专题14二次函数双最值问题2024-2025学年九年级中考复习数学试题（重庆专用）

专题14 二次函数双最值问题（解析版） （2大类型精选30题） 1．如图，抛物线的顶点A的坐标为，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点，在抛物线的对称轴上存在一点G，使得的值最小，求出点G的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查二次函数的综合，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图象的对称性求出点对称点，可求得的解析式，即可求得G点坐标. 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点A的坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 如图，作E关于对称轴的对称点，连接交对称轴于G， ∵， ∴， 此时的值最小， ∵，抛物线图象的对称轴为直线， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴的解析式为：， 当时，， ． 2．如图1，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，若点P是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点Q，当最大时，在抛物线对称轴上找一点M，使的值最小，求出此时点M的坐标； (3)若点P在直线上的运动过程中，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，P点坐标为或或或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的几何应用、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，可得，得到当时PQ最大为，此时；再求得点B的坐标为，再利用待定系数法求出直线的表达式为，最后把代入计算即可求解； （）设，由勾股定理可得，根据等腰三角形的定义分三种情况解答求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交y轴于点，则， 再把代入抛物线，得：， 解得：， 所以抛物线的函数表达式为． （2）解：设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当时，最大为，此时， 当时，， 解得：或1，即 设直线的表达式为，代入B、Q两点坐标， 得， 解得， ∴直线的表达式为， ∵抛物线的对称轴为直线，把代入，得， ∴M点坐标为． （3）解：存在，理由如下： 由抛物线的对称轴为直线、、 ， 设， ∴， ①当时，即， 得， 解得：， ∴P点坐标为或； ②当时，即， 得， 解得或1（舍去）， ∴P点坐标为； ③当时，易知P点的横坐标为， 代入中得， ∴P点坐标为． 综上，P点坐标为或或或． 3．如图1，抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A点坐标为，． (1)求抛物线解析式： (2)点E是直线上方抛物线上的一动点，于F，点D是x轴上一动点，连接，当线段长度最大时，求点E的坐标及的最小值． (3)如图2，在（2）条件下，将抛物线C沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线C的交点为G，请在新抛物线上找一点M（不与点G重合），使直线与直线的夹角为，直接写出符合条件的点M的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：； (2)点E的坐标为；的最小值为； (3)点M的坐标． 【知识点】二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由得到，推出，设抛物线的解析式为：，代入得到，解得：，即得； （2）过点E作轴交于点H，根据为等腰直角三角形，推出为等腰直角三角形，得到，当取得最大值时，有最大值，求出直线的解析式为，设点，则点，得到，得到当时，有最大值，求得点E的坐标为，作点E关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长，据此求解即可； （3）将该抛物线沿射线的方向平移个单位相当于向右平移4个单位向下平移4个单位，得到，联立求得，作轴，垂足为点，直线交轴于点，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：由知， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：过点E作轴交于点H， 由知，为等腰直角三角形， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当取得最大值时，有最大值； 设直线的解析式为， 将代入，得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ∴， 当时，有最大值，即有最大值； 此时，点E的坐标为； 作点E关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时，取得最小值，最小值为的长， ∵点E的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， 则的最小值为； （3）解：将该抛物线沿射线的方向平移个单位相当于向右平移4个单位向下平移4个单位， 则， 联立得：， 解得：， ∴， ∴， 作轴，垂足为点，直线交轴于点， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立得， 解得（舍去）或， ∴点M的坐标． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数的最值，两点间的距离公式，是解决问题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，连接，点是轴上一点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，作直线交抛物线于点．点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交于点．当线段长度取得最大值时，在直线上有两动点、（点在点的上方），当时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，连接，点、分别为新抛物线上的两点，当时，连接，若线段被直线平分，求点的坐标（写出必要的求解过程）． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及一次函数，二次函数的图象与性质，架桥铺路最值问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的最值方法和利用交构造一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，设，得出，则可得出关于的式子，即可求最值，利用架桥铺路模型，通过平移构造将军饮马问题，即可求出的最值； （3）利用平移求出新抛物线解析式为平移后的抛物线为，利用交构造一线三垂直全等模型，求出直线的解析式，设，由线段被直线平分，，得出中点的坐标为，且点在直线上，代入直线的解析式，即可求解，注意分当点在直线下方和上方两种情况讨论． 【详解】（1）解：把、代入中， 得， 解得：， ∴； （2）解：中， 令，得， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 由， 解得：或， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵点是直线上方抛物线上一动点， ∴， ∵，的对称轴为直线， ∴当时，取得最大值， 此时，点的横坐标为， 如图，作点关于直线的对称点， ∴，， 将沿方向向下平移个单位长度得到， 则，， 则， 当、、共线时，取得最小值， 此时； （3）解：∵，， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴相当于抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∵原抛物线为， ∴平移后的抛物线为， 令，则， ∴， ①当点在直线下方时， 如图，过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点， ∴，，四边形和四边形为矩形， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵线段被直线平分，， ∴中点的坐标为，且点在直线上， ∴， 解得：，， 分别代入， 得，； ②当点在直线上方时， 同理可得直线解析式为， 联立新抛物线得， 变形为， ， 此方程无解， 则直线与新抛物线无交点，故舍， 综上所述，，． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点（在的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，作，垂足为点，点是轴上一动点，连接，．当周长取得最大值时，求的最大值以及点的坐标； (3)在（2）问的条件下，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个情况的求解过程． 【答案】(1) (2)， (3)①在直线上方：；②在直线下方： 【知识点】解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）令，先求出，得，由，可求出，将代入即可求解； （2）令，求得，求出直线的解析式，得，进而可得，，由轴，可推出轴，得， 进而得，得的周长， 设，则，得，从而得出有最大值时的周长最大，进而可求坐标； 作点关于轴对称点，连接，，求得，，得出当共线时，，此时有最大值 ； （3）由题意推出新抛物线是将向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到的，得， 分两种情况：①当在直线上方时，， ②当在直线下方时，，结合图像分别求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ， ， ， ， ， 将代入得， 解得， 抛物线的表达式； （2）解：令，则， 解得或， ， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， ， ， 的周长， 有最大值，的周长最大， 设，则， ， ， 当时，有最大值，此时的周长最大， ， ， 作点关于轴对称点，连接，， ，， ， 中，， 当共线时，， 此时有最大值 ； （3）解：由（2）知，，， ， 设直线为， 代入，， 得， ， ， 由题意可知，新抛物线是将即向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到的， ， ①当在直线上方时：如图， ， ， 设直线为， 代入， 得， ， ， ， ，（舍去）， 的横坐标为； ②当在直线下方时：如图， ， 设射线与直线交于， ， 设， ， ， ， ， 设直线为， 代入， ， 得， ， ， ， （舍去），， 的横坐标为； 综上所述，当时，符合条件的点的横坐标为或 ． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 6．如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线下方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，最小值为 (3)存在，． 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）根据对称轴得出，将将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出带你P的坐标， 将点向右平移个单位长度至点，连接，则，做点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答； （3）根据题意得出平移后的解析式为，，①当点Q在x轴下方时：过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E，则，设，则，求出m即可； ②当点Q在x轴上方时：同理可得：，即可解答． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大， ∴， ∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 做点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上：，最小值为． （3）解：∵将抛物线沿射线方向平移后过点， ∴原抛物线向下平移2个单位长度，向左平移4个单位长度， ∴平移后的解析式为， ∵， ∴， ∴， ①当点Q在x轴下方时： 过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则点Q即为所求， 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴， ②当点Q在x轴上方时： 同理可得： 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴（舍去）， 综上：存在，． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，铅锤法求面积，将军遛马最值模型，以及一线三等角证明相似． 7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点和点，交轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一点，轴交于，当最大时，在直线上运动，且，点，求的最小值； (3)将抛物线沿射线平移个单位，在平移后的抛物线上，是否存在点，使得，若存在，直接写出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题为二次函数综合题，考查了解直角三角形，图像的平移，线段和的最值问题，分类求解是解题的关键． （1）将点和点代入，解方程组即可； （2）将点沿平行于的方向平移个单位，得，连接，当，，三点共线时，，即可求解； （3）当点在的右侧时，构造等腰中，求出直线为，进而联立抛物线与直线解析式，即可求解；当点在的左侧时，同理可得． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得到：， 解得：， 所以抛物线的解析式为：． （2）设直线的解析式为，将，，代入， 得到，解得 直线的解析式为， 设， 轴交于 则， ， 其中，函数图像开口向下，对称轴为， 当时，， ， 将点沿平行于的方向平移个单位，因为直线斜率为1，所以相当于将点向右平移2个单位，向上平移2个单位，得，连接，如图： 当，，三点共线时， ∴． （3）解：存在，理由： 将抛物线沿射线平移个单位，相当于抛物线向左平移1个单位，向下平移1个单位， 则新抛物线的表达式为：， 当点在右侧时， 设将绕点逆时针旋转得，作射线交于， ∵，， ∴， ∵，， ∴由旋转可得：点， ∴由点，的坐标得直线的表达式为：， 联立直线和新抛物线得， 解得：（负值已舍去），即点， 当点在的左侧时， 同理可得：点，直线的表达式为：， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ． 综上所述：存在点，使得，它的坐标为或． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且点在轴上． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点是直线上一动点，过点作轴交轴于点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先利用点在轴上且在直线上，求出点坐标，再代入求解即可； （2）求出坐标，则设 ，得，，求得，，则，利用二次函数最值求出最大值，得出，，易得是固定值，利用架桥铺路，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，由平移得，，则，由两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最小，求解即可； （3）先求出新抛物线解析式，再分点E在直线下方和点E在的上方两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵点为直线与抛物线的交点，且点在轴上， ∴令， 解得：， ∴， 将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：联立， 解得：或， ∴， ∵点是直线上方抛物线上一点，且点在上， ∴设 ， ∵轴交直线于点，交轴于点， ∴，， ∴， ， ∴， ∵，且对称轴为直线， ∴当时（满足），取得最大值， 此时，， 即，， ∵轴交轴于点，， ∴四边形是矩形， ∴， 如图，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，连接， 由平移得，， ∴， 由两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最小， 最小值为， 故的最小值为； （3）解：如图，设直线与y轴交点为点S，抛物线与y轴交点为C，过B作轴于点P， ∵， ∴，， 对于，当时，，则， ∴轴，则； 对于，当时，，则， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度可得新抛物线， ∴新抛物线的解析式为； 若点E在直线下方，设直线交x轴于K， ∵， ∴， ∴，则， 设直线的表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； 若点E在的上方时，如图，在上取点K，连接，使得，则， 设，则， 在中，得， 解得，则，，， 延长交y轴于T，则，， ∴在中，，， ∴， 设直线与y轴交于点H，过H作于N， ∵， ∴， ∴，则， 在中，， ∴，解得， ∴    ，则， ∴， 设直线的表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， 综上，满足条件的点E坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及二次函数的图象与性质，待定系数法求函数表达式，二次函数图象的平移，一次函数的图象与性质，（架桥铺路）最值问题，解直角三角形，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定，并熟练二次函数中的最值问题和角度问题是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达式与x轴交于点和点B（A在B的右侧）与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接交于点D，连接，点M是直线上一动点，轴，垂足为N，连接．当取最大值时，求的最小值； (3)在（2）的条件下，过点P作轴，垂足为Q，交直线于点E，将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E，点F为新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标，并写出其中一个点求解过程． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先求得点B坐标，再待定系数法求解抛物线表达式即可； （2）先求得直线的函数表达式为，如图，过P作轴交直线于H，则，进而可得，则当最大时，取得最大值，设，则，，利用二次函数的性质求得取得最大值时的，连接，则轴，过D作，且，连接，，利用平行四边形的性质可两点之间线段最短得到的最小值为，进而求出点D、坐标，利用两点坐标距离公式求得即可； （3）先根据坐标与图形得到，，再求得新抛物线的解析式为，判断出，设直线与直线交点为M，，则，利用两点坐标距离公式求得，进而求得直线的函数表达式为，联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：由得， ∵， ∴，则， 将，代入中， 得，解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：令，则， ∴，， 设直线的函数表达式为， 则，解得， ∴直线的函数表达式为， 如图，过P作轴交直线于H， 则， ∴，则当最大时，取得最大值， 设，则， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，即取得最大值，此时， 连接，则轴， ∵M是直线PC上一动点，轴， ∴， 如图，过D作，且，连接，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，当、N、C共线时取等号， ∴的最小值为， 设直线的函数解析式为，则， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴，则， ∴， 故的最小值为； （3）解：如图，连接， 由（2）知，，直线的函数表达式为， ∵轴交直线于点E，， ∴，，， ∵将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E， ∴将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位可得新抛物线的解析式为， ∵， ∴， 设直线与直线交点为M，，则， ∴， 解得，则， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立方程组，整理得， 解得， ∴满足条件的点F横坐标为． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、最短路径问题、坐标与图形、解一元二次方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，有一定的难度，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想是解答的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点的直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点是抛物线顶点，是轴上方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，过点作直线的垂线交于点，点为轴上的动点（点在点的上方），且，当的周长取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，把抛物线沿射线的方向平移个单位得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，过点作直线的平行线，交轴于点，连接．若，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设直线的表达式为，求出表达式，当最大时，的周长最大，设，则，得，当时，最大，此时的周长最大，得，作 ，截取，连接，三点共线时最小； （3）由抛物线沿射线方向平移个单位，得出新抛物线的顶点坐标为即，对称轴为直线，设，直线交轴于点，分两种情况： ①当点在轴上方时，②当点在轴下方时，利用勾股定理建立方程分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， 把代入得， 解得：， 直线的表达式为， ， ， ，， 轴， ， ，， ，， ， 当最大时，的周长最大， 设，则， ， 当时，最大，此时的周长最大， ， ， 的顶点的坐标为， 即； 作 ，截取，连接， ，即， ， ，若使最小，则最小即可， ， 三点共线时最小， ， ； （3）解：把抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向上平移个单位，向右平移个单位， 新抛物线的顶点坐标为，即， 对称轴为直线， 设，直线交轴于点， ①当点在轴上方时， 如图，当时， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， （舍去），， ， ②当点在轴下方时，如图， 此时， 作关于直线的对称点，连接， ， ， ， ， ，， ， ， 同①可得，， ， 在中， ， （舍去），， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 11．如图，在平面直角坐标系中，拋物线交轴于，两点，交轴于，且点，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴于点，过点作于点，点，点分别是直线，轴上的两动点，连接，，．当取得最大值时，求三角形周长的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点是轴上方新抛物线上的一点，连接，过点作交直线于点，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先求出点的坐标，利用，求出点的坐标，结合，利用二次函数的交点式求解即可； （2）求出直线的解析式，设交于点，设，则可得，，，，利用等腰直角得出，则，利用二次函数的最值求出最大时点的坐标，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，，，，利用对称求出和的坐标，由对称可得，，则的周长，求即可； （3）利用，，，求出平移后的解析式，分两种情况：①当点在下方时，此时点设为点，设直线交于点，交轴于点，过点作于点，先得出，再求出，则可求出点的坐标，再求出直线的解析式，联立新抛物线解析式即可求解；②当点在上方时，方法同①． 【详解】（1）解：当时，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵拋物线交轴于，两点，， ∴设抛物线解析式为， 又∵拋物线， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设交于点，设， ∵轴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴对于抛物线开口向下， 又∵对称轴为直线， ∴当时，取得最大值，此时， 如图，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，，，， 由对称可得，， ∴， ∴， 由对称可得，， ∴的周长， 由两点之间线段最短得，且当、、、依次共线时取得最小值， 此时的周长最小值； （3）解：∴，，， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于水平向右平移个单位 长度，再向上平移个单位长度， ∴， 当点在下方时，如图，此时点设为点，设直线交于点，交轴于点，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立抛物线， 得：， 解得：或（此时在轴下方，故舍）， ∴点的横坐标为； 当点在上方时，如图，此时点设为点，设直线交轴于点，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立抛物线， 得：， 解得：或（此时在轴下方，故舍）， ∴点的横坐标为； 综上所述，满足条件的点的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求二次函数，二次函数的最值，一次函数与二次函数的交点，勾股定理，三角函数，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且点在轴上． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点是直线上一动点，过点作轴交轴于点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线的对称轴为轴，点是线段上一点，连接，过点作交新抛物线于点，且点在轴上方，连接，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）先利用点在轴上且在直线上，求出点坐标，再代入求解即可； （2）求出坐标，则设 ，得，，求得，，则，利用二次函数最值求出最大值，得出，，易得是固定值，利用架桥铺路，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，由平移得，，则，由两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最小，求解即可； （3）过点作轴于点，利用新抛物线的对称轴为轴，得出相当于抛物线水平向右平移个单位，再向下平移个单位，求出新抛物线解析式，再利用，求出，分两种情况：当点在轴左侧时，和当点在轴右侧时，分别构造一线三垂直相似，设，，表示出相似三角形各线段长，利用相似比为进行列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点为直线与抛物线的交点，且点在轴上， ∴令， 解得：， ∴， 将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：联立， 解得：或， ∴， ∵点是直线上方抛物线上一点，且点在上， ∴设 ， ∵轴交直线于点，交轴于点， ∴，， ∴， ， ∴， ∵，且对称轴为直线， ∴当时（满足），取得最大值， 此时，， 即，， ∵轴交轴于点，， ∴四边形是矩形， ∴， 如图，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，连接， 由平移得，， ∴， 由两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最小， 最小值为， 故的最小值为； （3）解：如图，过点作轴于点， ∴，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移， ∴利用相似可知平移相当于水平向右平移，再向下平移，向右和向下平移的距离比为， ∵新抛物线的对称轴为轴，且原抛物线的对称轴为直线， ∴相当于抛物线水平向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴新抛物线解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点在轴左侧时，过点作轴于点，过点作轴交于点，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则，，，， ∴， 解得：，， ∴, 则； 当点在轴右侧时，过点作轴于点，过点作轴交于点，如图， 同理， ∴， 设，， 则，，，， ∴， 解得：，或（舍）， ∴， 则； 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数表达式，一次函数的图象与性质，（架桥铺路）最值问题，三角函数，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定，并熟练二次函数中的最值问题，等角问题是解题的关键． 13．已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，P是直线上方抛物线上一动点，过P作轴交于点Q．点E、F分别是x轴、y轴上的动点，连接．当的长度最大时，求点P坐标以及四边形周长的最小值． (3)如图2，抛物线的顶点为D，连接，把抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线．点M是新抛物线对称轴上的一动点，直线与直线相交于点N，是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为4；四边形周长的最小值为 (3)存在，或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】（1）先求出，然后用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为设，则，则，证明得，则，利用二次函数的性质可求出的最大值；作点P关于y轴的对称点，作点Q关于x轴的对称点，连接，交x轴于点E，交y轴于点F，则，，，可得四边形周长的最小值，求出，即可求解； （3）分两种情况：①当点M在x轴下方时，先求出把抛物线向右平移3个单位，再向上平移9个单位得到新抛物线，得出，设．过点D作于点E，交的对称轴于点F，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可；②当点M在x轴上方时，过点D作于点E，交的对称轴于点F，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 把，代入，得 ， ∴， ∴； （2）解：解，得 ， ∴． 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴． 设，则， ∴． 作于点H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，的最大值为4， ∴，则． 作点P关于y轴的对称点，作点Q关于x轴的对称点，连接，交x轴于点E，交y轴于点F，则，，， ∴四边形周长的最小值 ． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形周长的最小值为； （3）解：①当点M在x轴下方时， ∵， ∴． 在射线截取，作于点L， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴把抛物线向右平移3个单位，再向上平移9个单位得到新抛物线， ∴， ∴设． 过点D作于点E，交的对称轴于点F， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当点M在x轴上方时，如图，过点D作于点E，交的对称轴于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上可知，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，轴对称最短问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的平移，难度较大，属中考压轴题． 14．如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点是线段上方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，点为轴上一动点，点为拋物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)将拋物线沿方向平移，平移后的抛物线经过，点为平移后抛物线上一动点，原拋物线的对称轴交轴于点，当时，求所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 【答案】(1) (2) (3)，，解答过程见解析 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得和直线的解析式为，由题意，设，，则，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求得当时，取得最大值，此时，作点P关于y轴的对称点，连接，，，可得，当A、N、M、共线时取等号，此时最小，最小值为的长，利用两点坐标距离公式求解即可； （3）先根据已知条件求得新抛物线的解析式为，然后分当在上方时和当在下方时两种情况，利用待定系数法、联立方程组、全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵拋物线与轴交于两点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：当时，，则， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 由题意，设，，则， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，此时， 如图，作点P关于y轴的对称点，连接，，， 则，， ∵拋物线与轴交于两点， ∴点A、B关于直线对称， ∴， ∴，当A、N、M、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， ∵， 故的最小值为； （3）解：由得抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵，， ∴，又， ∴， ∵将拋物线沿方向平移， ∴设抛物线向左平移个单位，再向下平移m个单位，得到新抛物线， 则平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过， ∴，解得，（舍去）， ∴新抛物线的解析式为， 当在上方时，如下图， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得，（舍去）， 则T坐标为； 当在下方时，如上图，设即与y轴相交于S， ∵，， ∴，又，， ∴， ∴，则， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，解得，（舍去）， 故即T的坐标为， 综上，满足条件的所有点T坐标为和． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的图象平移、坐标与图形、两点坐标距离公式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、解方程（组）等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． 15．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，作过、两点所在的直线，点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点．点是过点的直线上的一个动点，点是轴上一个动点，连接，当线段取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)如图2，作过、两点所在的直线，将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，过点作交轴于点，点为平移后抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】解直角三角形的相关计算、二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用的待定系数法求解即可； （2）过点P作轴交于点Q，先求出点C的坐标，再求出直线的解析式，设，则，求出，根据平行线的性质可得，利用正弦的定义可得，利用勾股定理求出，从而得到的代数式，利用二次函数的性质即可求出的最大值，进而确定点P的坐标；作点P关于y轴的对称点，作点P关于直线的对称点，连接，由对称的性质得到，即可得到的周长为，当点四点共线时，有最小值，最小值为的长，再由对称的性质求出两点的坐标，即可求解； （3）先求出平移后的抛物线解析式为：，过点K作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点G，如图，分当点N在右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：过点P作轴交于点Q， 将代入：，则， ∴， 设直线的解析式为， ∵，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最小值， 此时，， ∴； 作点P关于y轴的对称点，作点P关于直线的对称点，连接， 则， ∴由对称的性质得， ∴的周长为， 当点四点共线时，有最小值，最小值为的长， 设， ∴的中点坐标为， 由对称的性质可得的中点坐标在直线直线上， 则，即， ∴， ∴， 由对称的性质得，即， ∴，整理得：， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴周长的最小值为； （3）解：∵，且， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位， ∵， 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位后的解析式为：， 过点K作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点G， 如图，当点N在右侧时， ∵，轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， 由平移的方式得， 设， ∴， ∴，， ∴， 即，整理得：， 解得：或（点重合，舍去）， ∴， ∴； 如图，当点N在左侧时，作点A关于y轴的对称点D，过点D作于点H，连接， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴（三线合一）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 整理得：， 解得：或（点重合，舍去）， ∴， ∴； 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键． 16．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值． (3)在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最小值为 (3)存在，点Q的横坐标为或． 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，．由根与系数关系可得：，，得到，即可得到答案； （2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G．过点E作交y轴于点F．求出．得到．当时，点M坐标为，面积最大．得到的最小值为； （3）点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限，分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：对于，令． ∴． ∴根据图象可知：点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． 对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，． 由根与系数关系可得：， ∴． ∴抛物线的解析式为． （2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G． 过点E作交y轴于点F． 根据题意，为等腰直角三角形． 故直线相当于直线向下平移了4个单位长度，根据平移性质直线的解析式为：． ∴点G坐标为． ∵，， ． ∴． 当时，点M坐标为，面积最大． 此时点H与点E重合，点M与点G重合， 当点M坐标为时，为和为的中位线，点F坐标为，点N的轨迹在与射线平行的射线上． 作点C关于直线对称点，根据为等腰直角三角形，可得点坐标为． ∴． ∵， ∴四边形在平移时始终为平行四边形，． ∴． 对于，，． ∴． ∴的最小值为． 故面积最大时，的最小值为2． （3）根据题意，则，故抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线．相当于抛物线y先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．如图， 根据平移性质可得． 由（2）知． ，则． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴直线相当于直线向左平移了2个长度单位， ∴直线的解析式为． 如图，点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限： ①点是和新抛物线y′的交点，满足． 结合直线和新抛物线的解析式：． 解得或， 由于在第三象限，所以的横坐标为． ②作出点A关于的对称点，然后作轴，T为垂足，再连接交抛物线右侧于点． 这样根据轴对称的性质，． 设交于点R． ∵， ∴．， ∵，即， 把，，代入比例式解得： ． 在中， ． ∴点的坐标为． 设直线的解析式为：，代入点P和点的坐标得： ，解得． ∴直线的解析式为：y． 结合抛物线可得： ，解得或． 由于点在第四象限，所以的横坐标为：． 综合①②可得，点Q的横坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、函数的平移和对称等知识，分情况讨论是解题的关键． 17．如图1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在左侧）．与轴交于点，且，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点．过点作于点是直线上的动点（在左侧）．且．连、．当线段取最大值时，求点坐标以及的最小值： (3)将原抛物线延射线方向平移．使得平移后的抛物线经过点，点为抛物线的对称轴与轴的交点，为直线与抛物线在对称轴左侧的交点，为抛物线上的一个动点，且，请直接写出满足条件的所有点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【知识点】解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】（1）根据，求出点的坐标，用待定系数法即可求解； （2）作轴，交于，根据三角函数得出，得最大时最大，设，则，得，进而可求，设直线与轴交于，与轴交于，得点可看作点先向下平移个单位，再向可平移1个单位得到的，将点作同样的平移，得点，设点关于直线的对称点为，根据轴对称性质可得，连接，交直线于，得，进而可求的最小值； （3）根据平移规律求出，作轴，进而可得，过点，作直线，交于，交抛物线于，得，设直线为，求得，由，可求得，作点关于直线的对称点，直线交直线于，同法可求． 【详解】（1）解：令，则， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）解：作轴，交于， ， ，， ， ， ， ， 最大时，最大， 设直线为， 代入，， 得，， ， ， 设，则， ， 时，， 此时， ， 设直线与轴交于，与轴交于， 当时，， 当时，， ，， ， 过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点， ， ， ， ， ，， 点可看作点先向下平移个单位，再向可平移1个单位得到的， 将点作同样的平移，得点， 即， ，且， 四边形为平行四边形， 连接， ， ， 当最小时，最小， 设点关于直线的对称点为， 直线交直线于， 设直线为， 作轴于，设，则，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连接，交直线于， ， 此时， 的最小值为； （3）解：， 将其沿直线方向平移后经过，相当于先向上平移2个单位，再向左平移3个单位， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， 作轴， ， ， 过点，作直线，交于，交抛物线于， ，， ， ， ， 设直线为， ， ， ， ， （舍），， ， ， 作点关于直线的对称点，直线交直线于， 位置如图所示： 设直线为， ， ， ， 同（2）可求， ， 令， ， ， ∵S是和的中点， ， 作射线， 交抛物线于， ， 设直线为， 代入，， ， ， ， ， ，（舍）， ， ， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，线段周长问题，角度问题，二次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形等知识，解题的关键是准确作出辅助线，综合运用相关知识点． 18．如图，已知二次函数的图象与直线相交于、两点，且点在轴上，直线与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于点，轴交直线于点，点为点关于抛物线对称轴的对称点，连接．将沿轴方向移动到，连接、，当面积最大时，求点的坐标及的最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点是新抛物线上一动点，连接、．当时，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)，的最小值 (3)或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）将的坐标代入直线的解析式，再求出的坐标，将、代入抛物线解析式，即可求解； （2）交轴于，设，，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由即可求解的坐标；过作直线轴，作关于直线的对称点，连接、，当、、三点共线时，的值最小，此时，即可求解； （3）由平移得将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，就是将抛物线向下平移个单位，向右平移个单位，，①当在的下方时，、关于轴对称，由待定系数法得直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求解；②当在的上方时，作关于直线的对称点，连接、，延长交于， 设，可得，求出，同理可求直线的解析式，联立的解析式与的解析式即可求解． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得：， ， 当时， ， 解得：， ， ， 解得：， 抛物线的解析式； （2）解：交轴于， 设， ， ， ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设， 当取得最大值时，取得最大值， ， 当时，取得最大值， ， 当时，取得最大值； 如图，过作直线轴，作关于直线的对称点，连接、， ， ， 当、、三点共线时， 的值最小， 此时， ， 将沿轴方向移动到， ， ； 故，的最小值； （3）解：由得 当时，， ， ， 设向下平移个单位，则向右个单位， 将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ， 解得：， 将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，就是将抛物线向下平移个单位，向右平移个单位， ， ①当在的下方时， 当时， ， ， ， 、关于轴对称， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 可设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，（舍去）， ； ②当在的上方时， 作关于直线的对称点，连接、，延长交于， ， ，， ， ， ， ， ， 设， ， 解得：，， ， 同理可求直线的解析式， 联立， 解得：，（舍去）， ， 综上所述：点坐标或． 【点睛】本题考查了二次函数综合中的面积问题、线段和最小值问题、角度问题，待定系数法，相似三角形的判定及性质，二次函数图象的平移，勾股定理等；掌握二次函数综合中的面积问题、线段和最小值问题、角度问题的解法，能熟练利用待定系数法、勾股定理进行求解，并能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关 19．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接，直线与抛物线交于C，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作交于点M，点E、点F为直线上两个动点（点F在点E的右侧），且，点N为y轴上一动点，当最大时，求出点P的坐标以及的最小值； (3)如图2，直线与x轴交于点G，将原抛物线沿直线平移得到新抛物线，使得点C恰好与点G重合，连接，点Q是新抛物线上一点，且满足，请求出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)点的坐标为或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，得出直线的解析式为，作轴交于，作轴于，，，，由勾股定理可得，求出，得出，设，则，求出，从而可得时，最大，此时，即，将点沿方向平移个单位长度，即向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到，连接、，作轴于，由平移的性质可得，，则四边形为平行四边形，得出，从而可得，当、、在同一直线上时并结合垂线段最短可得，的值最小为，即可得解； （3）求出，由平移的性质可得，分两种情况：当点在的下方时，作轴于，证明，设，则，，解直角三角形即可得解；当点在的上方时，作点关于直线的对称点为，作直线交抛物线于，由轴对称的性质可得，此时满足，符合题意，设，则，求出，求出直线的解析式为，联立，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，，即， 将代入得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于，作轴于， 则，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴时，最大，此时，即， 将点沿方向平移个单位长度，即向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到，连接、，作轴于， 由平移的性质可得，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，当、、在同一直线上时并结合垂线段最短可得，的值最小为， ∴的最小值为； （3）解：在中，当时，，解得， ∴， ∵将原抛物线沿直线平移得到新抛物线，使得点C恰好与点G重合， ∴原抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到新抛物线， ∵， ∴， 如图：当点在的下方时，作轴于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴，即， 解得：或（不符合题意，舍去），此时； 当点在的上方时，作点关于直线的对称点为，作直线交抛物线于， 由轴对称的性质可得，此时满足，符合题意， 设，则，且的中点在直线上， ∴， 解得：或（舍去），即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得（不符合题意，舍去）或，此时， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于A、C两点（A在C的左侧），连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作交y轴于点D，交x轴于点E，点F为y轴上一动点，当取最大值时，求此时点P的坐标及的最大值； (3)如图，点Q是抛物线的对称轴与的交点，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线刚好经过点Q，K为新抛物线上一动点，当，请写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解其中一个点K坐标的过程． 【答案】(1) (2)，的最大值为 (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、已知正切值求边长、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出点B的坐标，再解直角三角形求出的长，进而得到点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出直线解析式为；设，则直线解析式，求出，，进而求出，，则，据此可得到有最大值时，点P的坐标为；再由，得到当A、P、F三点共线时，有最大值，最大值为的长，据此利用勾股定理即可求出答案； （3）先求出；可设原抛物线向下平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线，则新抛物线解析式为，利用待定系数法可得新抛物线解析式为；如图所示，取，连接，证明，得到；导角可证明，如图所示，过点Q作交新抛物线与，则，即点即为所求；可求出直线的解析式为，联立，可得；如图所示，过点A作，且使得，连接并延长，交新抛物线于，则，可证明，即点即为所求；求出点R的坐标，进而求出直线的解析式，同理可得． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 把，代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 设，直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值， ∴此时点P的坐标为； ∵， ∴， ∴当A、P、F三点共线时，有最大值，最大值为的长， ∵， ∴； ∴的最大值为； （3）解：∵原抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴； ∵将原抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线， ∴可设原抛物线向下平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线， ∴新抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过， ∴， ∴或（舍去）， ∴新抛物线解析式为； 如图所示，取，连接， 在中，当时，或， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点Q作交新抛物线与，则，即点即为所求； 同理可得直线解析式为， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 如图所示，过点A作，且使得，连接并延长，交新抛物线于，则， ∵， ∴， ∴，即点即为所求； 同理可得直线解析式为， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线解析式为； 联立，解得或， ∴； 综上所述，点K的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解（2）的关键在于设出点P的坐标，进而求出直线解析式，再用点P的横坐标表示出的长，解（3）的关键在于证明． 21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在y轴的左侧），与y轴交于点C．已知抛物线的对称轴为直线，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D为线段上一动点（不与端点重合），过点D作轴交抛物线于点P，过点P作交x轴于点E，F为线段上的一个动点，连接，当取得最大值时，求点D的坐标及的最小值； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿射线方向平移，在平移过程中斜边的对应边与原抛物线恰好只有一个交点时，记这个交点为点G．连接，过点B作交y轴于点H，设N是直线上一点，若点G关于直线的对称点恰好落在直线上，请直接写出所有符合条件的N点的横坐标，并写出必要的求解过程． 【答案】(1) (2)点D的坐标为，的最小值为 (3)或 【知识点】解直角三角形的相关计算、线段周长问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】（1）利用二次函数的对称轴，得到，再代入点A的坐标到抛物线，解出的值即可求解； （2）利用二次函数的性质求出点，的坐标，得出直线的解析式为，延长交轴于点，通过证明得到，设，得出的表达式，求出此时取得最大值时点的坐标，作直线，过点作轴交直线于点，利用三角函数的知识推出，作于点，则，再利用垂线段的性质和锐角三角函数的定义求出的最小值即可； （3）由平移的性质得，则设直线的解析式为，结合与原抛物线恰好只有一个交点，联立函数利用根的判别式求出的值，得出点的坐标，利用待定系数法求出直线和的解析式，连接交于点，连接、，利用对称的性质和平行线的性质推出四边形是菱形，得出，设，利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线， ， ， 代入得，， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：令，则， ， ， ， 令，则， 解得：，， ， 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得：， 直线的解析式为， 如图，延长交轴于点， 轴， ， ， ， ， ，即， ， ， 设，则，， ，， ， 当时，有最大值，即取得最大值，此时点D的坐标为， 作直线，过点作轴交直线于点， 令，则，解得， ， ， 在中，， ， 作于点，则， ， ， 当三点共线时，有最小值，此时， 过点作轴交直线于点，则， 令，则， ， ， 在中，， ， 的最小值为， 综上所述，点D的坐标为，的最小值为． （3）解：由（2）得，直线的解析式为， 由平移的性质得，， 设直线的解析式为， 联立， 消去整理得：， 与原抛物线恰好只有一个交点， ， 解得：， 代入得，， 解得：， ， 又， ， 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得：， 直线的解析式为， ，， 同理可得，直线的解析式为， 连接交于点，连接、， 点G关于直线的对称点为， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， 设， ， 解得：，， 符合条件的N点的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、平移和对称的性质、一元二次方程的应用，学会结合图形添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，同时涉及较大运算量，适合有能力解决压轴题的学生． 22．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是抛物线的顶点，连接，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点是轴上一动点，连接，当取得最大值时，求出点的坐标及的最小值； (3)如图2，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点为，延长线交抛物线于点，点为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先求出，再利用，，求出，，得，，再利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点，先求出直线的解析式为，通过，得出，得出，设，则，得出，利用二次函数的性质得出当时，最大，此时，证明，由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点，利用含角的直角三角形的性质进行求解即可； （3）先求得新抛物线的解析式为，求出直线解析式为，联立抛物线求出，在直线上取一点，使得， 则，则，则直线与抛物线的另一交点即为点，设，则利用列式求出，求出直线解析式为，联立抛物线即可求解；利用对称性，在直线上取另一点，使得， 再进行列式求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 代入抛物线， 得：， 解得：， ∴； （2）解：如图，过点作轴，交于点，交轴于点，设抛物线对称轴交轴于点，过点在轴下方作，过点作于点， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∵轴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， 则，， 则， ∵， ∴当时，最大， 此时， 则此时， ∵， ， ∴， ∴， 由点到直线的最短距离可得当、、依次共线，且时，最短，即最小，此时为如图的，设交轴于点， 由，得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即最小值为； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，的顶点为， ∴新抛物线的解析式为， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 如图，在直线上取一点，使得， 则， ∴， 则直线与抛物线的另一交点即为点， 设， 则，， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立抛物线，得， 解得：（舍），， 故点的横坐标为； 如图，利用对称性在直线上取另一点，使得， 则， 则直线与抛物线的另一交点即为点， 设， 则，， ∴， 解得：（舍），， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 联立抛物线，得， 解得：（舍），， 故点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合，涉及待定系数法，二次函数的图象与性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，点M、N分别在上运动，当取得最大值时，求的最小值． (3)将该抛物线沿射线方向平移，且平移后的新抛物线经过点C，点Q为新抛物线对称轴上的一动点，当时，直接写出满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、同弧或等弧所对的圆周角相等、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，则可求出直线解析式为；设，则，可得，则当时，有最大值，即此时点P的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为；取，连接，过点N作于H，解直角三角形可得，则当P、M、H三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求解即可； （3）根据题意得将该抛物线沿射线方向平移时，每向左移动个单位长度，则向下平移个单位长度，设原抛物线向左移动个单位长度后得到新抛物线，则平移后的抛物线解析式为，利用待定系数法求出平移后的解析式，则可得到平移后的抛物线对称轴为直线；取，可证明是直角三角形，且，解直角三角形可证明，则，可得点Q在以为直径的圆上，设的中点为T，，则，，据此建立方程求解即可；同理当构造的直角中，点P在下方时，以为直径的圆与直线不存在交点，即此时不存在点Q． 【详解】（1）解：把，代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解；在中，当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，即此时点P的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为； 如图所示，取，连接，过点N作于H， ∵，轴， ∴P、E、F三点共线， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴当P、M、H三点共线，且时，有最小值，最小值为的长， 此时有， ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴将该抛物线沿射线方向平移时，每向左移动个单位长度，则向下平移个单位长度， 设原抛物线向左移动个单位长度后得到新抛物线， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过点C， ∴， 解得或（舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为； ∴平移后的抛物线对称轴为直线； 如图所示，取，则，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴B、Q、C、P四点共圆， ∴点Q在以为直径的圆上， 设的中点为T，，则，， ∴， 解得， ∴点Q的坐标为或； 同理当构造的直角三角形中，点P在下方时，以为直径的圆与直线不存在交点，即此时不存在点Q； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，圆的相关性质，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理及其逆定理，解（2）的关键在于设出点P坐标，进而表示出，利用二次函数的性质求出最大时点P的坐标，再通过构造直角三角形转换；解（3）的关键在于构造直角三角形． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过作轴交于点，作于点，点，是直线上的动点，且，连接．点是线段上的动点，连接，当线段取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，在(2)的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线新抛物线与轴交于点，(在左边)，点为新抛物线上的一动点，当时，请求出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）抛物线经过，，利用交点式得出，再代入即可； （2）延长，交延长线于点，分别求出直线解析式为，直线解析式为，设，得，，得出，，利用，求出，得出，可得当时，取得最大值，此时，此时，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，得出，由平移的性质得，则，过点作轴，过点作于，利用，得出，则，由点到直线的最短距离可知当，，，依次共线，且时，最短，此时即为图中的，的最小值即为长度，即可求解； （3）先确定沿射线方向平移个单位长度，即为水平向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，∴得到新抛物线的解析式为，得出，，作点关于轴的对称点，连接，得出，当点在上方时，此时点为点，设交轴于点，利用，求出，再求出直线的解析式为，联立，即可求解；当点在下方时，此时点为点，易知，过点作直线的平行线，交直线于点，得出，求出直线的解析式为，设，利用列式求出，再求出直线的解析式为，联立，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴抛物线的解析式为， 将代入， 得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，延长，交延长线于点， 设直线解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设， ∵轴， 则，， ∴，， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， 此时， 此时点位置如图，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段， 过点作轴，过点作轴，与交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴点到点即向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度， ∴点到点即向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度， ∴，即， 由平移的性质得， ∴， 如图，过点作轴，过点作于， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由点到直线的最短距离可知当，，，依次共线，且时，最短，此时即为图中的，的最小值即为长度， ∵， ∴的最小值为； （3）解：如图，过点作轴于点， 则，， ∴， ∴， 同（2）中的平移方法可得沿射线方向平移个单位长度，即为水平向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度， ∴得到新抛物线的解析式为， 令，得， 解得：，， ∴，， 作点关于轴的对称点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在上方时，如图，此时点为点，设交轴于点， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 得：， 解得：，， ∴的横坐标为； 当点在下方时，如图，此时点为点， 易知， 过点作直线的平行线，交直线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得， ∴直线的解析式为， 设， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 得：， 解得：，， ∴的横坐标为； 综上所述，的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质，点到直线的最短距离，勾股定理，等腰三角形的判定，解一元二次方程，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段上一动点，点N为线段上一动点，于点F，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为原抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、三角函数综合 【分析】（1）根据得即，结合， 确故，构造方程组解答即可； （2）先求得直线的解析式为，不妨设，则，则，继而计算出代数式的最值， 且当时，有最大值，此时．作，延长交于点G，过点P作于点Q，交于点M，交于点N，此时，此时取得最小值，利用三角函数解答即可． （3）先根据向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得到符合题意的新抛物线，过点D作，交第一象限内抛物线于点Q，则，确定直线的解析式为，再确定直线的解析式为，构造方程组，确定；证明，得到，此时当点Q与点A重合时，，此时， 综上所述，符合题意的点或，解答即可． 【详解】（1）解：∵ ∴即， ∵， ∴， 故， 把点，分别代入， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 不妨设，则， ∴，根据得， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值，此时． 作，延长交于点G， 过点P作于点Q，交于点M，交于点N， ∴， 此时取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴的最小值为． （3）解：当时，有最大值，此时． ∵，， ∴，， ∴， ∴向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得到符合题意的新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 过点D作，交第一象限内抛物线于点Q， 则， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 解得，（舍去）， ∴； ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点Q与点A重合时，， 此时， 综上所述，符合题意的点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的最值，三角函数的应用，特殊角函数值的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，垂线段最短，熟练掌握函数的最值，三角函数的应用是解题的关键． 26．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于C． (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作于点M，N是直线上的一动点，连接．当取得最大值时，求的最小值： (3)将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点Q是新抛物线上的一点，连接．当时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，由勾股定理得出，求出，，直线的解析式为，作轴交于，，得出，当最大时，取得最大值，设，则，表示出，结合二次函数的性质得出当时，的值最大为，取得最大值为，此时，作轴于，则，推出，当、、在同一直线上，且垂直于轴时，的值最小，即可得解； （3）求出直线的解析式为，结合题意得出将抛物线向左平移个单位长度，向上平移四个单位长度得到新抛物线，求出，分两种情况：当点在下方时，作交于，作轴于；当点在上方时，连接，延长交于，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，，即， ∵，， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交于， ， 则， ∴， ∴， ∴当最大时，取得最大值， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的值最大为，取得最大值为，此时， 作轴于，则， ∴， ∴当、、在同一直线上，且垂直于轴时，的值最小，此时为点到轴的距离，为； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线， ∴将抛物线向左平移个单位长度，向上平移四个单位长度得到新抛物线， ∵， ∴， 如图：当点在下方时，作交于，作轴于， ， ∵直线的解析式为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点Q的横坐标为； 如图：当点在上方时，连接，延长交于， ， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，得， 解得或（不符合题意，舍去） 综上所述，点Q的横坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 27．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线解析式； (2)点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值． (3)将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)点K的横坐标为或或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）中的解析式可得点在直线上，求出直线的解析式为，作轴交于，设，则，，表示出三角形的面积结合二次函数的性质得出当时，的面积有最大值，为，此时，作交于，交对称轴于，交轴于，由直线的解析式得出，从而可得，，当、、、四点共线时，的值最小，用面积法求出，即可得解； （3）求出新的抛物线，，再分两种情况：当点在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于，作直线交抛物线于，当点在的下方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点G是（1）中抛物线对称轴上的动点， ∴点在直线上， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交于， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积有最大值，为，此时， 作交于，交对称轴于，交轴于， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当、、、四点共线时，的值最小， ∵，的面积为， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵，直线的解析式为， ∴将抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到新的抛物线， 在中，当时，，即， 当点在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于，作直线交抛物线于， ， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，满足题意， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或； 此时点K的横坐标为或； 如图，当点在的下方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于， ， 由轴对称的性质可得，，， 此时，满足题意， 设，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：或； 此时点的横坐标为或； 综上所述，点K的横坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—线段周长问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 28．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，． (1)求该拋物线解析式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，交于D，点E为直线上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值； (3)如图2，将拋物线绕点旋转得到新拋物线，M为新抛物线对称轴上一点，将沿射线方向平移，在平移过程中，若存在平移后的三角形恰有两个顶点同时落在新拋物线上，直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)的坐标为或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，得出，进而可得，求出直线的解析式为，作于，则，设，则，，表示出，由二次函数的性质可得当时，的值最大，为，此时，作直线于，直线于，直线于，求出，得到，由两点直线线段最短并结合垂线段最短可得，当、、在同一直线上，且直线时，的值最小，为，即可得解； （3）求出新抛物线的解析式为，得出新抛物线的对称轴为直线，再分两种情况：当平移后的的直角边在新抛物线上时，此时直线交新抛物线的对称轴于；当平移后的的斜边在新抛物线上时，此时直线交新抛物线的对称轴于；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作于，则， ∵点P是直线下方抛物线上一动点， ∴设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为，此时，即， 作直线于，直线于，直线于， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由两点直线线段最短并结合垂线段最短可得，当、、在同一直线上，且直线时，的值最小，为， ∴的最小值为 （3）解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵将拋物线绕点旋转得到新拋物线， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∴新抛物线的解析式为，即， ∴新抛物线的对称轴为直线， 如图，当平移后的的直角边在新抛物线上时，此时直线交新抛物线的对称轴于； 由平移的性质可得， ∴点的横坐标为， ∴ 点的纵坐标为，即， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即； 如图，当平移后的的斜边在新抛物线上时，此时直线交新抛物线的对称轴于； 由平移的性质可得，， 设，则，， ∴， 解得：， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 当时，，即； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、二次函数综合—线段问题、平移的性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点M． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点F是线段上一动点（点F不与端点A，D重合），过点F作，交抛物线于点E（点E在对称轴左侧），过点E作轴，垂足为H，交于点G，点N是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点P为平移后的抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的P的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，连接，过点作，连接，根据最大时，最大，利用二次函数的性质，求出点坐标，进而求出点坐标，求出，得到，结合垂线段最短得到时，最小，进行求解即可； （3）求出平移后的解析式，求出，连接，过点作轴于点，则四边形为正方形，得到，分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 设，则：， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，最大，此时最大， ∴，， ∴， 连接， ∵，， ∴，同法可得直线的解析式为：， ∴， ∴， 过点作，连接，则：， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小为的长， 设与轴交于点，连接， ∵，当时，， ∴， ∴轴，， ∴， ∴， ∴的最小值为：； （3）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：，则直线的解析式为， ∴为二，四象限的角平分线， ∴抛物线沿方向平移个单位，相当于先向左平移3个单位，再向上平移3个单位， ∴， 连接，过点作轴于点，则四边形为正方形， ∴， ①在上方取点，过点作，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上， ∴点为射线与抛物线的交点， 同（2）法可得直线的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）； ∴； ②在下方取点，过点作， 同法可得：， 点为射线与抛物线的交点，同法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，胡不归问题，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，连接，，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过作交于点，过作轴交轴于点、交于点，点为直线上一动点，当周长最大时，求的最小值及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点是新抛物线上一点，点为点关于轴的对称点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【知识点】二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）根据，，得，代入，解方程组得即得; （2）证明是等腰直角三角形，设，求出直线表达式，得，当时，最大时，周长最大，此时, ，得，，连接并延长到H，使，连接，得，，根据，得 最小值为，； （3）由轴对称知，，结合得， 由平移，得，过点C作，交直线于点P,过P作轴于点N，则，证明， ， ，得，可得，求出直线解析式，联立得 解得：，得；当F在右下侧时同理得，直线解析式为，联立得。解得，得． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于A，两点，，， ∴， ∴， 解得， ∴; （2）解：由（1）可知，，， ∴， ∴， ∵，轴， ∴轴, ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，直线表达式为， 则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大时，周长最大， 此时, ， ∴， ∴， 连接并延长到H， 使，连接， 则点H与点D关于直线对称， ， ∴， ∵， ∴当点M与点E重合时，，值最小， ∴最小值为， ∴； （3）解：由轴对称知，， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位， ∴抛物线是向右平移2个单位，再向下平移4个单位， ∵， ∴， 过点C作，交直线于点P，过P作轴于点N， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当F在直线左上侧时， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立得 解得：或（舍去）， ∴； 当F在直线右下侧时， 同理得，直线解析式为， 联立得。 解得或（舍去）， ∴； ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数与一次函数图象和性质，三角形周长产生的二次函数的最值问题，轴对称性质，二次函数的平移性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键． 31．如图，抛物线与轴交于点，点（在的左侧），与轴相交于点，、的坐标分别为：、，连接、． (1)                                                       求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作，交直线于点，过点作轴，交轴于点，点为直线上一动点，当最大时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点为平移后抛物线对称轴上一动点，连接、，当时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）运用待定系数法把点代入解析式，求二元一次方程组的解，即可求解； （2）过作轴交于，交于，延长交于，由三角函数得 ，，可求，由待定系数法得直线的解析式为，设，，表示出、，由，，，由二次函数的性质求出；如图，过作轴，过作，过作轴交于，作交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，可求，从而可得 ，当、、三点共线时，的值最小，即可求解； （3）由，该抛物线沿射线方向平移个单位，该抛物线向左平移个单位长度，由平移的性质得平移后的对称轴为直线，①当在轴上方时，过作轴交于，过作轴交于，交于， 由相似三角形的判定方法得，由相似三角形是性质得，可求 ，设，则，同理可证，由相似三角形是性质得 ，由勾股定理得，即可求解；②当在轴下方时，同理可求． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过作轴交于，交于，延长交于， 轴， ， 当时，， ∴， ∴，， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时， 取最大值， ， ， 如图，过作轴，过作，过作轴交于，作交于， 轴， 四边形、、均是矩形， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 如图， 当、、三点共线时，的值最小， 此时， 的最小值为； （3）解：， 该抛物线沿射线方向平移个单位， 该抛物线向左平移个单位长度， ， 平移后的对称轴为直线， ①当在轴上方时， 如图，过作轴交于，过作轴交于，交于， ， 四边形、、是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ， 设， ， ， 在中 ， ， 解得：，（舍去）， ； ②当在轴下方时，如图， 同理可求： ， ， 解得：，（舍去）， ； 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，三角函数等；能根据题意构建相似三角形，并能熟练利用二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，三角函数进行求解是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 二次函数双最值问题（原卷版） （2大类型精选30题） 1．如图，抛物线的顶点A的坐标为，抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点，在抛物线的对称轴上存在一点G，使得的值最小，求出点G的坐标． 2．如图1，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，若点P是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点Q，当最大时，在抛物线对称轴上找一点M，使的值最小，求出此时点M的坐标； (3)若点P在直线上的运动过程中，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A点坐标为，． (1)求抛物线解析式： (2)点E是直线上方抛物线上的一动点，于F，点D是x轴上一动点，连接，当线段长度最大时，求点E的坐标及的最小值． (3)如图2，在（2）条件下，将抛物线C沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线C的交点为G，请在新抛物线上找一点M（不与点G重合），使直线与直线的夹角为，直接写出符合条件的点M的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，连接，点是轴上一点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，作直线交抛物线于点．点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交于点．当线段长度取得最大值时，在直线上有两动点、（点在点的上方），当时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，连接，点、分别为新抛物线上的两点，当时，连接，若线段被直线平分，求点的坐标（写出必要的求解过程）． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于，两点（在的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，作，垂足为点，点是轴上一动点，连接，．当周长取得最大值时，求的最大值以及点的坐标； (3)在（2）问的条件下，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个情况的求解过程． 6．如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点为直线下方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点和点，交轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一点，轴交于，当最大时，在直线上运动，且，点，求的最小值； (3)将抛物线沿射线平移个单位，在平移后的抛物线上，是否存在点，使得，若存在，直接写出的坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且点在轴上． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点是直线上一动点，过点作轴交轴于点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达式与x轴交于点和点B（A在B的右侧）与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接交于点D，连接，点M是直线上一动点，轴，垂足为N，连接．当取最大值时，求的最小值； (3)在（2）的条件下，过点P作轴，垂足为Q，交直线于点E，将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过点E，点F为新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点F的横坐标，并写出其中一个点求解过程． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点的直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点是抛物线顶点，是轴上方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，过点作直线的垂线交于点，点为轴上的动点（点在点的上方），且，当的周长取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，把抛物线沿射线的方向平移个单位得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，过点作直线的平行线，交轴于点，连接．若，直接写出所有符合条件的点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，拋物线交轴于，两点，交轴于，且点，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴于点，过点作于点，点，点分别是直线，轴上的两动点，连接，，．当取得最大值时，求三角形周长的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点是轴上方新抛物线上的一点，连接，过点作交直线于点，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且点在轴上． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点是直线上一动点，过点作轴交轴于点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线的对称轴为轴，点是线段上一点，连接，过点作交新抛物线于点，且点在轴上方，连接，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 13．已知二次函数的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，P是直线上方抛物线上一动点，过P作轴交于点Q．点E、F分别是x轴、y轴上的动点，连接．当的长度最大时，求点P坐标以及四边形周长的最小值． (3)如图2，抛物线的顶点为D，连接，把抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线．点M是新抛物线对称轴上的一动点，直线与直线相交于点N，是否存在点M，使，若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 14．如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点是线段上方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，点为轴上一动点，点为拋物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)将拋物线沿方向平移，平移后的抛物线经过，点为平移后抛物线上一动点，原拋物线的对称轴交轴于点，当时，求所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 15．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，作过、两点所在的直线，点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点．点是过点的直线上的一个动点，点是轴上一个动点，连接，当线段取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)如图2，作过、两点所在的直线，将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，过点作交轴于点，点为平移后抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 16．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值． (3)在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 17．如图1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在左侧）．与轴交于点，且，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点．过点作于点是直线上的动点（在左侧）．且．连、．当线段取最大值时，求点坐标以及的最小值： (3)将原抛物线延射线方向平移．使得平移后的抛物线经过点，点为抛物线的对称轴与轴的交点，为直线与抛物线在对称轴左侧的交点，为抛物线上的一个动点，且，请直接写出满足条件的所有点的坐标． 18．如图，已知二次函数的图象与直线相交于、两点，且点在轴上，直线与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于点，轴交直线于点，点为点关于抛物线对称轴的对称点，连接．将沿轴方向移动到，连接、，当面积最大时，求点的坐标及的最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点是新抛物线上一动点，连接、．当时，请直接写出所有符合条件的点坐标． 19．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接，直线与抛物线交于C，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作交于点M，点E、点F为直线上两个动点（点F在点E的右侧），且，点N为y轴上一动点，当最大时，求出点P的坐标以及的最小值； (3)如图2，直线与x轴交于点G，将原抛物线沿直线平移得到新抛物线，使得点C恰好与点G重合，连接，点Q是新抛物线上一点，且满足，请求出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于A、C两点（A在C的左侧），连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作交y轴于点D，交x轴于点E，点F为y轴上一动点，当取最大值时，求此时点P的坐标及的最大值； (3)如图，点Q是抛物线的对称轴与的交点，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线刚好经过点Q，K为新抛物线上一动点，当，请写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解其中一个点K坐标的过程． 21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在y轴的左侧），与y轴交于点C．已知抛物线的对称轴为直线，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D为线段上一动点（不与端点重合），过点D作轴交抛物线于点P，过点P作交x轴于点E，F为线段上的一个动点，连接，当取得最大值时，求点D的坐标及的最小值； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿射线方向平移，在平移过程中斜边的对应边与原抛物线恰好只有一个交点时，记这个交点为点G．连接，过点B作交y轴于点H，设N是直线上一点，若点G关于直线的对称点恰好落在直线上，请直接写出所有符合条件的N点的横坐标，并写出必要的求解过程． 22．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是抛物线的顶点，连接，点是上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作轴于点，点是轴上一动点，连接，当取得最大值时，求出点的坐标及的最小值； (3)如图2，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点为，延长线交抛物线于点，点为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，点M、N分别在上运动，当取得最大值时，求的最小值． (3)将该抛物线沿射线方向平移，且平移后的新抛物线经过点C，点Q为新抛物线对称轴上的一动点，当时，直接写出满足条件的点Q的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过作轴交于点，作于点，点，是直线上的动点，且，连接．点是线段上的动点，连接，当线段取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，在(2)的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线新抛物线与轴交于点，(在左边)，点为新抛物线上的一动点，当时，请求出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段上一动点，点N为线段上一动点，于点F，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为原抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 26．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于C． (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作于点M，N是直线上的一动点，连接．当取得最大值时，求的最小值： (3)将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点Q是新抛物线上的一点，连接．当时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 27．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线解析式； (2)点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值． (3)将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标． 28．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，． (1)求该拋物线解析式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，交于D，点E为直线上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值； (3)如图2，将拋物线绕点旋转得到新拋物线，M为新抛物线对称轴上一点，将沿射线方向平移，在平移过程中，若存在平移后的三角形恰有两个顶点同时落在新拋物线上，直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情况的过程． 29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点M． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点F是线段上一动点（点F不与端点A，D重合），过点F作，交抛物线于点E（点E在对称轴左侧），过点E作轴，垂足为H，交于点G，点N是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点P为平移后的抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的P的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，连接，，且，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过作交于点，过作轴交轴于点、交于点，点为直线上一动点，当周长最大时，求的最小值及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点是新抛物线上一点，点为点关于轴的对称点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 31．如图，抛物线与轴交于点，点（在的左侧），与轴相交于点，、的坐标分别为：、，连接、． (1)                                                       求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作，交直线于点，过点作轴，交轴于点，点为直线上一动点，当最大时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位，点为平移后抛物线对称轴上一动点，连接、，当时，请写出所有符合条件的的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$