积． 35．已知，和都是等腰三角形，且，． (1)如图1，若，点是上一点，连接，求证：； (2)如图2，若，绕点旋转，经过的中点，点落在上，请探究、、之间的数量关系并给出证明； (3)如图3，若，，点和点重合，连接，点为上一点，连接，，当面积的最大值时，请直接写出的最小值． 36．如图，在等边中，点是平面内一点． (1)如图1，若点在的延长线上，且，，求的长； (2)如图2，若点在的垂直平分线上，交于点，点是的中点，连接，，，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若点在的延长线，连接，点是的中点，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接，，直接写出的最小值． 37．在中，． (1)如图1，D为上一点，，，求的面积； (2)如图2，D为上一点，，F为延长线上一点，连接并延长至G，使得，连接，过C作交延长线于E，若，请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，，，D为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕E顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 38．已知在中，，，为直线上一动点，连接． (1)如图1，若为线段上的一点且满足，若，求线段的长； (2)如图2，若为线段上的一点，过点作∥交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接，试探究线段之间的数量关系，并证明其结论； (3)如图3，，将绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出的最小值． 39．已知是边长为的等边三角形，将边绕点逆时针旋转一定角度得到线段，的延长线交直线交于点，连接交直线于点． (1)如图1，若，求线段的长度； (2)如图2，若，延长并在延长线上取一点，连接使，过点作交于点，猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，点是平面内任意一点，将沿翻折得到，连接，是上一点，当取得最小值时，直接写出的面积． 40．如图，在中，且，点D为边上一动点，连接，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点D为边的中点时，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，连接，连接交于点F．若时，求的长． (2)当点D为边上任意一点时，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，分别连接，，再将线段绕着点C顺时针方向旋转得到线段，连接．猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图3，当点D为边上任意一点时，将线段绕着D点顺时针方向旋转得到线段，分别连接，．作点A关于直线的对称点，点M是边的中点，连接，若，当的长度最大时，直接写出的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$