专题15二次函数角度存在性问题　2025年九年级中考复习数学试题（重庆专用）

专题15 二次函数角度存在性问题（解析版） （3大类型精选30题） 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，连接，点是轴上一点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，作直线交抛物线于点．点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交于点．当线段长度取得最大值时，在直线上有两动点、（点在点的上方），当时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，连接，点、分别为新抛物线上的两点，当时，连接，若线段被直线平分，求点的坐标（写出必要的求解过程）． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及一次函数，二次函数的图象与性质，架桥铺路最值问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的最值方法和利用交构造一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，设，得出，则可得出关于的式子，即可求最值，利用架桥铺路模型，通过平移构造将军饮马问题，即可求出的最值； （3）利用平移求出新抛物线解析式为平移后的抛物线为，利用交构造一线三垂直全等模型，求出直线的解析式，设，由线段被直线平分，，得出中点的坐标为，且点在直线上，代入直线的解析式，即可求解，注意分当点在直线下方和上方两种情况讨论． 【详解】（1）解：把、代入中， 得， 解得：， ∴； （2）解：中， 令，得， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 由， 解得：或， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵点是直线上方抛物线上一动点， ∴， ∵，的对称轴为直线， ∴当时，取得最大值， 此时，点的横坐标为， 如图，作点关于直线的对称点， ∴，， 将沿方向向下平移个单位长度得到， 则，， 则， 当、、共线时，取得最小值， 此时； （3）解：∵，， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴相当于抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∵原抛物线为， ∴平移后的抛物线为， 令，则， ∴， ①当点在直线下方时， 如图，过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点， ∴，，四边形和四边形为矩形， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵线段被直线平分，， ∴中点的坐标为，且点在直线上， ∴， 解得：，， 分别代入， 得，； ②当点在直线上方时， 同理可得直线解析式为， 联立新抛物线得， 变形为， ， 此方程无解， 则直线与新抛物线无交点，故舍， 综上所述，，． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点和点，交轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一点，轴交于，当最大时，在直线上运动，且，点，求的最小值； (3)将抛物线沿射线平移个单位，在平移后的抛物线上，是否存在点，使得，若存在，直接写出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题为二次函数综合题，考查了解直角三角形，图像的平移，线段和的最值问题，分类求解是解题的关键． （1）将点和点代入，解方程组即可； （2）将点沿平行于的方向平移个单位，得，连接，当，，三点共线时，，即可求解； （3）当点在的右侧时，构造等腰中，求出直线为，进而联立抛物线与直线解析式，即可求解；当点在的左侧时，同理可得． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得到：， 解得：， 所以抛物线的解析式为：． （2）设直线的解析式为，将，，代入， 得到，解得 直线的解析式为， 设， 轴交于 则， ， 其中，函数图像开口向下，对称轴为， 当时，， ， 将点沿平行于的方向平移个单位，因为直线斜率为1，所以相当于将点向右平移2个单位，向上平移2个单位，得，连接，如图： 当，，三点共线时， ∴． （3）解：存在，理由： 将抛物线沿射线平移个单位，相当于抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位， 则新抛物线的表达式为：， 当点在右侧时， 设将绕点逆时针旋转得，作射线交于， ∵，， ∴， ∵，， ∴由旋转可得：点， ∴由点，的坐标得直线的表达式为：， 联立直线和新抛物线得， 解得：（负值已舍去），即点， 当点在的左侧时， 同理可得：点，直线的表达式为：， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 综上所述：存在点，使得，它的坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，过点P作交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线上一点G，使得，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，P的坐标为 (3)G的横坐标为或 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、利用同角三角函数关系求值、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）把A、B坐标代入解析式求解即可； （2）解：设，过A作于G，先求出点C的坐标，然后求出，证明，，可得，求出，则，待定系数法求出直线解析式为，进而求出直线解析式可设为，可求出，，然后利二次函数的性质求解即可； （3）先求平移后的函数解析式，当G在x轴上方时，设直线与y轴交于H点，取，连接，过T作于K，可证明，利用同角的三角函数值相等，可求，利用待定系数法求出直线解析式为，然后求直线与平移后抛物线的交点G坐标即可；当点G在x轴下方时， 作H关于直线的对称点Q，连接，过点M作x轴的平行线，过点A作x轴的垂线，两线相交于M，过Q作于N，可证，求出，利用待定系数法求出直线解析式为，然后求直线与平移后抛物线的交点G坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， 过A作于G， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴直线解析式可设为， 把代入，得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为， 此时，P的坐标为； （3）解：， ∵原抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴抛物线沿x轴负半轴平移2个单位，沿y轴正半轴平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 当G在x轴上方时， 设直线与y轴交于H点，取，连接，过T作于K， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可求直线解析式为， 联立方程组， 整理得， 解得，（舍去）， ∴G的横坐标为； 当点G在x轴下方时， 作H关于直线的对称点Q，连接， ∴，， 过点M作x轴的平行线，过点A作x轴的垂线，两线相交于M，过Q作于N， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理可求直线解析式为， 联立方程组， 整理得， 解得，（舍去）， ∴G的横坐标为； 综上，G的横坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图形与性质，待定系数法，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，M是抛物线对称轴上一动点，过点P作轴交抛物线对称轴于点E，作于点G，求当取最大值时的最大值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接，在平移后的抛物线上是否存在一点N，使，若存在，请求出点N的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)点N的横坐标为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、角度问题(二次函数综合) 【分析】(1)根据抛物线，经过点，结合抛物线的对称轴是直线．后利用待定系数法确定解析式即可． （2）先确定直线的解析式为．过点P作轴于点K，交于点Q，则，确定,设，则，则；结合轴交抛物线对称轴于点E， 得到，于是，确定有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为，根据点M在抛物线的对称轴上，且点A与点B是对称点，得到，于是，根据，确定当B，P，M三点共线时，取得最大值，最大值为，解得即可． (3)先确定平移方式，确定平移后的抛物线解析式，利用旋转的性质，平行线的性质，交点坐标的计算解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，经过点， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线． ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴当时，， 故点， 又当时，， 解得， 故， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴于点K，交于点Q 则， ∵， ∴, ∴, ∴, ∴， 设，则， 则； ∵轴交抛物线对称轴于点E， ∴， ∴ ， ∵， ∴有最大值，且当时，取得最大值，且最大值为， ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴， ∴时，； 故． ∵点M在抛物线的对称轴上，且点A与点B是对称点， ∴， ∴， ∵， ∴当B，P，M三点共线时，取得最大值，最大值为， ∴． （3）解：由原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线， ∴，， 设向左平移m个单位，向下平移n个单位， 根据题意，得，， ∴先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线， ∵， ∴平移后抛物线的表达式为， ∴， ∵点F为点P平移后的对应点，连接， ∴， 以点P为中心将顺时针旋转，交抛物线于点N，M，交于点S，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴轴， ∴点P、N、M的纵坐标都为， ∴， 解得：， ∴在平移后的抛物线上存在一点N，使得，此时点N的横坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数解析式确定，解方程组，抛物线的平移，旋转的应用，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于C． (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作于点M，N是直线上的一动点，连接．当取得最大值时，求的最小值： (3)将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点Q是新抛物线上的一点，连接．当时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，由勾股定理得出，求出，，直线的解析式为，作轴交于，，得出，当最大时，取得最大值，设，则，表示出，结合二次函数的性质得出当时，的值最大为，取得最大值为，此时，作轴于，则，推出，当、、在同一直线上，且垂直于轴时，的值最小，即可得解； （3）求出直线的解析式为，结合题意得出将抛物线向左平移个单位长度，向上平移四个单位长度得到新抛物线，求出，分两种情况：当点在下方时，作交于，作轴于；当点在上方时，连接，延长交于，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，，即， ∵，， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交于， ， 则， ∴， ∴， ∴当最大时，取得最大值， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的值最大为，取得最大值为，此时， 作轴于，则， ∴， ∴当、、在同一直线上，且垂直于轴时，的值最小，此时为点到轴的距离，为； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线， ∴将抛物线向左平移个单位长度，向上平移四个单位长度得到新抛物线， ∵， ∴， 如图：当点在下方时，作交于，作轴于， ， ∵直线的解析式为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点Q的横坐标为； 如图：当点在上方时，连接，延长交于， ， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，得， 解得或（不符合题意，舍去） 综上所述，点Q的横坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点（在的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，作，垂足为点，点是轴上一动点，连接，．当周长取得最大值时，求的最大值以及点的坐标； (3)在（2）问的条件下，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个情况的求解过程． 【答案】(1) (2)， (3)①在直线上方：；②在直线下方： 【知识点】解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）令，先求出，得，由，可求出，将代入即可求解； （2）令，求得，求出直线的解析式，得，进而可得，，由轴，可推出轴，得， 进而得，得的周长， 设，则，得，从而得出有最大值时的周长最大，进而可求坐标； 作点关于轴对称点，连接，，求得，，得出当共线时，，此时有最大值 ； （3）由题意推出新抛物线是将向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到的，得， 分两种情况：①当在直线上方时，， ②当在直线下方时，，结合图像分别求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ， ， ， ， ， 将代入得， 解得， 抛物线的表达式； （2）解：令，则， 解得或， ， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， ， ， 的周长， 有最大值，的周长最大， 设，则， ， ， 当时，有最大值，此时的周长最大， ， ， 作点关于轴对称点，连接，， ，， ， 中，， 当共线时，， 此时有最大值 ； （3）解：由（2）知，，， ， 设直线为， 代入，， 得， ， ， 由题意可知，新抛物线是将即向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到的， ， ①当在直线上方时：如图， ， ， 设直线为， 代入， 得， ， ， ， ，（舍去）， 的横坐标为； ②当在直线下方时：如图， ， 设射线与直线交于， ， 设， ， ， ， ， 设直线为， 代入， ， 得， ， ， ， （舍去），， 的横坐标为； 综上所述，当时，符合条件的点的横坐标为或 ． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴的交点为． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点．点、点是直线上的动点，满足点在点的左侧且．当线段最大时，求的周长的最小值． (3)点为抛物线上的一个动点，点、点为第（2）问周长取得最小值时的点，当时，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的过程． 【答案】(1) (2)的周长的最小值为 (3)点的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，从而可求直线的解析式为，设，则，表示出，结合二次函数的性质可得当时，取得最大值为，求出，过点作交轴于点，求出直线的解析式为，从而可得，证明四边形为平行四边形，得出，连接并延长，使得，连接，证明为等腰直角三角形，得出，求出点、关于直线对称，得到，即的周长，连接交于，当、、在同一直线上时（即、重合时），最小，为，求出，最后由勾股定理计算即可得解； （3）求出，，过点轴，作轴交轴于，作交于，则，求出，证明，得出，设，则，求出，解得，此时 ；作点关于的对称点，作直线，由轴对称的性质可得，从而得出，即点为直线与抛物线的交点，，求出直线的解析式为，联立求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，为，此时， ∴， 如图，过点作交轴于点， ， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 连接并延长，使得，连接， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形，即， ∵， ∴， ∵， ∴点、关于直线对称， ∴， ∴的周长， 连接交于，当、、在同一直线上时（即、重合时），最小，为， 设，则， 解得：，即， ∴， ∴的周长的最小值为； （3）解：如图， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得，即， 设，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 如图，过点轴，作轴交轴于，作交于， ， 则， ∴，， ∴， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴，此时， ∴； 作点关于的对称点，作直线， 由轴对称的性质可得：， ∴， ∴点为直线与抛物线的交点，， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴，此时， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—线段周长问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形、求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点P，连接，点D是点C关于x轴的对称点，过点D作直线轴，点M为直线上一动点，轴，垂足为N，连接，当的面积取得最大值时，求点P的坐标以及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点E为中点，在新抛物线上存在一点Q使得，请直接写出所有符合条件的Q点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意求出点B，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）利用抛物线解析式得到，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，设点，过点作轴 ，交直线于点，则点，进而得到，再根据，结合二次函数最值求出点P的坐标，作关于直线的对称点，连接交直线于点，结合轴对称，平行四边形性质和判定，勾股定理得到的最小值进行求解，即可解题． （3）根据抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，结合解直角三角形，以及勾股定理推出向右平移个单位，向下平移个单位得到新的抛物线的解析式，再根据，结合平行线性质，以及相似三角形性质求出直线的解析式，再联立抛物线的解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解： ， ， 又， ，即， 把坐标代入表达式，则， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为； ， 设直线的解析式为，把代入， ，解得， 直线的解析式为， 设点，过点作轴 ，交直线于点，如图， 则点， ∴， ∴， ∵，对称轴为直线， ∴当时，的面积取最大值， ∴， ∴， 作关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∵点为直线上一动点，轴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值； （3）解：抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线， 又， ， 则设向右平移个单位，则向下平移个单位， 且有， 解得或（不合题意，舍去）， 向右平移个单位，向下平移个单位， ， 点E为中点， ， 如图，当时，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 联立与， 解得或（不合题意，舍去）， ， 点的坐标为； 当，与轴的交点为， ， ， ， ， ，， ， ，解得， ， 设直线的解析式为，把代入， ， 解得， 直线的解析式为， 联立与， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，待定系数法求函数解析式，二次函数面积综合，二次函数最值，轴对称找线段和的最小值，平行四边形性质和判定，勾股定理，二次函数的平移，相似三角形性质和判定，解直角三角形，二次函数与一次函数交点问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 9．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是抛物线的顶点，连接，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点是轴上一动点，连接，当取得最大值时，求出点的坐标及的最小值； (3)如图2，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点为，延长线交抛物线于点，点为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出，再利用，，求出，，得，，再利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点，先求出直线的解析式为，通过，得出，得出，设，则，得出，利用二次函数的性质得出当时，最大，此时，证明，由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点，利用含角的直角三角形的性质进行求解即可； （3）先求得新抛物线的解析式为，求出直线解析式为，联立抛物线求出，在直线上取一点，使得， 则，则，则直线与抛物线的另一交点即为点，设，则利用列式求出，求出直线解析式为，联立抛物线即可求解；利用对称性，在直线上取另一点，使得， 再进行列式求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 代入抛物线， 得：， 解得：， ∴； （2）解：如图，过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∵轴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， 则，， 则， ∵， ∴当时，最大， 此时， 则此时， ∵， ， ∴， ∴， 由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点， 由，得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即最小值为； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，的顶点为， ∴新抛物线的解析式为， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 如图，在直线上取一点，使得， 则， ∴， 则直线与抛物线的另一交点即为点， 设， 则，， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立抛物线，得， 解得：（舍），， 故点的横坐标为； 如图，利用对称性在直线上取另一点，使得， 则， 则直线与抛物线的另一交点即为点， 设， 则，， ∴， 解得：（舍），， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立抛物线，得， 解得：（舍），， 故点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合，涉及待定系数法，二次函数的图象与性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，为的中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、角度问题(二次函数综合)、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）利用二次函数解析式可得，进而可得直线的解析式为，设点，过点作轴 ，交直线于点，可得，即得，即可得到，可知当时，的面积取最大值，即得，，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，又可知四边形是平行四边形，得，即得到，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用勾股定理求出即可求解； （）由题意可得抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线，即得，再分两种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由，得， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点，过点作轴 ，交直线于点，如图，则点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积取最大值， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∵点为直线上一动点，轴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小， ∵点与点关于直线的对称点， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值； （3）解：∵直线的解析式为， ∴可设抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∴抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， 如图，当时，， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得（不合，舍去）或， ∴； 当，与轴的交点为点时，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 由，解得（不合，舍去）或， ∴； 综上，当时，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，点M、N分别在上运动，当取得最大值时，求的最小值． (3)将该抛物线沿射线方向平移，且平移后的新抛物线经过点C，点Q为新抛物线对称轴上的一动点，当时，直接写出满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，则可求出直线解析式为；设，则，可得，则当时，有最大值，即此时点P的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为；取，连接，过点N作于H，解直角三角形可得，则当P、M、H三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求解即可； （3）根据题意得将该抛物线沿射线方向平移时，每向左移动个单位长度，则向下平移个单位长度，设原抛物线向左移动个单位长度后得到新抛物线，则平移后的抛物线解析式为，利用待定系数法求出平移后的解析式，则可得到平移后的抛物线对称轴为直线；取，可证明是直角三角形，且，解直角三角形可证明，则，可得点Q在以为直径的圆上，设的中点为T，，则，，据此建立方程求解即可；同理当构造的直角中，点P在下方时，以为直径的圆与直线不存在交点，即此时不存在点Q． 【详解】（1）解：把，代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解；在中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，即此时点P的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为； 如图所示，取，连接，过点N作于H， ∵，轴， ∴P、E、F三点共线， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴当P、M、H三点共线，且时，有最小值，最小值为的长， 此时有， ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴将该抛物线沿射线方向平移时，每向左移动个单位长度，则向下平移个单位长度， 设原抛物线向左移动个单位长度后得到新抛物线， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过点C， ∴， 解得或（舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为； ∴平移后的抛物线对称轴为直线； 如图所示，取，则，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴B、Q、C、P四点共圆， ∴点Q在以为直径的圆上， 设的中点为T，，则，， ∴， 解得， ∴点Q的坐标为或； 同理当构造的直角三角形中，点P在下方时，以为直径的圆与直线不存在交点，即此时不存在点Q； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，圆的相关性质，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理及其逆定理，解（2）的关键在于设出点P坐标，进而表示出，利用二次函数的性质求出最大时点P的坐标，再通过构造直角三角形转换；解（3）的关键在于构造直角三角形． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，点是线段上一动点，垂直对称轴，垂足为，连接，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）在线段上取，使得，连接，，当、、共线时，取到最小值，即取最小值．再据此求解即可； （3）先求出平移后的抛物线．再分为：①点在上方时，当平行时，，②点在下方时，点关于直线的对称点，，分别解答即可． 【详解】（1）解：由题知 解得． ∴； （2）解：令，得． ∴． 令，则， 解得或． ∴，． 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ∵， ∴当时，最大． ∵垂直对称轴，对称轴是直线， ∴． 如图，在线段上取，使得，连接，， ∴，，． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴． ∴当、、共线时，取到最小值，即取最小值． ∵，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图，由（2）得当最大，． 平移后的抛物线． ①点在上方时，当平行时，， 直线，与轴交于点， 得解得或 ∴． ②点在下方时，点关于直线的对称点，， 直线， 得解得或 ∴． 综上所述，或 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行四边形的性质等知识，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 13．在平面直角坐标系中，抛物线（）的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；点为轴上的一个动点，点为轴上的一个动点，连接、、．当的面积取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1) (2)，周长的最小值 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）将、、的坐标代入解析式，即可求解； （2）过点作轴于，交直线于，由待定系数法得直线的解析式为，设，由得出二次函数，利用二次函数的性质即可求解； 过点分别作轴、轴的对称点、，连接交轴于点交轴于点，则此时周长最小，即可求解； （3）由正切函数得，由勾股定理得，设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线，可得原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位，平移后的二次函数，将代入可求的值，联立此抛物线和直线的解析式可求，①当在直线的上方，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于，由可判定，由三角形的性质得，，由正切函数及勾股定理得 ，可求 ，，可求，待定系数法可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标； ②当在直线的下方，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于，同理可求直线的解析式为，设，由勾股定理得，可求出的值，从而可求 ，同理可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ； （2）解：过点作轴于，交直线于， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ， ， 当时，取得最大值， ， ， 故的最大值，； 如图，过点分别作轴、轴的对称点、，连接交轴于点交轴于点，则此时周长最小， 周长为 （3）解：，， ，， ， ， 设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线， 原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位， ， 经过， ， 整理得：， 解得：，， ， 联立， 解得：或， ， ①当在直线的上方， 如图，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； ②当在直线的下方， 如图，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于， 由①同理可求：， ， 同理可求直线的解析式为， 设， ， ， ， ， 解得：，， 当时， ， 不合题意舍去， 当时， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正切函数等，掌握待定系数法，二次函数的性质，能作出恰当的辅助线构建三角形及全等三角形，熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点的直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点是抛物线顶点，是轴上方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，过点作直线的垂线交于点，点为轴上的动点（点在点的上方），且，当的周长取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，把抛物线沿射线的方向平移个单位得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，过点作直线的平行线，交轴于点，连接．若，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设直线的表达式为，求出表达式，当最大时，的周长最大，设，则，得，当时，最大，此时的周长最大，得，作 ，截取，连接，三点共线时最小； （3）由抛物线沿射线方向平移个单位，得出新抛物线的顶点坐标为即，对称轴为直线，设，直线交轴于点，分两种情况： ①当点在轴上方时，②当点在轴下方时，利用勾股定理建立方程分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， 把代入得， 解得：， 直线的表达式为， ， ， ，， 轴， ， ，， ，， ， 当最大时，的周长最大， 设，则， ， 当时，最大，此时的周长最大， ， ， 的顶点的坐标为， 即； 作 ，截取，连接， ，即， ， ，若使最小，则最小即可， ， 三点共线时最小， ， ； （3）解：把抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向上平移个单位，向右平移个单位， 新抛物线的顶点坐标为，即， 对称轴为直线， 设，直线交轴于点， ①当点在轴上方时， 如图，当时， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， （舍去），， ， ②当点在轴下方时，如图， 此时， 作关于直线的对称点，连接， ， ， ， ， ，， ， ， 同①可得，， ， 在中， ， （舍去），， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动时，连接，求的最小值； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在，点的横坐标为，理由见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法，将点，的坐标代入解析式中求解即可． （2）设出点的坐标，易得，，当取最大值时，取得最大值，利用利用二次函数的性质即可求出点P的坐标；设滑动后的对应点分别为，过点作的平行线，截取，连接，易证四边形是平行四边形，推出，求出，根据为定值，当三点共线时，有最小值，得到有最小值，即有最小值，利用两点间距离公式求解即可； （3）在轴负半轴上取点，使得，连接，证明，进而证明，得到，设出点坐标，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得． 该抛物线的解析式为． （2）解：抛物线与轴交于点，且当时，， ， ， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为， 设点，则，， ， 轴， ， ， 当取最大值时，取得最大值， 即， ， ∴当时，取得最大值， 则 点的坐标为； 设滑动后的对应点分别为，过点作的平行线，截取，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为定值， 当三点共线时，有最小值， ∴有最小值，即有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为， （3）解：存在，点的横坐标为，使得，理由如下： 在轴负半轴上取点，使得，连接，如图． 设点的坐标为，则，． 在中， ， ， 解得， ， ． ， ， ， ， ． 又∵， ∴， ∴，即， 设， ∴， 解得或（舍去）． 存在点，当点的横坐标为时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，一次函数与几何综合，等边对等角，三角形外角的性质等等，通过作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为点，点，为直线上的两个动点（点在的左侧），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移，使得新抛物线经过点且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的坐标（写出必要的求解过程） 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点，进而可得直线的解析式为，由勾股定理可得，求出，设作轴交于，则，，从而可得，推出，表示出，结合二次函数的 可得当时，的值最大，此时，即，将点沿方向平移个长度得到，即将点向左平移个长度，向上平移个单位长度得到，连接，则，，得出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，从而得出，当、、在同一直线上时，的值最小，为，即可得解； （3）求出平移后的解析式为，联立，得出 ，由题意可得，在轴负半轴上取一点，作直线交新抛物线于点，则，，从而可得，求出直线的解析式为，联立，解得（不符合题意，舍去）或，得出此时；作点关于直线的对称点，作直线交新抛物线于点，连接，由轴对称的性质可得，，，求出，再同理求解即可． 【详解】（1）解：将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，，故， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 设，如图，作轴交于，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，此时，即， 将点沿方向平移个长度得到，即将点向左平移个长度，向上平移个单位长度得到，连接，则，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，当、、在同一直线上时，的值最小，为， ∴的最小值为； （3）解：， ∵将该抛物线沿方向平移， ∴设该抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， 故平移后的解析式为， ∵新抛物线经过点， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴平移后的解析式为， 联立，解得：或， ∴， ∵， ∴， 如图，在轴负半轴上取一点，作直线交新抛物线于点， ， 则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得, 解得：， ∴ 直线的解析式为， 联立，解得（不符合题意，舍去）或， 此时； 作点关于直线的对称点，作直线交新抛物线于点，连接， 由轴对称的性质可得，， ∴， 设点，则，， 解得：（不符合题意，舍去）或，即， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得（不符合题意，舍去）或， 此时， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点M． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点F是线段上一动点（点F不与端点A，D重合），过点F作，交抛物线于点E（点E在对称轴左侧），过点E作轴，垂足为H，交于点G，点N是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点P为平移后的抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的P的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】二次函数图象的平移、解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，连接，过点作，连接，根据最大时，最大，利用二次函数的性质，求出点坐标，进而求出点坐标，求出，得到，结合垂线段最短得到时，最小，进行求解即可； （3）求出平移后的解析式，求出，连接，过点作轴于点，则四边形为正方形，得到，分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 设，则：， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，最大，此时最大， ∴，， ∴， 连接， ∵，， ∴，同法可得直线的解析式为：， ∴， ∴， 过点作，连接，则：， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小为的长， 设与轴交于点，连接， ∵，当时，， ∴， ∴轴，， ∴， ∴， ∴的最小值为：； （3）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：，则直线的解析式为， ∴为二，四象限的角平分线， ∴抛物线沿方向平移个单位，相当于先向左平移3个单位，再向上平移3个单位， ∴， 连接，过点作轴于点，则四边形为正方形， ∴， ①在上方取点，过点作，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上， ∴点为射线与抛物线的交点， 同（2）法可得直线的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）； ∴； ②在下方取点，过点作， 同法可得：， 点为射线与抛物线的交点，同法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，胡不归问题，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 18．如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为4，此时 (3)存在，或，理由见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、全等三角形综合问题、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先求直线表达式为，设，，转化为二次函数求最值即可； （3）分两种情况①当Q点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线与点M；②当Q点位于下方时，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，利用全等三角形的判定与性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴解析式为：； （2）解：∵点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当， ∴， 设直线表达式为：， ∴， 解得 ∴直线表达式为：， 设， 则由题意得：， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为4，此时； （3）解：存在，理由如下： ①当Q点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线与点Q， ， ， 此时使得， ， 同上可求直线得解析式为， 联立，解得：或， ； ②当Q点位于下方时，如图，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，连接， ， 当时，， 解得：或， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 则E即为Q点， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，坐标与图形，二次函数的图香与性质，求二次函数的解析式，一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质等知识，分情况求解是解题关键． 19．如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值； (3)如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）由面积求出，根据得到，，再代入列方程计算即可； （2）过作轴，交于点，交轴于点，在上方找一点，使，，过作轴，交轴于点，连接，先设，则，得到，当时，最大，此时，由，，得到四边形是平行四边形，则，点先向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度得到点，则，，当、、三点共线时取等号，由垂线段最短可得最小值为，即可求出的最小值； （3）先求出平移后解析式为，当在直线下方时，取点，则，则是直线与新抛物线的交点，求出直线解析式，再与新抛物线联立即可得到；当在直线上方时，取一点，使，，则，得到是直线与新抛物线的交点，设，由距离公式列方程求出，再求出直线解析式再与新抛物线联立即可得到． 【详解】（1）解：令，则，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵抛物线与轴交于，两点（在左侧）， ∴，， 把，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点，交轴于点，在上方找一点，使，，过作轴，交轴于点，连接， ∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵轴，交于点，交轴于点， ∴设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时， ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，点沿射线方向移动个单位长度得到点， ∴，点先向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度得到点，则 ∴， ∴当、、三点共线时最小，由垂线段最短可得最小值为， ∴的最小值为； （3）解：∵将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，，，， ∴将抛物线先向右移动2个单位长度，再向上移动1个单位长度得到新抛物线， ∴平移后解析式为， 当在直线下方时，如图， 取点，则， ∴，， ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， ∴是直线与新抛物线的交点， ∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或（不在下方，舍去）， ∴； 当在直线上方时，如图，取一点，使，， ∴， ∴， ∴是直线与新抛物线的交点， 设， ∴，， 两方程相减整理得， 代入得， 解得 当时，，此时与重合， ∴，， ∴， ∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，得， 解得， ∵在和之间， ∴，此时 ∴； 综上所述，当与互补时，或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及求抛物线解析式，线段最值，平行四边形的判定与性质，平移，勾股定理，二次函数与角度问题等知识点． 20．如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标； (3)将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到，点是原抛物线的顶点，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)4，； (3)或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的平移、运用二次函数求最值、二次函数与几何综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先说明，如图：作轴交于点Q，结合已知条件可得，进而得到，即，设点．可得，根据二次函数的性质可得当时，的最大值为4，最后确定点P的坐标即可； （3）先求出原抛物线的顶点坐标，平移后的解析式为，然后分点M在直线的下方和上方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图：作轴交于点Q， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设点． ∴， ∴， ∴当时，的最大值为4， ∴当的最大值时，， ∴． （3）解：如图： ∵， ∴抛物线的对称轴为，顶点坐标， ∴将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到的解析式为， 当点在直线的下方时，点为直线的延长线与新抛物线的交点， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：或2（舍弃）， ∴， ∴； 当点在直线的上方时，作点N关于点C的对称点，则，点为直线的延长线与新抛物线的交点， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：或（舍弃）， ∴， ∴． 综上，点M的坐标为或． 21．如图，抛物线与轴分别交于点，点（在的左侧），与轴交于点，直线的图象过两点，． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，点为直线上一动点，连接，当面积最大时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数解析式即可得到答案； （2）如图，过作轴交于，求解直线为，设，则，可得，再利用二次函数的性质可得，过作轴的平行线与过作轴的平行线交于点，可得，当三点共线时，，此时最短；再进一步求解即可； （3）将抛物线沿射线方向平移后过点，可得；如图，过作轴于，证明，可得，设，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：由抛物线与轴交于点，可知， 直线的图象过点， 将代入得，即直线， 当时，，解得，则， ， ，即， 抛物线与轴分别交于点，点（在的左侧）， 设抛物线为，则化为一般式得， ，解得， 抛物线解析式为； （2）解：如图，过作轴交于， ∵，， ∴直线为， 设，则， ∴， 当最大时，最大， ∴，， ∴， 过作轴的平行线与过作轴的平行线交于点，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，，此时最短； ∵， ∴， ∴， 即的最小值为； （3）解：将抛物线沿射线方向平移后过点， ∴； 如图，过作轴于， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴或，其中， 解得：或（舍去）或或（舍去）； 当时，， 当时，， ∴或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，线段和的最小值问题，角度问题，解直角三角形的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交y轴于C点，交x轴于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中线段长度取得最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点B，且与直线相交于另一点M，点N为新抛物线上的一个动点，当，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)点N的坐标有或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出，，然后用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，过点P作y轴的平行线交于点E，证明得，设，则，表示出的长，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设将抛物线沿射线方向平移（）个长度单位，则将抛物线沿轴向右平移（）个长度单位，向下平移个长度单位，由二次函数的图象的平移得，由经过点得 ，过点作轴交于，过点作直线交轴于，由勾股定理逆定理得是直角三角形，可得， ①当在射线的下方时，联立直线的解析式及的解析式，即可求解；②当在射线的上方时，由等腰三角形的性质得，由待定系数法得直线的解析式为，求出的坐标，从而求出，的长，可求出直线的解析式，联立直线的解析式及及的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：令得， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 则， ∴， ， ，， ，， ， 如图过点P作y轴的平行线交于点E， ∵， ∴， ， ， ∴ 设， 则， ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时点P的坐标为， 作点B关于对称轴的对称点， ∴， ∴当P，Q，共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （3）解：将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线， 且， 设将抛物线沿射线方向平移（）个长度单位， 则将抛物线沿轴向右平移（）个长度单位，向下平移个长度单位， ， 新抛物线经过点B， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ， ， 如图， 过点作轴交于，过点作直线交轴于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ①当在射线的下方时，如图， 当轴时， ， ， ， 联立， 解得：，， ， ， 解得：，， ； ②当在射线的上方时，如图， 直线交轴于， 由①得， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， ， 当时， ， 解得：， ， ， ， ， 解得：， 经检验：是此方程的根； ， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， ； 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题中的线段最值及角度问题，待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等，能找出求线段和最小值的条件，并能根据动点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 23．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点D是第一象限抛物线上的点，过点D分别作x轴、y轴的垂线，交于点E、交y轴于点F，求的最大值及此时点D的坐标． (3)如图2，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)取最大值，此时； (3)点的坐标为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出直线的解析式为，设，则，可得，利用二次函数的性质即可求解； （）分点在上方和点在下方两种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：解方程可得，，， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， 当时，即，取最大值； （3）解：存在． ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点， ∵与关于轴对称， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 同理可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得，， ∴， ∴， 由， 解得或， ∴； 当点在下方时，作点，直线与抛物线交于点， ∵，， 同理可得直线解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 由， 解得或， ∴； 综上，点的坐标为或． 24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于A、C两点（A在C的左侧），连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作交y轴于点D，交x轴于点E，点F为y轴上一动点，当取最大值时，求此时点P的坐标及的最大值； (3)如图，点Q是抛物线的对称轴与的交点，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线刚好经过点Q，K为新抛物线上一动点，当，请写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解其中一个点K坐标的过程． 【答案】(1) (2)，的最大值为 (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、已知正切值求边长、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出点B的坐标，再解直角三角形求出的长，进而得到点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出直线解析式为；设，则直线解析式，求出，，进而求出，，则，据此可得到有最大值时，点P的坐标为；再由，得到当A、P、F三点共线时，有最大值，最大值为的长，据此利用勾股定理即可求出答案； （3）先求出；可设原抛物线向下平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线，则新抛物线解析式为，利用待定系数法可得新抛物线解析式为；如图所示，取，连接，证明，得到；导角可证明，如图所示，过点Q作交新抛物线与，则，即点即为所求；可求出直线的解析式为，联立，可得；如图所示，过点A作，且使得，连接并延长，交新抛物线于，则，可证明，即点即为所求；求出点R的坐标，进而求出直线的解析式，同理可得． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 把，代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 设，直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值， ∴此时点P的坐标为； ∵， ∴， ∴当A、P、F三点共线时，有最大值，最大值为的长， ∵， ∴； ∴的最大值为； （3）解：∵原抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴； ∵将原抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线， ∴可设原抛物线向下平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线， ∴新抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过， ∴， ∴或（舍去）， ∴新抛物线解析式为； 如图所示，取，连接， 在中，当时，或， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点Q作交新抛物线与，则，即点即为所求； 同理可得直线解析式为， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 如图所示，过点A作，且使得，连接并延长，交新抛物线于，则， ∵， ∴， ∴，即点即为所求； 同理可得直线解析式为， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线解析式为； 联立，解得或， ∴； 综上所述，点K的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解（2）的关键在于设出点P的坐标，进而求出直线解析式，再用点P的横坐标表示出的长，解（3）的关键在于证明． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过作轴交于点，作于点，点，是直线上的动点，且，连接．点是线段上的动点，连接，当线段取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，在(2)的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线新抛物线与轴交于点，(在左边)，点为新抛物线上的一动点，当时，请求出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）抛物线经过，，利用交点式得出，再代入即可； （2）延长，交延长线于点，分别求出直线解析式为，直线解析式为，设，得，，得出，，利用，求出，得出，可得当时，取得最大值，此时，此时，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，得出，由平移的性质得，则，过点作轴，过点作于，利用，得出，则，由点到直线的最短距离可知当，，，依次共线，且时，最短，此时即为图中的，的最小值即为长度，即可求解； （3）先确定沿射线方向平移个单位长度，即为水平向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，∴得到新抛物线的解析式为，得出，，作点关于轴的对称点，连接，得出，当点在上方时，此时点为点，设交轴于点，利用，求出，再求出直线的解析式为，联立，即可求解；当点在下方时，此时点为点，易知，过点作直线的平行线，交直线于点，得出，求出直线的解析式为，设，利用列式求出，再求出直线的解析式为，联立，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴抛物线的解析式为， 将代入， 得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，延长，交延长线于点， 设直线解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设， ∵轴， 则，， ∴，， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， 此时， 此时点位置如图，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段， 过点作轴，过点作轴，与交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴点到点即向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度， ∴点到点即向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度， ∴，即， 由平移的性质得， ∴， 如图，过点作轴，过点作于， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由点到直线的最短距离可知当，，，依次共线，且时，最短，此时即为图中的，的最小值即为长度， ∵， ∴的最小值为； （3）解：如图，过点作轴于点， 则，， ∴， ∴， 同（2）中的平移方法可得沿射线方向平移个单位长度，即为水平向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度， ∴得到新抛物线的解析式为， 令，得， 解得：，， ∴，， 作点关于轴的对称点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在上方时，如图，此时点为点，设交轴于点， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 得：， 解得：，， ∴的横坐标为； 当点在下方时，如图，此时点为点， 易知， 过点作直线的平行线，交直线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得， ∴直线的解析式为， 设， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 得：， 解得：，， ∴的横坐标为； 综上所述，的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质，点到直线的最短距离，勾股定理，等腰三角形的判定，解一元二次方程，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 26．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，作过、两点所在的直线，点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点．点是过点的直线上的一个动点，点是轴上一个动点，连接，当线段取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)如图2，作过、两点所在的直线，将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，过点作交轴于点，点为平移后抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】二次函数图象的平移、解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用的待定系数法求解即可； （2）过点P作轴交于点Q，先求出点C的坐标，再求出直线的解析式，设，则，求出，根据平行线的性质可得，利用正弦的定义可得，利用勾股定理求出，从而得到的代数式，利用二次函数的性质即可求出的最大值，进而确定点P的坐标；作点P关于y轴的对称点，作点P关于直线的对称点，连接，由对称的性质得到，即可得到的周长为，当点四点共线时，有最小值，最小值为的长，再由对称的性质求出两点的坐标，即可求解； （3）先求出平移后的抛物线解析式为：，过点K作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点G，如图，分当点N在右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：过点P作轴交于点Q， 将代入：，则， ∴， 设直线的解析式为， ∵，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最小值， 此时，， ∴； 作点P关于y轴的对称点，作点P关于直线的对称点，连接， 则， ∴由对称的性质得， ∴的周长为， 当点四点共线时，有最小值，最小值为的长， 设， ∴的中点坐标为， 由对称的性质可得的中点坐标在直线直线上， 则，即， ∴， ∴， 由对称的性质得，即， ∴，整理得：， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴周长的最小值为； （3）解：∵，且， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位， ∵， 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位后的解析式为：， 过点K作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点G， 如图，当点N在右侧时， ∵，轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， 由平移的方式得， 设， ∴， ∴，， ∴， 即，整理得：， 解得：或（点重合，舍去）， ∴， ∴； 如图，当点N在左侧时，作点A关于y轴的对称点D，过点D作于点H，连接， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴（三线合一）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 整理得：， 解得：或（点重合，舍去）， ∴， ∴； 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键． 27．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值． (3)在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最小值为 (3)存在，点Q的横坐标为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，．由根与系数关系可得：，，得到，即可得到答案； （2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G．过点E作交y轴于点F．求出．得到．当时，点M坐标为，面积最大．得到的最小值为； （3）点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限，分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：对于，令． ∴． ∴根据图象可知：点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． 对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，． 由根与系数关系可得：， ∴． ∴抛物线的解析式为． （2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G． 过点E作交y轴于点F． 根据题意，为等腰直角三角形． 故直线相当于直线向下平移了4个单位长度，根据平移性质直线的解析式为：． ∴点G坐标为． ∵，， ． ∴． 当时，点M坐标为，面积最大． 此时点H与点E重合，点M与点G重合， 当点M坐标为时，为和为的中位线，点F坐标为，点N的轨迹在与射线平行的射线上． 作点C关于直线对称点，根据为等腰直角三角形，可得点坐标为． ∴． ∵， ∴四边形在平移时始终为平行四边形，． ∴． 对于，，． ∴． ∴的最小值为． 故面积最大时，的最小值为2． （3）根据题意，则，故抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线．相当于抛物线y先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．如图， 根据平移性质可得． 由（2）知． ，则． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴直线相当于直线向左平移了2个长度单位， ∴直线的解析式为． 如图，点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限： ①点是和新抛物线y′的交点，满足． 结合直线和新抛物线的解析式：． 解得或， 由于在第三象限，所以的横坐标为． ②作出点A关于的对称点，然后作轴，T为垂足，再连接交抛物线右侧于点． 这样根据轴对称的性质，． 设交于点R． ∵， ∴．， ∵，即， 把，，代入比例式解得： ． 在中， ． ∴点的坐标为． 设直线的解析式为：，代入点P和点的坐标得： ，解得． ∴直线的解析式为：y． 结合抛物线可得： ，解得或． 由于点在第四象限，所以的横坐标为：． 综合①②可得，点Q的横坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、函数的平移和对称等知识，分情况讨论是解题的关键． 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分点Q在下方和上方两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：把，代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴, ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当,即时，有最大值，此时， ∴， ∴，， ∴，， 如图所示，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移得到一个新的抛物线，且， ∴可设新抛物线由向左平移个单位，向下平移个单位得到， ∴新抛物线解析式为， ∵新抛物线经过点D， ∴， 解得或（舍去）， ∴新抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴； 同理可得直线解析式为； 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴当点Q    在下方时，满足， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵当点Q在上方时，，故此种情形不成立； 综上所述，. 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 29．如图，已知二次函数的图象与直线相交于、两点，且点在轴上，直线与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于点，轴交直线于点，点为点关于抛物线对称轴的对称点，连接．将沿轴方向移动到，连接、，当面积最大时，求点的坐标及的最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点是新抛物线上一动点，连接、．当时，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)，的最小值 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）将的坐标代入直线的解析式，再求出的坐标，将、代入抛物线解析式，即可求解； （2）交轴于，设，，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由即可求解的坐标；过作直线轴，作关于直线的对称点，连接、，当、、三点共线时，的值最小，此时，即可求解； （3）由平移得将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，就是将抛物线向下平移个单位，向右平移个单位，，①当在的下方时，、关于轴对称，由待定系数法得直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求解；②当在的上方时，作关于直线的对称点，连接、，延长交于， 设，可得，求出，同理可求直线的解析式，联立的解析式与的解析式即可求解． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得：， ， 当时， ， 解得：， ， ， 解得：， 抛物线的解析式； （2）解：交轴于， 设， ， ， ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设， 当取得最大值时，取得最大值， ， 当时，取得最大值， ， 当时，取得最大值； 如图，过作直线轴，作关于直线的对称点，连接、， ， ， 当、、三点共线时， 的值最小， 此时， ， 将沿轴方向移动到， ， ； 故，的最小值； （3）解：由得 当时，， ， ， 设向下平移个单位，则向右个单位， 将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ， 解得：， 将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，就是将抛物线向下平移个单位，向右平移个单位， ， ①当在的下方时， 当时， ， ， ， 、关于轴对称， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 可设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，（舍去）， ； ②当在的上方时， 作关于直线的对称点，连接、，延长交于， ， ，， ， ， ， ， ， 设， ， 解得：，， ， 同理可求直线的解析式， 联立， 解得：，（舍去）， ， 综上所述：点坐标或． 【点睛】本题考查了二次函数综合中的面积问题、线段和最小值问题、角度问题，待定系数法，相似三角形的判定及性质，二次函数图象的平移，勾股定理等；掌握二次函数综合中的面积问题、线段和最小值问题、角度问题的解法，能熟练利用待定系数法、勾股定理进行求解，并能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关 30．如图，抛物线交轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在抛物线上，过点D作轴于点F，过点A的直线交y轴于点，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点M，于点N，求的最大值，以及此时点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点R是新抛物线上一个动点，当时，请直接写出所有符合条件的点R的坐标． 【答案】(1) (2)，的最大值为 (3)点R的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的解析式为，作轴交于，令交于，证明，得出，计算出，从而可得，设，则，，表示出，，从而可得，最后由二次函数的性质即可得解； （3）求出抛物线与轴的另一个交点坐标，由题意可得新抛物线的解析式为，求出新抛物线与轴的交点坐标为或，证明为等腰直角三角形，得到，求出直线的解析式为，联立求解得出新抛物线与直线的交点坐标为，，再分两种情况：当点在上方时，过点作直线，连接，，作于，则，；当点在下方时，作轴于，则，分别解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交于， 则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为，此时，即； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线， ∴将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 令， 解得：，， ∴新抛物线与轴的交点坐标为或， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或， ∴新抛物线与直线的交点坐标为，， 如图，当点在上方时，过点作直线，连接，，作于，则，， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，，此时； 当点在下方时，作轴于，则， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，，此时， 综上所述，点R的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形的应用、求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 二次函数角度存在性问题（原卷版） （3大类型精选30题） 类型一：定角存在性问题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，连接，点是轴上一点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，作直线交抛物线于点．点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交于点．当线段长度取得最大值时，在直线上有两动点、（点在点的上方），当时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，连接，点、分别为新抛物线上的两点，当时，连接，若线段被直线平分，求点的坐标（写出必要的求解过程）． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点和点，交轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一点，轴交于，当最大时，在直线上运动，且，点，求的最小值； (3)将抛物线沿射线平移个单位，在平移后的抛物线上，是否存在点，使得，若存在，直接写出的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，过点P作交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线上一点G，使得，请直接写出所有符合条件的点G的横坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，M是抛物线对称轴上一动点，过点P作轴交抛物线对称轴于点E，作于点G，求当取最大值时的最大值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接，在平移后的抛物线上是否存在一点N，使，若存在，请求出点N的横坐标． 5．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于C． (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作于点M，N是直线上的一动点，连接．当取得最大值时，求的最小值： (3)将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点Q是新抛物线上的一点，连接．当时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 类型二：角相等及2倍存在性问题 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点（在的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，作，垂足为点，点是轴上一动点，连接，．当周长取得最大值时，求的最大值以及点的坐标； (3)在（2）问的条件下，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个情况的求解过程． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴的交点为． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点．点、点是直线上的动点，满足点在点的左侧且．当线段最大时，求的周长的最小值． (3)点为抛物线上的一个动点，点、点为第（2）问周长取得最小值时的点，当时，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的过程． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点P，连接，点D是点C关于x轴的对称点，过点D作直线轴，点M为直线上一动点，轴，垂足为N，连接，当的面积取得最大值时，求点P的坐标以及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点E为中点，在新抛物线上存在一点Q使得，请直接写出所有符合条件的Q点的坐标． 9．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是抛物线的顶点，连接，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点是轴上一动点，连接，当取得最大值时，求出点的坐标及的最小值； (3)如图2，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点为，延长线交抛物线于点，点为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，为的中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，点M、N分别在上运动，当取得最大值时，求的最小值． (3)将该抛物线沿射线方向平移，且平移后的新抛物线经过点C，点Q为新抛物线对称轴上的一动点，当时，直接写出满足条件的点Q的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，点是线段上一动点，垂直对称轴，垂足为，连接，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 13．在平面直角坐标系中，抛物线（）的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；点为轴上的一个动点，点为轴上的一个动点，连接、、．当的面积取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点的直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点是抛物线顶点，是轴上方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，过点作直线的垂线交于点，点为轴上的动点（点在点的上方），且，当的周长取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，把抛物线沿射线的方向平移个单位得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，过点作直线的平行线，交轴于点，连接．若，直接写出所有符合条件的点的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动时，连接，求的最小值； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 类型三：角度和差存在性问题 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为点，点，为直线上的两个动点（点在的左侧），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移，使得新抛物线经过点且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点的坐标（写出必要的求解过程） 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点M． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点F是线段上一动点（点F不与端点A，D重合），过点F作，交抛物线于点E（点E在对称轴左侧），过点E作轴，垂足为H，交于点G，点N是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点P为平移后的抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的P的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 18．如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值； (3)如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 20．如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标； (3)将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位得到，点是原抛物线的顶点，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 21．如图，抛物线与轴分别交于点，点（在的左侧），与轴交于点，直线的图象过两点，． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，点为直线上一动点，连接，当面积最大时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交y轴于C点，交x轴于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中线段长度取得最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点B，且与直线相交于另一点M，点N为新抛物线上的一个动点，当，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 23．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点D是第一象限抛物线上的点，过点D分别作x轴、y轴的垂线，交于点E、交y轴于点F，求的最大值及此时点D的坐标． (3)如图2，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于A、C两点（A在C的左侧），连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作交y轴于点D，交x轴于点E，点F为y轴上一动点，当取最大值时，求此时点P的坐标及的最大值； (3)如图，点Q是抛物线的对称轴与的交点，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线刚好经过点Q，K为新抛物线上一动点，当，请写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解其中一个点K坐标的过程． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过作轴交于点，作于点，点，是直线上的动点，且，连接．点是线段上的动点，连接，当线段取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，在(2)的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线新抛物线与轴交于点，(在左边)，点为新抛物线上的一动点，当时，请求出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 26．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，作过、两点所在的直线，点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点．点是过点的直线上的一个动点，点是轴上一个动点，连接，当线段取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)如图2，作过、两点所在的直线，将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，过点作交轴于点，点为平移后抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 27．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值． (3)在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标． 29．如图，已知二次函数的图象与直线相交于、两点，且点在轴上，直线与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于点，轴交直线于点，点为点关于抛物线对称轴的对称点，连接．将沿轴方向移动到，连接、，当面积最大时，求点的坐标及的最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点是新抛物线上一动点，连接、．当时，请直接写出所有符合条件的点坐标． 30．如图，抛物线交轴于，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在抛物线上，过点D作轴于点F，过点A的直线交y轴于点，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点M，于点N，求的最大值，以及此时点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点R是新抛物线上一个动点，当时，请直接写出所有符合条件的点R的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$