湖北省宜昌市金东方教育集团2024—2025学年下学期八年级数学期中考试

2025 年春季学期八年级期中考试 数学试卷 注意事项： 1. 本试卷共三大题 24 小题，卷面分 120 分，考试时间 120 分钟： 2. 本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将各题答案答在答题卡上每题对应的答题卡区域内，答 在试题卷上无效；考试结束只上交答题卡。 一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位 置填涂符合要求的选项前面的字母代号，本大题共 10 小题，每小题 3 分，计 30 分） 1. 若代数式 √ 𝑎 − 3 有意义，则 𝑎 的取值范围是 ( ) A. 𝑎 ≥ 3 B. 𝑎 = 3 C. 𝑎 ≤ 3 D. 𝑎 ≠ 3 2. 下列二次根式是最简二次根式的是 ( ) A. √12 B. √ 7 C. √ 8 D. √ 0.3 3. 下列计算中，正确的是 ( ) A. √ 2 + √ 3 = √ 5 B. √ 4 − √ 3 = 1 C. √ 2 × √ 3 = √ 6 D. √ 8 ÷ √ 2 = 4 4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是 ( ) A. 1，2，3 B. 3，3，4 C. 2，2，5 D. 12，5，13 5. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为 𝑟，则圆周长 𝐶 与 𝑟 的关系式为 𝐶 = 2𝜋𝑟. 下列判断正确的是 ( ) A. 2 是变量 B. 𝜋 是变量 C. 𝑟 是变量 D. 𝐶 是常量 （第 6 题图） （第 7 题图） （第 8 题图） （第 9 题图） 6. 下列四组条件中，不能判定四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形的是 ( ) A. 𝐴𝐵//𝐵𝐶，𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 B. 𝐴𝐵//𝐷𝐶，𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 C. 𝐴𝐵//𝐷𝐶，𝐴𝐷//𝐵𝐶 D. 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶，𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 7. 如图，数轴上的点 𝐴 表示的数是 −1，点 𝐵 表示的数是 2，𝐶𝐵 ⟂ 𝐴𝐵 于点 𝐵，且 𝐵𝐶 =， 以 𝐴 点为圆心，𝐴𝐶 为半径画弧交数轴于点 𝐷，则点 𝐷 表示的数是 ( ) A. 2.7 B. √ 13 C. √ 13 − 1 D. √ 13 + 1 8. 如图，在 ▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐵 = 5、𝐴𝐷 = 3,，按以下步骤作图： 1⃝以点 𝐴 为圆心，小于 𝐴𝐷 的长为半径画弧，分别交 𝐴𝐷、𝐴𝐵 于点 𝐸、𝐹； 2⃝分别以点 𝐸、𝐹 为圆心，大于 12𝐸𝐹 的长为 半径画弧，两弧交于点 𝐺； 3⃝作射线 𝐴𝐺 交 𝐶𝐷 于点 𝐻，则 𝐷𝐻 的长是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在 ▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐶，𝐵𝐷 为对角线，𝐵𝐶 = 10，𝐵𝐶 边上的高为 6，则图中阴影部 分的面积为 ( ) A. 10 B. 15 C. 30 D. 40 2025 年春季学期期中考试 八年级数学 第 1 页共 4 页 10. 如图 1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上，小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去 报亭看报，最后散步回家. 小亮离家距离 𝑦 与时间 𝑥 之间的关系如图之所示. 给出以下结论： 1⃝小亮从家到羽毛球馆用了 7 分钟： 2⃝小亮打羽毛球的时间是 30 分钟； 3⃝报亭到小亮家的距离是 400 米，其中正确的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 图 1 图 2 （第 10 题图） （第 15 题图） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分） 11. 计算：√(−2)2 = 12. 命题“两直线平行，同位角相等.”的逆命题是 13. 已知函数 𝑦 = 3𝑥 + 𝑎 − 4, 当 𝑎 = 时，这个函数为正比例函数. 14. 如果直角三角形两条边长分别为 3 和 4，那么第三条边长为 15. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形， 设直角三角形较长直角边长为 𝑎，较短直角边长为 𝑏，若 𝑎𝑏 = 16，大正方形的面积为 36．则小 正方形的边长为 三、解答题（本大题共 9 小题，计 75 分） 16. （6 分）计算： (1) 2 √ 3 − 5 √ 12 + √ 48； (2) ( √ 3 × √ 6 − √ 8) ÷ √ 2 17. （6 分）先化简，再求值：(𝑎 − √ 3) (𝑎 + √ 3) + 𝑎 (𝑎 − 1)，其中 𝑎 = √ 5. （第 18 题图） 18. （6 分）如图，四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，对角线 𝐴𝐶，𝐵𝐷 交于点 𝑂，点 𝑀，𝑁 是 𝐵𝐷 上的两点且 𝐵𝑀 = 𝐷𝑁。求证：四边形 𝐴𝑀𝐶𝑁 是平行四边形。 （第 19 题图） 19. （8 分）如图，在四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，∠𝐵 = 90∘，𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 2， 𝐶𝐷 = 3，𝐷𝐴 = 1。 （1）求线段 𝐴𝐶 的长； （2）求 ∠𝐷𝐴𝐵 的度数。 2025 年春季学期期中考试 八年级数学 第 2 页共 4 页 （第 20 题图） 20. （8 分）如图，在 Rt△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘，𝐷 是 𝐴𝐵 的中点，四边形 𝐵𝐶𝐸𝐷 为平行四边形，𝐷𝐸、𝐴𝐶 相交于 𝐹，连 接 𝐷𝐶，𝐴𝐸。 （1）求证：四边形 𝐴𝐷𝐶𝐸 是菱形； （2）若 𝐴𝐶 = 8，𝐵𝐶 = 6，求四边形 𝐴𝐵𝐶𝐸 的面积。 21. （8 分）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天 幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆 𝐴𝐵，用绳子拉直 𝐴𝐷 后系在树 干 𝐸𝐹 上的点 𝐸 处，使得 𝐴，𝐷，𝐸 在一条直线上，通过调节点 𝐸 的高度可控制“天幕”的开 合，𝐴𝐶 = 𝐴𝐷 = 2 √ 3 m，𝐵𝐹 = 4 m。 （1）天晴时打开“天幕”，若 ∠𝑎 = 60∘，求遮阳宽度 𝐶𝐷； （2）下雨时收拢“天幕”，∠𝑎 从 60∘ 减少到 45∘，求点 𝐸 下降的高度。（结果保留两位小 数，参考数据： √ 2 ≈ 1.414， √ 3 ≈ 1.732） （第 21 题图） 22. （10 分）阅读下列材料：把形如 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方 式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 ± 𝑏)2。 配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题。 （第 22 题图） 例如：当 𝑥 取何值时，代数式 𝑥2 + 2𝑥 − 4 有最小（或最大）值？ 𝑥2 + 2𝑥 − 4 = (𝑥2 + 2𝑥 + 1) − 5 = (𝑥 + 1)2 − 5 ∵(𝑥 + 1)2 ≥ 0, ∴(𝑥 + 1)2 − 5 ≥ −5 ∴当𝑥 = −1时，代数式𝑥2 + 2𝑥 − 4有最小值− 5。 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当 𝑥 取何值时，代数式 𝑥2 − 4𝑥 + 5 有最小（或最大）值； 【类比应用】 （2）已知 𝑀 = 𝑎2 − 𝑎，𝑁 = 𝑎 − 2（𝑎 为任意实数），判断 𝑀 与 𝑁 的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长 24 米），另三边用总长为 40 米的竹篱笆围成。 1⃝请直接写出 𝑦 与 𝑥 的函数关系式及自变量 𝑥 的取值范围； 2⃝当 𝑥 为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 2025 年春季学期期中考试 八年级数学 第 3 页共 4 页 23. （11 分）矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐵 = 𝑘𝐵𝐶（𝑘 为常数，𝑘 > 0），点 𝑀 为边 𝐵𝐶 上一动点（点 𝑀 与 𝐵，𝐶 不重合），连接 𝐴𝑀，以 𝐴𝑀 为直角边作等腰直角 △𝐴𝑀𝐹，∠𝐴𝑀𝐹 = 90∘。 （1）如图 1，过点 𝐹 作 𝐹𝐺 ⟂ 𝐵𝐶 交 𝐵𝐶 的延长线于点 𝐺，求证：𝐵𝑀 = 𝐹𝐺； （2）当 𝑘 = 1 时： 1⃝ 判断四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的形状，并说明理由； 2⃝ 连接 𝐶𝐹，若 𝐴𝐵 = 3，𝐵𝑀 = 1，求 𝐶𝐹 的长； （3）当 𝑘 = 32，𝑀 为 𝐵𝐶 的中点时，𝐴𝐹 交 𝐶𝐷 于点 𝑃，取线段 𝐹𝑀 的中点 𝑄，连接 𝑃𝑄。若 𝑃 𝑄 = 2 √ 5，求 𝐶𝐹 的长。 （第 23 题图 1） （第 23 题图 2） （第 23 题图 3） 24. （12 分）如图 1，将矩形纸片 𝐴𝑂𝐵𝐶 放在平面直角坐标系中，点 𝐴、𝐵 分别在 𝑥 轴和 𝑦 轴的正半轴上，顶点 𝐶 的坐标为 (𝑚, 𝑛)，点 𝑃 是边 𝐵𝐶 上的一动点，将 △𝐵𝑂𝑃 沿 𝑂𝑃 折叠 压平，使点 𝐵 落在点 𝑄。 （1）若 𝑚，𝑛 满足 √ 𝑚 − 4 + |𝑛 − 3| = 0， 1⃝ 求点 𝐶 的坐标； 2⃝ 连接 𝐶𝑄，当以点 𝑃、𝐶、𝑄 为顶点的三角形是直角三角形时，求点 𝑄 的坐标； （2）若正比例函数 𝑦 = 34𝑥 的图象经过点 𝐶，直线 𝑂𝑄 与矩形的边相交于点 𝑀，当 𝐶𝑀 = 𝑀𝑄 时，求直线 𝑂𝑄 的函数解析式。 （第 24 题图 1） （第 24 题备用图 1） （第 24 题备用图 2） 2025 年春季学期期中考试 八年级数学 第 4 页共 4 页