专题17材料阅读双空问题2024-2025学年九年级中考复习数学试题（重庆专用）

专题17 材料阅读双空问题（解析版） （2大类型精选30题） 1．对于一个四位自然数，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“凤鸣数”．如：四位数8642，，，是“凤鸣数”．若四位自然数是“凤鸣数”，则这个数是 ；一个“凤鸣数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．若能被3整除，则满足条件的的最大的数是 ． 【答案】 7421 9863 【知识点】有理数四则混合运算、新定义下的实数运算、整式加减的应用 【分析】①根据“凤鸣数”的定义可得，，求出m，n的值即可得这个数；②先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被3整除可得b最大为8，再根据定义求出d、c的值即可求解． 【详解】解：根据题意，若四位自然数是“凤鸣数”, 则， ， ∴这个数是7421； 根据题意，，，， 则， 即， ， ， ， 若M最大，只需千位数字a取最大，即， ∴， ∵能被3整除， ∴b最大为8， 又， ，， ∴满足条件的M的最大值为9863． 故答案为：7421，9863． 【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键． 2．若一个四位自然数的千位数字与百位数字之差的绝对值为十位数字，千位数字、百位数字与个位数字的和恰好为12，且这个四位数能被12整除，那么称这个数为“双12数”． 例如：，∵，，且，∴4404是“双12数”； 又如，∵，，但，∴1655不是“双12数”． 则1764 （填“是”或“否”）“双12数”；若一个“双12数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，当为整数时，求出所有满足条件的的平均值为 ． 【答案】 是 【知识点】有理数四则混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值，理解“双12数”的定义是解题关键．根据“双12数”的定义即可得是“双12数”；先求出，，，再分两种情况：①和②，根据为整数逐个讨论的值，由此即可得． 【详解】解：∵，，， ∴是“双12数”． ∵一个“双12数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴，，， ①当时，，， ∴，， ， ∵为整数， ∴时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，能被12整除； 时，，此时，能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； ②当时，，， ∴，， ， ∵为整数， ∴时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 综上，所有满足条件的的值为，，， 则所有满足条件的的平均值为， 故答案为：是，． 3．如果一个四位数各个数位数字互不相等且均不为0，若满足，则称这样的四位数为“好运平方差数”，并规定，．例如：6237，因为，所以6237是一个“好运平方差数”，，．若是最小的“好运平方差数”，则是 ．若（，，，是整数，且，，，）是一个“好运平方差数”，且能被6整除，则所有满足条件的中的最小值为 ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、整式加减的应用、运用平方差公式进行运算、加减消元法 【分析】由题意可得，且，结合得出，，推出，再分情况讨论即可得解；由题意得出，，求出，得到，即能被6整除，结合题意得出或或或，分情况计算即可得解． 【详解】解：∵一个四位数各个数位数字互不相等且均不为0， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当，时，，此时，，不符合题意； 当，时，，此时，，不符合题意； 当，时，，此时，，符合题意，为； 当，时，，此时，，不符合题意； 当，时，，此时，，符合题意，为； ∵， ∴是； ∵（，，，是整数，且，，，）是一个“好运平方差数”， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵能被6整除， ∴能被6整除， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴或或或， 当时，即，此时，即，，此时为，不符合题意； 当时，即，此时，不符合题意； 当时，即，此时，即，，此时为，； 当时，即，此时，即，，此时为，； ∵， ∴的最小值为； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了整式加减的应用、因式分解的应用、解二元一次方程组、平方差公式的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 4．我们规定：如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中m与n都是两位数，m与n的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数A为“合十数”，并把数A分解成的过程，称为“合十分解”．例如：因为，22和28的十位数字相同，个位数字之和为10，所以616是“合十数”，616分解成的过程就是“合十分解”．按照这个规定，最小的“合十数”是 ．把一个“合十数”A进行“合十分解”，即，若，，令，若能被3整除，则满足条件的A的最大值为 ． 【答案】 209 5624 【知识点】新定义下的实数运算、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题是新定义题，主要考查了列代数式，要使“合十数”最小，则m与n的十位数字为1，设m的个位数字为x，则n的个位数字为，得，根据二次函数的性质可得或时，“合十数”最小；设m与n的十位数字为y，则，，，根据已知推出是整数，要使“合十数”A最大，则优先取最大数，优先代入的最大值，若满足是整数，再得出的值，代入m与n，再由即可得A的最大值． 【详解】解：由题意得，要使“合十数”最小，则m与n的十位数字为1，设m的个位数字为x，则n的个位数字为， ∴，， ∴， ∵， ∴当或时，“合十数”最小为； 设m与n的十位数字为y，m的个位数字为x，则n的个位数字为， ∴，， ∴，， ∴， ∵能被3整除， ∴是整数， 要使“合十数”A最大，则优先取最大数， 当时，不能为整数， 当时，不能为整数， 当时，，或时，可以为整数， ∴当，时，满足条件的“合十数”A最大， 此时，，，； 故答案为：209；5624． 5．对于一个四位自然数，如果各个数位上的数字均不为零，且它的千位数字与百位数字的平方差的绝对值恰好等于去掉千位数字与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“向阳数”．例如：四位数，，是“向阳数”又如：四位数，，不是“向阳数”，则最小的“向阳数”是 ；若一个“向阳数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为（其中，，，，，，，均为整数），规定，，的各个数位上的数字之和为．若能被整除，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、不等式的性质、列代数式、整式的加减运算 【分析】本题考查不等式的性质，解二元一次方程，整式的加减，列代数式，熟练根据题意正确列出式子或等式是解题的关键．根据定义可得， 要求最小的“向阳数”，令，要使，则是两位数，则最小可取，此时，即，，即可求最小的“向阳数”； 由，分两种情况讨论：①当时，，得出，由能被整除，可知能被整除，利用不等式性质得出，则可得，求解计算即可； ②当时，，求出，同①方法求解，最后比较大小即可． 【详解】解：设四位自然数（其中，，，，，，，均为整数）， 根据定义可得， 要求最小的“向阳数”，令， 要使，则是两位数， 则最小可取， 此时，即，， 则最小的“向阳数”为； ∵，， ①当时，， ∴， ∴， ∵能被整除， ∴能被整除， ∵，， ∴， ∴，其中，，，均为整数， 解得：或， 当时，， ∴，， ∴； 当时，， ∴，， ∴； ②当时，， ∴， ∴， ∵能被整除， ∴能被整除， ∵，， ∴， ∴， ∴，其中，，，均为整数， 解得：或， 当时，， ∴，， ∴； 当时，， ∴，（不合题意，舍）； 综上，满足条件的为，，， ∵， ∴满足条件的最大为， 故答案为：；． 6．对于一个四位自然数，若满足，那么称这个四位数为“临风数”．例如，四位数2367，∵，∴2367是一个“临风数”．若一个四位数是“临风数”，则的值为 ；若一个四位数是“临风数”，记，，当能被7整除时，则满足条件的四位数最大值与最小值的和为 ． 【答案】 3 9981 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了新定义下的整式的加减运算．根据“临风数”的定义可得，解方程求出的值即可；根据“临风数”定义得，得出是4的倍数，是5的倍数，设，分，，讨论求出最大数和最小数即可． 【详解】解：对于四位数有：， ∵， ∴中，，， ∴， 解得：； ∵ ∴， 整理得，， ∴， ∵ ∴是4的倍数，是5的倍数， ∵，， ∴； 设，则当时，； 当时，，； 当时，； 要使四位自然数最大，则最大，最大，且能被7整除， 当，时，， 此时，此时不成立； ， 此时，此时不成立； ， 此时，此时不成立； ， 此时，此时不成立； ， 此时，此时不成立； 此时，此时不成立； 此时，此时成立； ∴满足条件的最大数为：8748； 要使四位自然数最小，则最小，最小，且能被7整除， 当，时，， 此时，此时不成立； ， 此时，此时不成立； ， 此时，此时成立， ∴满足条件的四位自然数是1233， ∴满足条件的四位数最大值与最小值的和为， 故答案为：9981 7．对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，称这个数为“开心数”．则最大的“开心数”是 ；若“开心数”（，且均为整数），规定将的十位数字与百位数字之差记为，若正整数都是“开心数”，其中，（，，且都是整数），当能被3整除时，求满足条件的所有正整数的和为 ． 【答案】 9876 7114 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题主要考查整式加减运算及代数式的值，解题的关键是理解“开心数”的定义；因此此题可根据“开心数”意义得到最大的“开心数”，然后根据题意可得s的十位数字是，百位数字是5，千位数字是n，个位数字是7，t的十位数字是，百位数字是4，千位数字是3，个位数字是，则有，，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可知：千位一定要最大，故千位数字为9，百位数字为8，十位上的数字则为7，个位数的数字为6，所以最大的“开心数”是9876； ∵， ∴s的十位数字是，百位数字是5，千位数字是n，个位数字是7， ∴， ∵，， ∴t的十位数字是，百位数字是4，千位数字是3，个位数字是， ∴， ∴， ∵s、t是“开心数”， ∴，， ∴，， ∴当时，，则， ∵能被3整除， ∴或1， 解得：或5，即或4，所以或4567； 当时，，则， 由于为整数，此时m的值不存在； 当时，，则，由于为整数，此时m的值不存在； 当时，，则， ∵能被3整除， ∴或1， 解得：或5，即或4，所以或4567； 综上或； 综上所述：满足条件的所有正整数的和为； 故答案为9876；7114． 8．如果一个四位自然数M各数位上的数字互不相等且不为0，其中千位和十位之和为8，百位和个位之和也为8，我们称M为“花开数”，记．如果一个四位自然数N各数位上的数字互不相等且不为0，其中千位和十位之和为9，百位和个位之和也为9，我们称N为“长久数”，记．若A为“花开数”，B为“长久数”．当A取最大值，B取最小值时，则 ；若被9除余8，被10整除，当的值为某个自然数的平方时，B的值为 ． 【答案】 90 4653 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查整式加减的应用，根据已知条件得出A和B之间存在的数量关系是解题的关键． （1）当A取最大值，要使A的千位取最大数字7，百位数字取次大数字6；B取最小值时，要使B的千位取最小数字1，百位数字取次小数字2，由此求出A，B的值，再代入计算即可； （2）设A的千位数字为a，百位数字为b，可得，设B的千位数字为m，百位数字为n，可得；根据被9除余8，可得；根据被10整除，可得；计算出，分情况分别讨论，通过尝试判断是否有符合条件的m即可． 【详解】解：（1）当A取最大值，B取最小值时，，， ； （2）设A的千位数字为a，百位数字为b，其中，， 则， ； 设B的千位数字为m，百位数字为n，其中，， 则， ； 被9除余8， 能被9带除， ，是9的倍数， ， ； 被10整除， ，是10的倍数， ， ； ， 分情况讨论： 当，时，， 通过尝试可知，只有时，，是自然数8的平方， 此时，，，符合题意； 当，时，， 通过尝试可知，没有m的值可以使是自然数的平方； 当，时，或，时，不满足各数位上的数字互不相等，不合题意； 当，时，， 通过尝试可知，没有m的值可以使是自然数的平方； 当，时，， 通过尝试可知，只有时，，是自然数8的平方， 此时，，，不满足各数位上的数字互不相等，不合题意； 综上可知，B的值为4653． 故答案为：90；4653． 9．如果一个四位数满足，，那么称这个四位数为“国庆数”．将“国庆数”的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为，记．例如：四位数，∵，∴不是“国庆数”；又如：四位数，∵，，∴是“国庆数”，．若是最大的“国庆数”，则 ；对于“国庆数”，若能被整除，记，当取得最大值时，最小的“国庆数”为 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、已知式子的值，求代数式的值、不等式的性质、二元一次方程的解 【分析】本题考查整式的加减，二元一次方程的解，不等式的性质，代数式求值，熟练根据题意正确列出式子，并利用不等式性质确定范围是解题的关键．先利用定义得出，，然后计算出；若是最大的“国庆数”，结合，，则要尽可能大，且要尽可能大，即可得；利用，则要使能被整除，只需能被整除即可，结合，，得出可以为或或，且每种情况都有解，再利用，求出最大的，此时，再结合要使最小，则应尽可能小，即可求解． 【详解】解：∵一个四位数满足，， ∴，，且，，，，且、、、为整数， ∴， 由题意得， ∴， ∴； 若是最大的“国庆数”， 则要尽可能大， 则，， 且要尽可能大， 则，， 则此时， 则； ∵， ∴要使能被整除，只需能被整除即可， ∵，， ∴， ∴可以为或或，且每种情况都有解， ∵， 当时，； 当时，； 当时，； ∴要使取得最大值，则， ∴， 要使最小，则应尽可能小， 结合，，，可得最小为， 则，，， ∴当取得最大值时，最小的“国庆数”为， 故答案为：；． 10．对于一个四位数，满足千位数字的平方减去个位数字的平方之差等于由百位数字与十位数字组成的两位数，则称这样的四位数为“首尾平方呼应数”，并规定，例如：6204，因为，所以6204是一个“首尾平方呼应数”，则．若是一个“首尾平方呼应数”，则 ；若（，，，是整数，且，，，）是一个“首尾平方呼应数”，且能被2整除，则所有满足条件的的最大值为 ． 【答案】 5 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知式子的值，求代数式的值、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了实数的新定义运算，已知字母的值求代数式的值，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由“首尾平方呼应数”的定义列式，结合为正整数，且，为整数，且，即可得，，则；同理，根据“首尾平方呼应数”的定义得，结合要取最大值，则最高位的数尽可能大，故，，然后算出，再结合能被2整除，，，进行分析即可作答． 【详解】解：∵对于一个四位数，满足千位数字的平方减去个位数字的平方之差等于由百位数字与十位数字组成的两位数，则称这样的四位数为“首尾平方呼应数”，且是一个“首尾平方呼应数”， ∴， ∴， ∵为正整数，且，为整数，且， ∴， 则， 解得； 则， ∴， 故； ∵（，，，是整数，且，，，）是一个“首尾平方呼应数”， ∴， ∵要取最大值， ∴则最高位的数尽可能大，即为， 则， 其次也要取最大值， 尽可能小， ∴则，即， 则， 即， ∴， ∵要取最大值， ∴，则， ∴． ∴为， ∵能被2整除，，， ∴， 则， ∵能被2整除， 即满足能被2整除， ∴所有满足条件的的最大值为， 故答案为：5，． 11．如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴ 2335是“会意数”．则．那么“会意数”，则 ；已知四位自然数是“会意数”，（，，且a、b、c、d均为正整数），若恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是 ． 【答案】 21 4117 【知识点】有理数四则混合运算、整式加减的应用 【分析】本题考查新定义运算，涉及有理数的四则运算、整式的加减运算，理解新定义是解答的关键．根据新定义先求得，进而求得；根据新定义得到S各个数位上的数字，表示出S和，计算出，根据b、d的取值范围即可找到满足条件的S的最大值． 【详解】解：由“会意数”得， ∴； ∵四位自然数是“会意数”， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵恰好能被8整除， ∴是整数， ∴是8的倍数， ∵，，且b、d均为正整数， ∴要使S取最大值，则千位上的数字a取最大，则b取最小，则，， ∴满足是8的倍数，此时， ∴满足条件的数S的最大值是4117， 故答案为：21，4117． 12．一个各位数字均不为0的四位数，且满足各数位数字之和能被十位数字整除，则称这个四位数为“希福数”．若为“希福数”，则 ；将的个位数字放在千位数字前记为，将的个位数字放在千位数字前记为，将的个位数字放在千位数字前记为，规定．已知一个四位数（，，）是“希福数”，若能被6整除，则满足条件的的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 2 【知识点】新定义下的实数运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了整除问题以及新定义“希福数”，根据“希福数”定义直接求解，即可得到答空1答案，先根据“希福数”得到与、的关系，再结合能被6整除求解即可得到答案； 【详解】解：∵为“希福数”， ∴能被9整除，即为整数，且， ∴， 故答空1答案为：2； ∵是“希福数”， ∴能被整除， ∴能被整除， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵，，， ∴ ∵能被6整除， ∴或或或或或或或， ∵能被整除， ∴最小值为，，，即， ∴最大值为，，，即， ∴， 故答空2答案为：． 13．如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“胜利数”．将“胜利数”的千位数字与十位数字对调后，再将这个四位数的百位去掉，这样得到的三位数记为，记，例如：四位数1729，∵，∴1729不是“胜利数”，又如：四位数5432，∵，∴5432是“胜利数”，.若能被7整除，令，则所有满足条件的之和是 ；若对于“胜利数”，在能被7整除的情况下，记，则当取得最大值时，“胜利数”是 ． 【答案】 30 8129 【知识点】新定义下的实数运算、二元一次方程的解 【分析】本题考查的是数的整除，乘法分配律的灵活应用，二元一次方程的正整数解问题，由，可得能被7整除，再分类讨论即可．清晰的分类讨论是解本题的关键． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵能被7整除， ∴能被7整除， ∵，， ∴， ， ∴，21或35， ∴，10，17， ∴满足条件的t之和是． 要使 最大，则应尽可能大，且c尽可能小， ∴，此时， ∵，10或17， ∴c最小为2，此时“胜利数”S是8129． 故答案为：30，8129． 14．对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示 ，当能被20整除时，k的所有取值之积为 ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】由题意可知，，求得，，，由，，可知，根据能被20整除，可得，可得，，当，6，7，8时：，，，，即可求出k的所有取值之积． 【详解】解：∵若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵能被20整除， ∴，则，即： ∴，， ∵各个数位上的数字都不为零且互不相同， ∴， ∴当，6，7，8时：，，，， ∴k的所有取值之积为：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，阅读理解题目是本题的关键． 15．一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为 ．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为 ． 【答案】 7807 9507 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了列代数式、整除等知识点．根据定义得出最大的“压轴数”与最小的“压轴数”，计算即可；根据定义计算出和，然后根据能被7整除且能被13整除，即可求解． 【详解】解：要想使“压轴数”最大，则千位是最大的一位数， 又∵各个数位上的数字均不为零，个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴千位不能为9，即千位最大是8，最小是1， ∴最大的“压轴数”是8919，最小的“压轴数”是1112， 则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为； ，， ∴， ∵个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴，， ∴， ∴， ∵能被7整除且能被13整除， ∴能被7整除，能被13整除， ∵ ∴， ∴， ∴能被7整除， ∵， 当，时，能被7整除，此时； 当，时，能被7整除，此时； 其余取值均不符合， ∴满足条件的值的和为； 故答案为：7807，9507． 16．对于一个四位自然数N，如果N满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数N为“同差数”．对于一个“同差数”N，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t，规定：．例：，因为，故：是一个“同差数”．所以：，则：．已知是一个“同差数”，则 ．若自然数P，Q都是“同差数”，其中（，x，y，m，n都是整数），规定：，当能被11整除时，则k的最大值为 ． 【答案】 1 【知识点】整式加减的应用、不等式的性质、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了整式加减的应用、不等式的性质、有理数加减乘除运算的应用．理解“同差数”的定义，善于把新知识转化为常规知识来解决问题是解题关键． （1）根据“同差数”的定义求得s和和t，进而求得； （2）根据“同差数”的定义和已知条件，求得，进而求得，再根据字母的取值范围，分情况考虑即可求出k的最大值． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∵，其中， ∴P的千位数字为x，百位数字为6，十位数字为，个位数字为6， ∴由“同差数”知：， 即； 而， ， ∴； ∵，其中， ∴Q的千位数字为3，百位数字为m，十位数字为，个位数字为， ∴由“同差数”知：， 即； 而， ， ∴； ∴， ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵能被11整除， ∴或0或11； ①当时，， ∵， ∴或， ∴或4， 当时，； 当时，，不合题意； ∴； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴不存在； ③当时，， ∵， ∴， ∴或， ∴或2； 当时，； 当时，，不合题意； ∴； ∴的最大值为； 故答案为：1；． 17．对于一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“通关数”．对于通关数，将其千位与百位的差替换原来的千位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将其千位与百位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，记．例如：当时，，，．若为最大的通关数，则 ；一个通关数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若能被6整数，且是一个完全平方数，则满足条件的通关数的最大值与最小值之和为 ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、列代数式、整式加减的应用、不等式的性质 【分析】本题考查数式的新定义计算，涉及有理数的运算，列代数式，整式的加减运算，不等式的性质，熟练读懂新定义，并可以根据新定义列式是解题的关键．根据定义即可得出最大的“通关数”为，再计算即可；由题意，可得，，， 求出，进而得到是3的倍数，的值可能为，再根据a的取值结合是一个完全平方数，来决定通关数的最大值与最小值，从而确定即可解答． 【详解】解：根据为最大的“通关数”， 当千位上的数字为9时，百位上的数字为7，则十位上的数字1，个位上的数字为7， ∴最大的“通关数”为， ∴， ∵， ∴，， ∴； 由题意，可得，，， ∴， ∴， ∵能被6整数， ∴是6的倍数， ∴是3的倍数， ∵，，，， ∴的值可能为：， ∵，， ∴，，， ∴， ∴或或或， 当最小时，即时，通关数可能存在最小值， 此时，没有符合的b值（舍去）； ∴当时，通关数可能存在最小值， 此时，符合条件，则， 当时，是一个完全平方数，即， ∴通关数的最小值为； 当最大时，即时，通关数可能存在最大值， 此时，时，通关数最大，则， ∴是一个完全平方数或是一个完全平方数， ∴或（舍去）， ∴通关数的最大值为； ∴通关数的最大值与最小值之和为， 故答案为：；． 18．一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多，则称这样的四位数为“乙巳数”，如：，，是“乙巳数”，已知“乙已数”（为整数，，），将的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到一个新数，记，．已知能被整除且（为整数），则 ，所有满足条件的“乙巳数”中，最大值与最小值的差是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义，数字规律，整式的混合运算，理解题目中的计算关系，找出的取值是关键． 根据题意，，，则，根据能被整除，得到，则，结合题意得到，，，由此分类讨论，根据，（为整数）确定的值，由此即可求解． 【详解】解：已知“乙已数”（为整数，，）， ∴， 将的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到一个新数， ∴， ∴ ， ∴， ∵能被整除， ∴当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∵，，且，， ∴，，，且，（为整数）， 当时， ∵（为整数）， ∴， 当时， ∴均不符合题意； 当时， ∴均不符合题意； 当时， ∵（为整数）， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：①；② ． 19．一个四位数各数位上的数字互不相等且均不为0，若将的千位数字和百位数字组成的两位数与的十位数字和个位数字组成的两位数相加，和为完全平方数，则称这个四位数为“方数”．例如：四位数，，是“方数”，则最大的“方数”是 ，若是一个“方数”，且是整数，则满足条件的最大值与最小值的差是 ． 【答案】 【知识点】整式加减的应用、二元一次方程的解 【分析】本题考查了完全平方数，整式的加减，二元一次方程组的解，整除；根据题意最大的方数前两位为，再找，根据，求得最大的“方数”；根据①各数位上的数字互不相等且均不为0；②是的倍数，③是一个完全平方数，得出，进而找到最大的和最小的，即可求解． 【详解】解：依题意，一个四位数各数位上的数字互不相等且均不为0， 最大的方数前两位为， 又∵， ∴ ∴是最大的“方数”； ∵ 是的倍数， ∴是的倍数， 当时，不是的倍数， ∵是一个“方数”， 则即是一个完全平方数，各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴ 当时，或 经检验，，，满足 且是的倍数，则最大为 当时，，经检验，没有满足条件的值， 当时，，经检验，没有满足条件的值， 当时，， 经检验，，，满足 且是的倍数，则最小为 ∴满足条件的最大值与最小值的差是 故答案为：，． 20．若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“方圆数”，那么最小的“方圆数”为 ；将一个“方圆数”的前两位数记为，后两位数记为，规定，．若都是整数，则满足条件的的最大值和最小值的差为 ． 【答案】 1026 8485 【知识点】列代数式、数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】（1）由a、b、c、d的取值范围，确定出最小的完全平方数为9，即可求解； （2）先根据题意推导出、能被5整除，求出符合题意的、的值，再根据题意得到或9，进而可得最大值为，最小值为，两数作差可得结论． 【详解】解：由题意可知：，，，，且a、b、c、d互不相等的正整数， ∴， 最小的完全平方数为9， 最小的“方圆数”为， ， 当时，， 最小的“方圆数”为； ，， ，， ，都是整数， ∴、能被5整除， ∵，，且、互不相等， ∴，， ∴或或，或， 当时，解得，符合题意； 当时，解得，符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 故， ∵，，且a、b、c、d互不相等的正整数， ∴， ∵为完全平方数， ∵，为完全平方数， ∴或9， 当时，此时，当，，，时，的值最大，为， 当时，此时，当，，，时，的值最小，为， ， 故答案为：1026，8485． 【点睛】本题考查了数字规律探索，代数式，整式的加减，整除的意义，理解新定义和掌握相关知识点是解决本题的关键． 21．对于任意一个四位数，其各个数位上的数字各不相同，如果千位数字比十位数字大3，百位数字比个位数字大1，则称这个四位数字为“差3倍数”．若是一个“差3倍数”，的千位数字记为，百位数字记为，十位数字记为，个位数字记为，将的千位数字和百位数字交换，十位数字和个位数字交换，得，记，若为偶数，则的最大值为 ；若，且被3除余2，则满足条件的“差3倍数”的值为 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，整式加减的应用，本题属于新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用“差3倍数”的定义表示出，由，结合为偶数，即可解答；同理表示出，且被3除余2，可得是3的倍数，根据“差3倍数”的定义结合数位上的数字的特征和整除的特性解答即可． 【详解】解：根据题意：， 则， ∴， ∵为偶数，且（为整数）， ∴为偶数， ∴为偶 数， ∴为， 当最大，则有最大值， 此时，，则，不符合题意； ，则，符合题意； ∴的最大值为； ∵被3除余2， ∴是3的倍数， ∵， ∴是3的倍数， ∵（为整数），， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴符合条件的代数式的值为：， 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 或，即，此时，，则的值为，符合题意； ∴满足条件的“差3倍数”为； 故答案为：，． 22．对于一个四位自然数M，其各个数位上的数字互不相同且均不为0，若满足个位数字与百位数字之差等于千位数字与十位数字之差的两倍，则称它为“缤纷数”，并规定等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差．记“缤纷数”，若为完全平方数，则 ；在前面的条件下，令，若为整数，则满足条件的M最大值与最小值之差为 ． 【答案】 4040 【知识点】整式加减的应用、有理数除法的应用 【分析】本题考查了整式的加减，理解新定义和整除的意义是解题的关键．先根据题中定义规则和是平方数求得，，进而可求得第一空答案；找出的各个数上的数字，再分别求出，再根据为整数，验证求解即可． 【详解】解：是“缤纷数”， ， ， ， 为完全平方数，即是完全平方数，又，且a，b，c，d均为整数， 或， 时，，不合题意，故舍去， ，则， ； 当时，， a，b，c，d互不相同， ∴①当，时，，，所以，此时不是整数，故舍去； ，，所以，此时不是整数，故舍去； ，，所以，此时不是整数，故舍去； ②当，时，，，所以，此时是整数，； ，，所以，此时不是整数，故舍去； ，，所以，此时不是整数，故舍去； ③当，时，，，所以，此时不是整数，故舍去； ，，所以，此时不是整数，故舍去； ④当，时，，，所以，此时不是整数，故舍去； ，，所以，此时不是整数，故舍去； ，，所以，此时不是整数，故舍去； ⑤当，时，，，所以，此时是整数，； ，，所以，此时不是整数，故舍去； ⑥当，时，，，所以，此时是整数，； ，，所以，此时不是整数，故舍去； ，，所以，此时不是整数，故舍去； ⑦当，时，，，所以，此时不是整数，故舍去； ，，所以，此时不是整数，故舍去； ，，所以，此时不是整数，故舍去； 综上，最大值为，最小值为， 最大值与最小值之差为， 故答案为：，． 23．一个三位自然数，其个位上的数字比十位上的数字大2，称为“不二数”；则最小的“不二数”是 ．一个“不二数”十位上的数字和个位上的数字组成的两位数是两个连续的奇数或者偶数的乘积，将个位数字与百位数字的平方差记作，十位数字与百位数字的差记作，并规定，当为偶数时，则满足条件的“不二数”的最大值与最小值之差为 ． 【答案】 102 600 【知识点】因式分解的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了新定义，因式分解的应用，求代数式的值，理解新定义是解答本题的关键． 根据“不二数”写出最小的“不二数”即可；设m的百位数字为h，十位数字是t，先根据一个“不二数”十位上的数字和个位上的数字组成的两位数是两个连续的奇数或者偶数的乘积筛选出两位数，计算出对应的n，k，判断是否为偶数，筛选出符合条件的m即可． 【详解】解：由题意得，最小的“不二数”是102． 设m的百位数字为h，十位数字是t， 当时，两位数是13，不符合题意； 当时，两位数是，连续偶数，符合题意，此时； 当时，两位数是，连续偶数，符合题意，此时； 同理可求，当时，所得两位数均不符合题意． 当时，， ， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； ∴． 当时，， ， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； ∴或或， ∴满足条件的“不二数”的最大值与最小值之差为． 故答案为：102；600． 24．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最小是 ；若四位自然数M是“方佳数”，将“方佳数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值 ． 【答案】 3162 4961 【知识点】新定义下的实数运算、因式分解的应用 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、一元一次方程的应用、因式分解的应用等知识点，理解新定义、正确推理计算是解题关键． 根据“方佳数”的定义可得，即，再确定a的最小值及b的值即可解答；设这个四位数，则，再结合“和方数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的a的值为4，进而得出满足条件的等式，即可得到M的最大值． 【详解】解：∵是“方佳数”， ∴，即， ∴当时，a有最小值3， ∴这个数最小是3162； 设这个四位数，则， ， ∵四位数M是“方佳数”， ∴， ∴， ∵能被33整除， ∴是整数， ∴是整数且，，，，， ∴满足条件的a的值为4， ∴， ∵要求M的最大值，则 ∴满足条件的M的最大值是． 故答案为：3162；4961． 25．一个各数位均不为0的四位自然数，其中a，b，c，d互不相同，若满足，则称M为“完美数”．例如：四位数6214，∵，∴6214是“完美数”．将M的百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数，并规定．若是最小的“完美数”，则 ；若是一个“完美数”，且（k为整数），M除以6余4，则满足条件的M的最大值是 ． 【答案】 8692 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减的应用，根据是最小的“完美数”，并结合“完美数”的定义可得，从而得出，再由计算即可得解；表示出、，求出结合得出，结合k为整数得出，进而得出，结合M除以6余4，得出或或或或或或或或或，再求解即可，理解“完美数”的定义，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：∵是最小的“完美数”， a，b，c，d互不相同，且为自然数，， ∴，，，， ∴， ∵将M的百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数， ∴， ∴； 由题意可得：， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵a，b，c，d互不相同，且为不为0自然数， ∴， ∵k为整数， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵M除以6余4，， ∴或或或或或或或或或， ∵求M的最大值， ∴， 解得：，此时，， ∴满足条件的M的最大值是， 故答案为：，． 26．若一个五位数的百位数字和千位数字都不为0，且满足，，则称该五位数为“差倍数”．规定：，．例如：42152，满足，，且，所以42152是“差倍数”，，．若是一个“差倍数”，，则的最大值为 ；若“差倍数”（，，，，，均为整数），且能被11整除，则满足条件的的值的和为 ． 【答案】 84293 63285 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用、整除性、一次不定方程 【分析】本题考查了整式的加减计算，解不定方程，数的整除，难度较大，正确理解题意是解题的关键． ①由，结合条件得到，继而得到，，继而可求解； ②先将S表示为，由新定义得满足，则，表示出，，则，问题化为需要被11整除即可，再分类讨论枚举即可． 【详解】解：①， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵若一个五位数的百位数字和千位数字都不为0，且满足， ∴最大为4，则最大为8， ∴， ∵， ∴最大为9，则， ∴的最大值为； ②∵， ∴， ∴， ∵五位数的百位数字和千位数字都不为0，满足， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ∴需要被11整除， ∵，， ∴， ∴可取， 当，则， ∴，则 ∴； 当，则， ∴，则（舍）； 当，则（舍）； 当，则（舍）； 当，则， ∴，则， ∴， 当，则（舍）， ∴满足条件的的值的和为， 故答案为：，． 27．若一个四位自然数A千位上的数字的2倍等于百位、十位、个位上的数字之和，则称A为“和数”，那么最小的“和数”为 ．已知一个四位自然数（其中a，b，c，d均为整数，，且，）是“和数”，且能被6整除，将B的千位数字的2倍与百位数字的差记为，个位数字的2倍与十位数字的和记为，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】 1002 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用、分式化简求值 【分析】本题考查了整式加减的应用，分式的化简求值，新定义，正确理解定义是解题的关键． 根据和数”的定义确定即可；根据题意得出自然数B的千位数字为a，百位数字是b，十位数字是，个位数字是，，再根据“和数”的定义以及该“和数”能被6整除得出或，再分类讨论解答即可． 【详解】解：根据“和数”的定义，得到最小“和数”百位、十位、个位上的数字之和最小且为2的正整数倍， 百位、十位、个位上的数字之和为2，该自然数千位上的数字为1， 最小的“和数”为1002， 根据题意可得自然数B的千位数字为a，百位数字是b， ∵， ∴， ∴， ∴十位数字是，个位数字是， 为，为， ， 根据“和数”定义得， 该“和数”能被6整除， ∴该“和数”为偶数且各位上的数字之和为3的倍数， ，为偶数， 或6， ①当时，，即， ， 令，则，原式， 当时，原式取到最大值为； ②当时，，， 令，则， 原式， 当时，原式取到最大值为， 综上所述，的最大值为， 故答案为：1002；． 28．一个四位正整数，将其前两位数字与后两位数字整体交换位置，组成新的四位数，并且规定：，等于的后两位数字之和．若是的倍数，则为“超越数”．例如：四位数，则，因为是的倍数，所以是“超越数”．则 ；如果四位数（，且、为整数）是一个“超越数”，且为偶数，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、列代数式 【分析】本题考查列代数式及新定义问题，根据新定义可求得，列出代数式，再根据题意进行计算求解满足条件的的最大值． 【详解】解：， 由题意得 是的倍数， ∵是偶数 ∴是奇数， ∴时，，不是的倍数，舍去； 时，，不是的倍数，舍去； 时，，不是的倍数，舍去； 时，，不是的倍数，舍去； 时，，不是的倍数，舍去； 时，，不是的倍数，舍去； 时，，是的倍数， ∴的最大值为． 故答案为：；． 29．一个四位自然数，若它的千位数字与十位数字之和为9，百位数字与个位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“数”．若将一个“数”的千位数字与个位数字交换位置后，得到一个新的四位数．规定．例如：，∵，∴1283是“数”，则．若“数”，则 ；已知是“数”（均为正整数），若被7整除，则满足条件的的最大值是 ． 【答案】 5 8114 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了新定义下实数的运算、整式加减的应用，解题的关键在于理解“数”的定义，正确列式计算．根据题意直接计算，即可求解；根据“数”的定义，得出，，由题意可得，即可求解出满足条件的的最大值． 【详解】解：根据题意，； ∵是“数”， ∴，， ， ∵，，各位数字均不为0， ∴，， ∴当取最小值1时，最大，此时才有可能取最大值， ∵被7整除， ∴能被7整除， ∴当，能被7整除时，， ∴此时， 满足条件的的最大值是． 故答案为：；8114． 30．一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多，则称这样的四位数为“多益数”, 如: ，∵, ∴是“多益数”；又如：， ∵，∴不是“多益数”；现有一个“多益数”，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为（，），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数 ，若 ，能被整除, 则 ；规定 ，若为完全平方数，则满足条件的“多益数”中，最大值与最小值的差是 ． 【答案】 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查整式的运算，，据此即可求得的值；进一步可知，结合的数值，分情况讨论：，，，，即可求得答案． 【详解】根据题意可知，． ，． 因为能被整除，所以． ∵，， ∴． 当时，． ∵， ∴． ∴． ∵为完全平方数， ∴． ∴（舍去）． 同理，当时，，，当时，，，当时，，， ∴满足条件的“多益数”中，最大值与最小值的差． 故答案为：　　 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 材料阅读双空问题（原卷版） （直属校精选30题） 1．对于一个四位自然数，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“凤鸣数”．如：四位数8642，，，是“凤鸣数”．若四位自然数是“凤鸣数”，则这个数是 ；一个“凤鸣数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．若能被3整除，则满足条件的的最大的数是 ． 2．若一个四位自然数的千位数字与百位数字之差的绝对值为十位数字，千位数字、百位数字与个位数字的和恰好为12，且这个四位数能被12整除，那么称这个数为“双12数”． 例如：，∵，，且，∴4404是“双12数”； 又如，∵，，但，∴1655不是“双12数”． 则1764 （填“是”或“否”）“双12数”；若一个“双12数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，当为整数时，求出所有满足条件的的平均值为 ． 3．如果一个四位数各个数位数字互不相等且均不为0，若满足，则称这样的四位数为“好运平方差数”，并规定，．例如：6237，因为，所以6237是一个“好运平方差数”，，．若是最小的“好运平方差数”，则是 ．若（，，，是整数，且，，，）是一个“好运平方差数”，且能被6整除，则所有满足条件的中的最小值为 ． 4．我们规定：如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中m与n都是两位数，m与n的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数A为“合十数”，并把数A分解成的过程，称为“合十分解”．例如：因为，22和28的十位数字相同，个位数字之和为10，所以616是“合十数”，616分解成的过程就是“合十分解”．按照这个规定，最小的“合十数”是 ．把一个“合十数”A进行“合十分解”，即，若，，令，若能被3整除，则满足条件的A的最大值为 ． 5．对于一个四位自然数，如果各个数位上的数字均不为零，且它的千位数字与百位数字的平方差的绝对值恰好等于去掉千位数字与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“向阳数”．例如：四位数，，是“向阳数”又如：四位数，，不是“向阳数”，则最小的“向阳数”是 ；若一个“向阳数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为（其中，，，，，，，均为整数），规定，，的各个数位上的数字之和为．若能被整除，则满足条件的的最大值为 ． 6．对于一个四位自然数，若满足，那么称这个四位数为“临风数”．例如，四位数2367，∵，∴2367是一个“临风数”．若一个四位数是“临风数”，则的值为 ；若一个四位数是“临风数”，记，，当能被7整除时，则满足条件的四位数最大值与最小值的和为 ． 7．对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，称这个数为“开心数”．则最大的“开心数”是 ；若“开心数”（，且均为整数），规定将的十位数字与百位数字之差记为，若正整数都是“开心数”，其中，（，，且都是整数），当能被3整除时，求满足条件的所有正整数的和为 ． 8．如果一个四位自然数M各数位上的数字互不相等且不为0，其中千位和十位之和为8，百位和个位之和也为8，我们称M为“花开数”，记．如果一个四位自然数N各数位上的数字互不相等且不为0，其中千位和十位之和为9，百位和个位之和也为9，我们称N为“长久数”，记．若A为“花开数”，B为“长久数”．当A取最大值，B取最小值时，则 ；若被9除余8，被10整除，当的值为某个自然数的平方时，B的值为 ． 9．如果一个四位数满足，，那么称这个四位数为“国庆数”．将“国庆数”的千位数字与十位数字对调后，再将百位数字去掉，得到一个三位数记为，记．例如：四位数，∵，∴不是“国庆数”；又如：四位数，∵，，∴是“国庆数”，．若是最大的“国庆数”，则 ；对于“国庆数”，若能被整除，记，当取得最大值时，最小的“国庆数”为 ． 10．对于一个四位数，满足千位数字的平方减去个位数字的平方之差等于由百位数字与十位数字组成的两位数，则称这样的四位数为“首尾平方呼应数”，并规定，例如：6204，因为，所以6204是一个“首尾平方呼应数”，则．若是一个“首尾平方呼应数”，则 ；若（，，，是整数，且，，，）是一个“首尾平方呼应数”，且能被2整除，则所有满足条件的的最大值为 ． 11．如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称M为“会意数”．把四位数M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴ 2335是“会意数”．则．那么“会意数”，则 ；已知四位自然数是“会意数”，（，，且a、b、c、d均为正整数），若恰好能被8整除，则满足条件的数S的最大值是 ． 12．一个各位数字均不为0的四位数，且满足各数位数字之和能被十位数字整除，则称这个四位数为“希福数”．若为“希福数”，则 ；将的个位数字放在千位数字前记为，将的个位数字放在千位数字前记为，将的个位数字放在千位数字前记为，规定．已知一个四位数（，，）是“希福数”，若能被6整除，则满足条件的的最大值与最小值的和为 ． 13．如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“胜利数”．将“胜利数”的千位数字与十位数字对调后，再将这个四位数的百位去掉，这样得到的三位数记为，记，例如：四位数1729，∵，∴1729不是“胜利数”，又如：四位数5432，∵，∴5432是“胜利数”，.若能被7整除，令，则所有满足条件的之和是 ；若对于“胜利数”，在能被7整除的情况下，记，则当取得最大值时，“胜利数”是 ． 14．对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示 ，当能被20整除时，k的所有取值之积为 ． 15．一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为 ．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为 ． 16．对于一个四位自然数N，如果N满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数N为“同差数”．对于一个“同差数”N，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t，规定：．例：，因为，故：是一个“同差数”．所以：，则：．已知是一个“同差数”，则 ．若自然数P，Q都是“同差数”，其中（，x，y，m，n都是整数），规定：，当能被11整除时，则k的最大值为 ． 17．对于一个四位自然数，各个数位上的数字均不为零，如果满足百位与十位数字之和小于千位数字，同时百位与十位数字之和大于个位数字，就称这个数为“通关数”．对于通关数，将其千位与百位的差替换原来的千位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将其千位与百位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，记．例如：当时，，，．若为最大的通关数，则 ；一个通关数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若能被6整数，且是一个完全平方数，则满足条件的通关数的最大值与最小值之和为 ． 18．一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多，则称这样的四位数为“乙巳数”，如：，，是“乙巳数”，已知“乙已数”（为整数，，），将的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到一个新数，记，．已知能被整除且（为整数），则 ，所有满足条件的“乙巳数”中，最大值与最小值的差是 ． 19．一个四位数各数位上的数字互不相等且均不为0，若将的千位数字和百位数字组成的两位数与的十位数字和个位数字组成的两位数相加，和为完全平方数，则称这个四位数为“方数”．例如：四位数，，是“方数”，则最大的“方数”是 ，若是一个“方数”，且是整数，则满足条件的最大值与最小值的差是 ． 20．若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“方圆数”，那么最小的“方圆数”为 ；将一个“方圆数”的前两位数记为，后两位数记为，规定，．若都是整数，则满足条件的的最大值和最小值的差为 ． 21．对于任意一个四位数，其各个数位上的数字各不相同，如果千位数字比十位数字大3，百位数字比个位数字大1，则称这个四位数字为“差3倍数”．若是一个“差3倍数”，的千位数字记为，百位数字记为，十位数字记为，个位数字记为，将的千位数字和百位数字交换，十位数字和个位数字交换，得，记，若为偶数，则的最大值为 ；若，且被3除余2，则满足条件的“差3倍数”的值为 ． 22．对于一个四位自然数M，其各个数位上的数字互不相同且均不为0，若满足个位数字与百位数字之差等于千位数字与十位数字之差的两倍，则称它为“缤纷数”，并规定等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差．记“缤纷数”，若为完全平方数，则 ；在前面的条件下，令，若为整数，则满足条件的M最大值与最小值之差为 ． 23．一个三位自然数，其个位上的数字比十位上的数字大2，称为“不二数”；则最小的“不二数”是 ．一个“不二数”十位上的数字和个位上的数字组成的两位数是两个连续的奇数或者偶数的乘积，将个位数字与百位数字的平方差记作，十位数字与百位数字的差记作，并规定，当为偶数时，则满足条件的“不二数”的最大值与最小值之差为 ． 24．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最小是 ；若四位自然数M是“方佳数”，将“方佳数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值 ． 25．一个各数位均不为0的四位自然数，其中a，b，c，d互不相同，若满足，则称M为“完美数”．例如：四位数6214，∵，∴6214是“完美数”．将M的百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数，并规定．若是最小的“完美数”，则 ；若是一个“完美数”，且（k为整数），M除以6余4，则满足条件的M的最大值是 ． 26．若一个五位数的百位数字和千位数字都不为0，且满足，，则称该五位数为“差倍数”．规定：，．例如：42152，满足，，且，所以42152是“差倍数”，，．若是一个“差倍数”，，则的最大值为 ；若“差倍数”（，，，，，均为整数），且能被11整除，则满足条件的的值的和为 ． 27．若一个四位自然数A千位上的数字的2倍等于百位、十位、个位上的数字之和，则称A为“和数”，那么最小的“和数”为 ．已知一个四位自然数（其中a，b，c，d均为整数，，且，）是“和数”，且能被6整除，将B的千位数字的2倍与百位数字的差记为，个位数字的2倍与十位数字的和记为，则满足条件的的最大值为 ． 28．一个四位正整数，将其前两位数字与后两位数字整体交换位置，组成新的四位数，并且规定：，等于的后两位数字之和．若是的倍数，则为“超越数”．例如：四位数，则，因为是的倍数，所以是“超越数”．则 ；如果四位数（，且、为整数）是一个“超越数”，且为偶数，则满足条件的的最大值为 ． 29．一个四位自然数，若它的千位数字与十位数字之和为9，百位数字与个位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“数”．若将一个“数”的千位数字与个位数字交换位置后，得到一个新的四位数．规定．例如：，∵，∴1283是“数”，则．若“数”，则 ；已知是“数”（均为正整数），若被7整除，则满足条件的的最大值是 ． 30．一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多，则称这样的四位数为“多益数”, 如: ，∵, ∴是“多益数”；又如：， ∵，∴不是“多益数”；现有一个“多益数”，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为（，），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数 ，若 ，能被整除, 则 ；规定 ，若为完全平方数，则满足条件的“多益数”中，最大值与最小值的差是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$