精品解析：上海市嘉定区封浜高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024学年第二学期高二数学期中考试试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线中的关系以及离心率公式直接求解. 【详解】由题可得，所以， 所以离心率. 故答案为: . 2. 两条平行直线与之间的距离为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】由两条平行线间的距离公式即可求得答案. 【详解】由题意，两条平行线间的距离. 故答案为：1. 3. 已知点、，则直线的方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据两点求直线的斜率，再由点斜式方程即可求解. 【详解】设直线的斜率为，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 4. 以点为圆心，且经过原点的圆的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆的方程为，再把原点坐标代入求出可得答案. 【详解】由题设圆的标准方程为， 因为原点在圆上，所以， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 5. 直线经过点和，则直线的倾斜角为______ 【答案】## 【解析】 【分析】先利用直线的斜率公式求出斜率，再求其倾斜角. 【详解】由题意，得直线的斜率为，又 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 6. 设m为实数，若直线在y轴上的截距为，则m的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】令x=0,求出直线在y轴上的截距，解方程可得到答案. 【详解】直线,令x=0,则 ， 根据题意可知， 故答案为：2 7. 已知抛物线过点A（2，2），则点A到准线的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求抛物线方程，再求点到准线的距离. 【详解】由条件可知，，得， 即抛物线方程，准线方程， 则点到准线的距离. 故答案为： 8. 已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据椭圆方程列方程，解得结果. 【详解】因为椭圆的长轴在轴上，焦距为4， 所以 故答案为：8 【点睛】本题考查根据椭圆方程求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 9. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则___________. 【答案】4 【解析】 【分析】依据抛物线的性质以及椭圆的性质求出焦点坐标，由题意列出方程，即可求出． 【详解】由椭圆知，， ， 右焦点坐标为，又抛物线的焦点坐标为， 即有，解得． 【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的性质的应用，由标准方程求焦点坐标． 10. 以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得右焦点坐标，渐近线方程，由点到直线的距离公式求得圆的半径，根据圆的标准方程即可求解. 【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为，即， 所以点到直线的距离为， 所以圆心为，半径为的圆的方程为. 故答案为：. 11. 已知圆，圆，若圆与圆相外切，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 因为两圆外切，所以，解得. 故答案为：2. 12. 点为双曲线上的点，、为左、右焦点，若，则的面积是__． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的定义可得，结合余弦定理化简求得，根据三角形面积公式即可求得答案. 【详解】由题意得，，且， 由余弦定理得 ， 所以, 所以的面积, 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题４分，第15、16题每题5分，满分18分） 13. “”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示椭圆，且2，再判断必要不充分条件即可. 【详解】解：方程表示椭圆满足 ，解得，且2 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 14. 已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜率公式，建立方程，可得答案. 【详解】设，由题意可得，整理可得， 即动点的轨迹方程为， 故选：A． 15. 已知表示圆，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 16. 双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（ ） A. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 B. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 C. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 D. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 【答案】A 【解析】 【分析】根据离心率公式及渐近线方程，得到两曲线渐近线斜率的关系，即可判断. 【详解】因为，， 又双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为， 因为，所以，即，即， 所以的渐近线斜率的绝对值较大，又离心率越大，双曲线开口越开阔. 故选：A. 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知直线经过点，并且与直线的夹角为，求直线的方程． 【答案】或． 【解析】 【分析】先求出的倾斜角，根据两直线的夹角，求得的倾斜角，结合直线过点，可求得直线方程. 【详解】由于直线的斜率为，故它的倾斜角为， 由于直线和直线的夹角为，故直线的倾斜角为或， 故直线的斜率不存在或斜率为． 再根据直线经过点，得直线的方程为或， 即或． 18. 已知圆C过点，，且圆心C在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】 （1） 圆C过点，，且圆心C在直线上,可用待定系数法求圆的标准方程; （2）求圆的切线,分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论. 【详解】解：（1）直线AB的斜率为，线段AB的中点坐标为 直线AB的垂直平分线的方程为，整理为 联立方程，解得 由圆C的性质可知，圆心C的坐标为，可得圆C的半径为 故圆C的标准方程为 （2）①当直线l的斜率不存在时，直线正好与圆C相切， 故此时直线l的方程为 ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 整理为 由直线l与圆C相切，有，解得 可得直线l的方程为， 整理为 故直线l的方程为或． 【点睛】求圆的切线方程的思路通常有两种: （1）几何法:用圆心到直线的距离等于半径； （2）代数法:直线方程与圆的方程联立,利用Δ=0． 19. 已知过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点. （1）若直线过抛物线的焦点，求弦的长； （2）若以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得直线的方程，与抛物线方程联立，设，，由韦达定理可得，，根据弦长公式即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理结合直线方程可得，，根据已知可知，利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，所以焦点坐标为， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 即， 联立，整理得， 设，，所以，， 所以； 【小问2详解】 由已知可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为， 联立，整理得， 因为直线与抛物线有两个交点，所以， 所以且， 所以，， 所以， 因为以为直径的圆过坐标原点，所以, 又，，所以，即， 解得，满足且， 所以直线的方程为，即. 20. 已知椭圆的两个顶点，且其离心率为． （1）求椭圆Γ的方程； （2）设过椭圆Γ的右焦点F的直线与其相交于A，B两点，若（O为坐标原点），求直线AB的方程； （3）设R为椭圆Γ上的一个异于M，N的动点，直线MR，NR分别与直线相交于点P，Q，试求|PQ|的最小值 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的离心率为，焦距为4，求出几何量，即可求出椭圆的方程． （2）设直线AB的方程为，直线与椭圆联立结合可求出，即可求出直线AB的方程． （3）设，由题目条件求出，由结合均值不等式，即可求出|PQ|的最小值． 【小问1详解】 由条件，解得，． 故椭圆Γ的方程为． 【小问2详解】 易知椭圆Γ右焦点F的坐标为，设直线AB的方程为， ，则由，得， 显然．于是，① 因为，故， 即 于是② 将①代入②：，解得． 故直线AB的方程为：，即. 【小问3详解】 设，则． 因，故直线MR的方程为，其与直线的交点P的横坐标为； 又，故直线NR的方程为，其与直线的交点Q的横坐标为． 于是，即． 故． 当且仅当，即点R坐标为或时，|PQ|取得最小值． 21. 已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上. （1）求双曲线的方程； （2）过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值； （3）过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点. 【答案】（1） （2） 证明：如下图所示： 设，则 所以 因为在双曲线上，所以，可得； 于是， 所以直线和直线的斜率之积为定值，定值是. （3） 证明：设，直线的方程为，如下图所示： 联立，消去整理可得① 则 所以② ③ 直线的方程为，令，得点的横坐标为； 同理可得点的横坐标为； 所以 将①②③式代入上式，并化简得到 所以的中点的横坐标为， 故的中点是定点. 【解析】 【分析】（1）根据虚轴长和点坐标联立方程组可得，，可求得双曲线的方程为； （2）设出两点坐标，写出斜率表达式，联立双曲线方程化简计算可得证明； （3）设直线的方程为，求出直线与轴的交点分别为的坐标，联立直线和双曲线方程利用韦达定理化简即可得出证明. 【小问1详解】 因为虚轴长，所以. 又因为点在双曲线上，所以， 解得. 故双曲线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期高二数学期中考试试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 双曲线的离心率为__________. 2. 两条平行直线与之间的距离为___________. 3. 已知点、，则直线的方程是___________. 4. 以点为圆心，且经过原点的圆的方程为________. 5. 直线经过点和，则直线的倾斜角为______ 6. 设m为实数，若直线在y轴上的截距为，则m的值为______． 7. 已知抛物线过点A（2，2），则点A到准线的距离为________． 8. 已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则__________. 9. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则___________. 10. 以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为_______. 11. 已知圆，圆，若圆与圆相外切，则________. 12. 点为双曲线上的点，、为左、右焦点，若，则的面积是__． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题４分，第15、16题每题5分，满分18分） 13. “”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 15. 已知表示圆，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 16. 双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（ ） A. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 B. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 C. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 D. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17. 已知直线经过点，并且与直线的夹角为，求直线的方程． 18. 已知圆C过点，，且圆心C在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程． 19. 已知过点的直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点. （1）若直线过抛物线的焦点，求弦的长； （2）若以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程. 20. 已知椭圆的两个顶点，且其离心率为． （1）求椭圆Γ的方程； （2）设过椭圆Γ的右焦点F的直线与其相交于A，B两点，若（O为坐标原点），求直线AB的方程； （3）设R为椭圆Γ上的一个异于M，N的动点，直线MR，NR分别与直线相交于点P，Q，试求|PQ|的最小值 21. 已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上. （1）求双曲线的方程； （2）过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值； （3）过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $