2025年北京市海淀区第二十中学九年级数学中考模拟试卷

数学试卷答案及评分参考 第1页（共 11 页） 北京市第二十中学九年级第二学期练习 数 学 答 案 第一部分 选择题 一、选择题 （共 16 分，每题 2 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A B B C D D 第二部分 非选择题 二、填空题（共 16 分，每题 2 分） 9． 1x  − 10． ( ) 2 2m m n− 11． ( )1k  即可 12．45° 13．50° 14．1 15． 2 2 16．（1）4；（2） 10 3 60 3       ， 三、解答题（本题共 68 分，第 17-19 题每题 5 分，第 20-21 题每题 6 分，第 22-23 题每题 5 分， 第 24 题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题每题 7 分) 解答应写出文字说明、演 算步骤或证明过程. 17．（本题满分 5 分） 解：原式 = 3 3 1 2 2 3 2 − +  + − …………………………4 分 = 4 . …………………………5 分 18．（本题满分 5 分） 解：解不等式①，得 2x  . ………1 分 解不等式②，得 1 5 x  − . 3 分 ∴ 原不等式组的解集是 1 2 5 x−   . 4 分 ∴该不等式组的整数解为 0x = ,1,2. 5 分 数学试卷答案及评分参考 第2页（共 11 页） 19．（本题满分 5 分） 解：（1） 2 24 4 4 4 0k k = − + =  ∴方程有两个不相等的实数根 ……2 分 （2） 2x = 是方程的一个根 24 4 1 0k k − + − = ……3 分 即 2 4 3k k− = − ∴原式= ( ) ( ) 22 4 5 2 3 5 11k k− − + = −  − + = ……5 分 20．（本题满分 6 分） （1）证明：∵BD⊥AB，EF⊥CD， ∴∠ABD＝90°，∠EFD＝90°， … 1 分 根据题意，在▱ABCD 中，AB∥CD， ∴∠BDC＝∠ABD＝90°， ∴BD∥GF， ∴四边形 BDFG 为平行四边形，… 2 分 ∵∠BDC＝90°， ∴四边形 BDFG 为矩形； … 3 分 （2）解：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵AD∥BC， ∴∠BEA＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴BA＝BE， 4 分 ∵在 Rt△BCD 中，点 E为 BC 边的中点， ∴BE＝ED＝EC， ∵在▱ABCD 中，AB＝CD， ∴△ECD为等边三角形，∠C＝60°， 5 分 ∴ 1 30 2 BAE BAD =  = ， ∴ 3 tan 3 BAE = ． 6 分 数学试卷答案及评分参考 第3页（共 11 页） 21．（本题满分 6 分） （1） 400 2 2x y− − 2 分 （2）① 4 3 200x y− = （或 6 8 400 2 2x y x y− = − − ） 3 分 ②解：由题意可知， 2 6 8 200 5 x y−   （或 2 400 2 2 200 5 x y− −   ） 5 分 由①可知 4 3 200x y− = 解得 40y  6 分 答：豆沙粽最多购进 40 袋. 22．（本题满分 5 分） 解：（1）函数 ( )0y kx b k= +  的图象经过点（2，0），（3，1） ∴ 2 0 3 1. k b k b + =  + = ， 1 分 解得 1 2. k b =  = − ， 3 分 ∴ 2y x= − （2） 1m  . 5 分 23．（本题满分 5 分） 解：（1）92 1 分 （2）83 2 分 （3）丙 3 分 （4）95 5 分 24．（本题满分 6 分） （1）证明：连接 OB，则 OP＝OB， ∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， 1 分 ∵OA⊥l， 数学试卷答案及评分参考 第4页（共 11 页） ∴∠OAC＝90°， ∴∠ACB+∠CPA＝90°， ∴∠ABP+∠OBP＝90°， ∴∠ABO＝90°， ∴OB⊥AB， ∴AB是⊙O的切线； 2 分 （2）解：如图，过点 O作 OD⊥BP于 D， ∵tan∠ACB＝ ＝ ， ∴设 AP＝x，AC＝2x， 3 分 ∴AB＝2x，OP＝OB＝5﹣x， ∵AO2＝OB2+AB2， ∴25＝（5﹣x）2+4x2， ∴x＝2， 4 分 ∴AP＝2，AC＝4 ∴OB＝OP＝3， ∴CP＝ ＝ ＝2 ， ∵∠CAP＝∠ODP＝90°，∠APC＝∠OPD， ∴△ACP∽△DOP， 5 分 ∴ ， ∴PD＝ ＝ ， ∵OB＝OP，OD⊥BP， ∴BP＝2PD＝ ． 6 分 数学试卷答案及评分参考 第5页（共 11 页） 25．（本题满分 5 分） 解：（1）6.5；8.5 2 分 （2）函数图象如图所示： 3 分 （3）①C、D之间（含 C、D两点）；②点 D处. 5 分 26．（本题满分 6 分） 解：（1）∵ 抛物线 2y ax bx c= + + 经过点（-2，0）和（0，0）， ∴ ( )2 0t t− − = − ， ∴ 1t = − . …………………… 2 分 ① ＜ … …3 分 ② ∵ 11 2x  ， 1 2 2x x+ = ， ∴ 20 1x  分两种情况： 情况 1：当 0t  时， 点（0，0）在直线 x t= 左侧， 将点（0，0）关于 x t= 对称得到点（2t ，0）， 3 分 ∵ 0a  ，抛物线开口向上， ∵当0 2x t  时， 0y  当 2x t 时， 0y  ∵ 11 2x  , 20 1x  ,∴ 1 2x x ∵ 1 2 0y y  ， 数学试卷答案及评分参考 第6页（共 11 页） ∴ 1 20 0y y ， ， …4 分 ∴当 1x = 时， 0y = ， ∴ 2t =1， ∴ 1 2 t = ； …5 分 情况 2：当 0t  时， 点（0，0）在直线 x t= 右侧， ∵ 0a  ，抛物线开口向上， ∴ 当 x t 时，y随 x的增大而增大. ∴ 1 20 0y y ， ， ∴ 1 2 0y y  ，舍. …6 分 综上， 1 2 t = . 27．（本题满分 7 分） 数学试卷答案及评分参考 第7页（共 11 页） 数学试卷答案及评分参考 第8页（共 11 页） 7 分 28．（本题满分 7 分） 解：（1）① ( )2 , 0 ；②点 C，D； 2 分 （2）① 3 2 3 3 b−   − 或 3 4 3 3 3 b  ； 5 分 ② 3 10 3 3 3 b≤ ≤ ． 7 分 【分析】（1）①求出点 P关于直线 OB的对称点 G即可． ②求出 OP，OC，OD，OE的长即可判断． （2）①求出两种特殊位置 b的值即可．如图 2 中，作⊙M关于 y轴的对称图形⊙M′，当直线 数学试卷答案及评分参考 第9页（共 11 页） GH与⊙M′在第一象限相切时，设切点为 P，连接 PM′．如图 3 中，以 O为圆心，3 为半径作 ⊙O，当直线 GH与⊙O在第四象限点相切于点 P时，连接 OP，分别求出 OH的值即可解决问 题． ②如图 4 中，设⊙M交 x轴于 K，T，则 K（﹣1，0），T（5，0）．求出两种特殊位置 b的值即可 判断． 【详解】解：（1）①如图 1 中， ∵P（0，2），B（1，1）， ∴点 P关于 OB的对称点 G（2，0）， 故答案为：（2，0）． ②∵点 C（0，﹣2），D（1，﹣ 3），E（2，﹣1）， ∴OP＝2，OD＝2，OC＝2，OE＝ 5 ， ∴OP＝OD＝OC， ∴点 C，D是点 P关于线段 AB的定向对称点． 故答案为：点 C，D． （2）①如图 2 中，作⊙M关于 y轴的对称图形⊙M′，当直线 GH与⊙M′在第一象限相切时，设 切点为 P，连接 PM′， 数学试卷答案及评分参考 第10页（共 11 页） 当 b＞0 时， 由题意得：tan∠HGO＝ 3 3 ， ∴∠PGM＝30°， ∵PM′＝1，∠MPG＝90°， ∴MG＝2MP＝2， ∴OG＝GM+OM＝4， ∴OH＝OG•tan30°＝ 4 3 3 ， 当直线经过（-1，0）时， 3 3 b = . ∴ 3 4 3 3 3 b  若 b＜0 时， 当当直线经过（1，0）时， 3 3 b = − . 如图 3 中，以 O为圆心，3 为半径作⊙O，当直线 GH与⊙O在第四象限点相切于点 P时，连接 OP， 数学试卷答案及评分参考 第11页（共 11 页） 同法可得 OH＝2 3，∴ 2 3b = − 观察图象可知满足条件的 b的值：﹣2 3 ≤b≤ 3 3 − ． 综上所述，b 的取值范围是 3 2 3 3 b−   − 或 3 4 3 3 3 b  . ②如图 4 中，设⊙M交 x轴于 K，T，则 K（﹣1，0），T（5，0）． 以 O为圆心，5 为半径作⊙O，当直线 GH与⊙O在第二象限相切于点 J时， 可得 OH＝ 5 10 3 3cos30 3 2 OJ = =  ， 此时直线 GH的解析式为 y＝ 3 3 x+ 10 3 3 ， 当直线 GH经过点 K（﹣1，0）时，0＝﹣ 3 3 +b， 可得 b＝ 3 3 ， 数学试卷答案及评分参考 第12页（共 11 页） 此时直线 GH的解析式为 y＝ 3 3 x+ 3 3 ， 观察图象可知满足条件的 b的值为： 3 3 ≤b≤ 10 3 3 ． 第 1 页 共 4 页 北京市第二十中学九年级第二学期练习 数 学 2025.5 班级： 姓名： 考号： 一、选择题（本题共 16分，每小题 2分）各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1.某几何体的三视图如图所示，则此几何体是 A.三棱柱 B.长方体 C.圆锥 D.立方体 2.将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含 30°角的三角尺的短直角边和 含 45°角的三角尺的一条直角边重合，则α的度数是 A.45° B.60° C.75° D.80° 3.在数轴上，点�，B在原点�的两侧，分别表示数�，2.将点�向右平移 1 个单位长度，得到点�.若 CO =BO，则�的值为 A.-3 B.-2 C.-1 D.1 4. 4月 18日是国际古迹遗址日.《2024国家考古遗址公园运营报告》于 2025年 4月 27日在第六届国家 考古遗址公园文化艺术周开幕式现场发布.报告显示，圆明园等全国 55家国家考古遗址公园 2024 年全 年接待游客总量达 8871.58万人次，同比增长 32%.将 2024年全年接待游客总量用科学记数法表示约为 A.8.9×108 B.8.9×107 C.6.7×107 D.0.67×108 5.遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动.如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛 车从入口 A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能 性相同，则该赛车从 F 口驶出的概率是 A. 1 3 B. 1 4 C. 1 5 D. 1 6 6.一个圆锥的底面半径的长为 3，母线的长为 15，则圆锥的侧面积是 A.6π B.9π C.45π D.54π 7．下面是“作∠AOB的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点 O为圆心，适当长为半径画弧， 交 OA于点 M，交 OB于点 N． （2）分别以点 M，N为圆心，大于 1 2 MN 长为半径画弧， 两弧在∠AOB内部交于点 C． （3）画射线 OC，射线 OC即为所求． 上述方法是通过判定△OMC≌△ONC得到∠MOC =∠NOC的，其中判定△OMC≌△ONC的依据是 A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 8．如图，在等边三角形 ABC中，有一点 P，连接 PA、PB、PC，将 BP绕点 B逆时针旋转60得到 BD，连接 PD、AD，有如下结论：① BPC BDA≌  ；② BDP△ 是等边三角形；③如果 150BPC  ， 那么 ² ² ²PA PB PC  ．以上结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本题共 16分，每小题 2分） 9．若代数式 1x  有意义，则实数 x的取值范围是 ． 10.因式分解：�3 − 4�2� + 4��2 = ． 11.在平面直角坐标系 xOy中，反比例函数 1 1y x  （x＞0）和 2 ky x  （x＞0）的图象如图所示，k的值可以是________ （写出一个即可）. 12.如图所示的网格是正方形网格，则∠��� + ∠��� = ． 13.如图，AB为⊙O的直径，点 P在 AB的延长线上， PC，PD分别与⊙O相切于点 C，D，若∠CPA=40°， 则∠CAD的度数为 ． 第 2 页 共 4 页 14.已知 3 2 a b  ，则代数式 2 2 222a b a b ab b a          的值为 ． 15.如图，矩形 ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形 ABCD绕顶点 C 顺时针旋转90，得到矩形 EFCG，连接 AE，取 AE的中点 H， 连接 DH，则 DH= . 16.现有一半径 10米的圆形场地，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy， 场地圆心 A的坐标为(5 3，5)．机器人在该场地中（含边界）， 根据指令[s，α]（s≥0，0°＜α＜180°）完成下列动作：先朝其面对 的方向沿直线行走距离 s，再在原地逆时针旋转角度α，执行任务． 机器人位于坐标原点 O处，且面对 x轴正方向． （1）若给机器人下达指令[4，90°]，则机器人至少重复执行 次该指令能回到坐标原点 O处； （2）若机器人重复执行 2 次相同指令后位于圆心 A 处，则应给机器人下达的指令 是 ． 三、解答题（本题共 68 分，第 17-19题每题 5分，第 20-21题每题 6 分，第 22-23题每题 5分，第 24 题 6分，第 25 题 5 分，第 26题 6分，第 27-28 题每题 7 分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证 明过程. 17.计算：   1 01 4 2sin 60 | 2 3 | 3             ． 18.解不等式组： 6 4 3 8 3 1 1 2 2 3 x x x x        ，并求其整数解. 19．已知关于 x的一元二次方程 22 02 1x kx k   ． （1）不解方程，判断此方程根的情况； （2）若 x=2是该方程的一个根，求代数式 22 8 5k k   的值． 20．如图，在平行四边形 ABCD中，DB⊥AB，点 E是 BC边的中点，过点 E作 EF⊥CD，垂足为 F，交 AB的延长线于点 G． （1）求证：四边形 BDFG是矩形； （2）若 AE平分∠BAD，求 tan∠BAE的值． 21.临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共 200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小 枣粽每袋 6个，豆沙粽每袋 4个，肉粽每袋 2个．设购进的小枣粽 x袋，豆沙粽 y袋. （1）购进的肉粽的个数．．为____________个（用含 x，y的代数式表示）； （2）为了促销，超市计划将所购 200袋粽子组合包装，使得其恰好全部．．．．制成 A，B两种套装销售. A套 装为每袋小枣粽 4个，豆沙粽 2个；B套装为每袋小枣粽 2个，肉粽 2个. ①用等式表示 x，y的数量关系为________________； ②若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的 2 5 ，则豆沙粽最多购进多少袋？ 22. 在平面直角坐标系 xOy中，一次函数  0y kx b k   的图象经过点（2，0），（3，1）． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当 x m 时，对于 x 的每一个值，一次函数 1y mx  的值大于一次函数 y kx b  的值， 直接写出 m的取值范围． 23.为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，某校举行健美操比赛．最终有甲、乙、丙三个班 级进入团体决赛，团体决赛需要分别进行五个单项比赛．单项比赛和团体决赛的计分规则如下表： 单项比赛 计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数 即为该项得分． 团体决赛 计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，最终成绩较高的班级排序靠前，若 最终成绩相同，则整体发挥稳定性较好的班级排序靠前． 现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如 下： a．甲班五个单项得分和乙班四个单项得分的折线图： 第 3 页 共 4 页 b．丙班五个单项得分表： 项 目 一 二 三 四 五 得 分 88 m 94 90 92 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲班五个单项得分的中位数为：________； （2）已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为 80，84，86，83，82，则丙班第二个单项的 得分m  ________； （3）甲班与丙班相比较，排名比较靠前的是________班（填“甲”或“丙”）； （4）若最终的比赛结果乙班排名居中，则乙班第五个项目的得分可能为________（得分为整数）． 24.如图，直线 l与⊙O相离，OA⊥l于点 A，与⊙O相交于点 P，OA＝5．C是直线 l上一点，连接 CP 并延长，交⊙O于点 B，且 AB＝AC． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若 tan∠ACB＝ ，求线段 BP的长． 25.如图 1，长度为 6 千米的国道 AB两侧有M ， N 两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连 接点为C和D，其中A、C之间的距离为 2千米，C、D之间的距离为 1千米， N 、C之间的乡镇公 路长度为 2.3千米，M 、D之间的乡镇公路长度为 3.2千米，为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资 输送，现需要在国道 AB上修建一个物流基地T，设A、T之间的距离为 x千米，物流基地T沿公路到M、 N 两个城镇的距离之和为 y干米，以下是对函数 y随自变量 x的变化规律进行的探究，请补充完整． （1）通过取点、画图、测量，得到 x与 y的几组值如下表，补全表格： x /千米 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 y /千米 10.5 8.5 6.5 10.5 12.5 （2）如图 2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． （3）结合画出的函数图象，解决问题： ①若要使物流基地T沿公路到M 、 N 两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？（写 出所有满足条件的位置） 答：__________． ②如图 3，有四个城镇M 、 N 、P、Q分别位于国道 A C D E B    两侧，从城镇到公路分别有乡镇 公路连接，若要在国道上修建一个物流基地 S，使得 S沿公路到M 、N 、P、Q的距离之和最小，则物 流基地T应该修建在何处？（写出所有满足条件的位置）答：__________． 26．在平面直角坐标系 xOy中，抛物线  2 0y ax bx a   上有两点    1 1 2 2, ,x y x y， ， 它的对称轴 为直线 x t ． （1）若该抛物线经过点（-2，0），求 t的值； （2）当 11 2x  时， ①若� > 2， 则 1y 0； （填“>”“=”或“<” ） ②若对于 1 2 2x x  ，都有 1 2 0y y  ，求 t的值． 第 4 页 共 4 页 27.如图，已知∠MON=α （0°< α < 90°），OP是∠MON的平分线，点 A是射线 OM 上一点，点 A关 于 OP对称点 B在射线 ON上，连接 AB交 OP于点 C，过点 A作 ON的垂线，分别交 OP，ON于点 D， E，作∠OAE的平分线 AQ，射线 AQ与 OP，ON分别交于点 F，G. （1）①依题意补全图形； ②求∠BAE度数；（用含α的式子表示） （2）写出一个α的值，使得对于射线 OM上任意的点 A总有 OD= 2 AF（点 A不与点 O重合），并证 明. 28.对于平面直角坐标系 xOy中的定点 P和图形 F，给出如下定义：若在图形 F上存在一点 N，使得点 Q，点 P关于直线 ON对称，则称点 Q是点 P关于图形 F的定向对称点． （1）如图， (1 0)A ， ， (1 1)，B ， (0 2)P ， ， ①点 P关于点 B的定向对称点的坐标是 ； ②在点 (0 2)，C ， (1 3)，D ， (2 1)，E 中，______是点 P关于线段 AB的定向对称点． （2）直线 3 3 ：  l y x b分别与 x轴，y轴交于点 G，H，⊙M是以点 (2 0)，M 为圆心， ( )0r r  为半径 的圆． ①当 1r  时，若⊙M上存在点 K，使得它关于线段 GH的定向对称点在线段 GH上，求b的取值范围； ②对于 0b  ，当 3r = 时，若线段 GH上存在点 J，使得它关于⊙M的定向对称点在⊙M上，直接写出 b 的取值范围． 草稿纸