精品解析：2025年广东省广州市从化区中考数学一模试卷

2025年初中毕业班综合测试（一） 数 学 本试卷共三大题，25小题，满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的签字笔或钢笔填写自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答（作图题可用铅笔），答案必须写在答题卡指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动后的答案也不能超出指定的区域．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生不可以使用计算器． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，四个选项中只有一个是正确的） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解∶的相反数是3； 故选D． 2. 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．中图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C．中图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 的出现，不仅推动了技术的进步，还让更多的开发者能够使用高性能的模型，推动了技术的普惠化．2025年开年，仅用二十天就实现了21600000的日活跃用户（），超过了发布之初的数据表现，展现出巨大的市场潜力．其中用科学记数法表示21600000为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法，积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式等内容，据此相关性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是锐角三角函数的定义．先利用勾股定理求出斜边的长，再求出的值即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：D． 6. 如图，点A、点B、点C在上，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，在优弧上取一点D，连接，根据圆内接四边形对角互补可得的度数，再由圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，在优弧上取一点D，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：C． 7. 正比例函数的图象过二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况描述准确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，一元二次方程根的判别式的意义，根据题意得出，进而计算判别式，根据判别式的意义，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图象过第二、四象限， ， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 8. 《九章算术》有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直接利用勾股定理得出方程即可，正确应用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设门的宽为尺，那么这个门的高为尺， 根据题意得：， 故选：． 9. 如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（　　） A. 4 B. ﹣4 C. 8 D. ﹣8 【答案】D 【解析】 【分析】求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到，然后用待定系数法即可． 【详解】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D． 设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC＋∠BOD＝90°， ∵∠DBO＋∠BOD＝90°， ∴∠DBO＝∠AOC， ∵∠BDO＝∠ACO＝90°， ∴△BDO∽△OCA， ∴， ∵OB＝2OA， ∴BD＝2m，OD＝2n， 因为点A在反比例函数y＝的图象上，则mn＝2， ∵点B在反比例函数y＝的图象上， ∴B点的坐标是（−2n，2m）， ∴k＝−2n•2m＝−4mn＝−8． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式． 10. 如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，设与交于点，求出，，则有解析式为，设，则，然后证明，由性质得，最后由二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设与交于点， 由得，当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 当时，则的最大值为， 故选：． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 12. 如图，直线，线段分别与，交于点D，C，过点B作，交直线于点A．若，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的性质等知识．由垂直关系及可求得的度数，由平行线的性质可求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴， 故答案为：． 13. 电学中，串联电路电压U（伏特）一定时，电流I（安培）和电阻R（欧姆）成反比例函数关系，当安培时，欧姆，则电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，灵活运用待定系数法成为解题的关键． 直接运用待定系数法求解即可． 【详解】解：设电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数关系是， 则有：，解得：． 所以电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数关系是． 故答案为：． 14. 一个立体图形的主视图、左视图、俯视图完全相同，则这个立体图形可以是______． 【答案】球体##正方体 【解析】 【分析】本题主要考查由三视图确定几何体的形状，具有较强空间想象能力及对立体图形的认识成为解题的关键． 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看据此即可解答． 【详解】解：一个立体图形的主视图、左视图、俯视图完全相同，则这个立体图形可以是球体（或正方体）． 故答案为：球体或正方体． 15. 一个扇形的半径为9，圆心角为，用这个扇形围成圆锥的侧面（接缝处重叠部分忽略不计），则圆锥底面圆的半径为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查的是圆锥的性质，掌握圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长是解题关键． 利用扇形求出对应弧长，即可求出所围成的圆锥的底面半径． 【详解】解：由题意可知，扇形的弧长为：， ∴底面周长为：， ∴， 解得：， 即：底面半径等于3， 故答案为：3． 16. 如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点E恰好落在边上，若，则的长是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点E作，交于点F，证明即可求解． 【详解】提示：如图，过点E作，交于点F． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， 是等腰直角三角形， ，， ． ，， ． ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的外角定理，平行线的性质等，正确添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共72分） 17. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求出不等式的解集是解题的关键． 根据解一元一次不等式的方法解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴． 18. 如图，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由得到其邻补角相等，再由证明全等，则由全等三角形对应边相等即可说理． 【详解】略 19. 已知． （1）化简T； （2）若，求T的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，求特殊角三角函数值，正确化简原分式是解题的关键． （1）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）先求出a的值，再把a的值代入到（1）所求的结果中计算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 20. 为抓住文化产业赋能乡村振兴契机，争创国家全民健身示范区，打造环“两山”体育品牌赛事，助力“百千万工程”高质量发展，2024年6月29日，广州市从化区成功举办首届龙舟邀请赛．为了给组织单位献计献策，某校初三学生随机对部分市民进行了问卷调查，调查市民对于2025年龙舟赛增设比赛项目的关注程度（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）．请你根据统计图、表解答下列问题： 比赛项目 频数（人） 频率 300米直道竞速赛（A） 30 0.1 彩龙竞艳赛（B） 90 0.3 10公里龙舟马拉松（C） a 0.35 200米环绕赛（D） 75 0.25 （1）a的值为______；扇形统计图中D部分圆心角的度数为______； （2）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，现安排4名志愿者（2男2女）对河滨北路段进行值守，若在4名志愿者中任意抽取2名志愿者安排在街口大桥驶入河滨北路路口执勤，请求出恰好抽到的两名志愿者性别相同的概率． 【答案】（1），90 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表、扇形统计图、用树状图求概率等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先求出调查学生数，然后用调查学生数乘以10公里龙舟马拉松的频率即可解答；扇形统计图中D部分圆心角的度数为乘以D的频率即可解答． （2）先根据题意画出树状图确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查学生数为：人， 所以10公里龙舟马拉松的人数为：，即． 扇形统计图中D部分圆心角的度数为． 故答案为：105，90． 【小问2详解】 解：根据题意，画出树状图如下图： 根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的情况有4种，分别是（男1，男2），（男2，男1），（女1，女2），（女2，女1）， 所以P（抽到两名交警性别相同）． 21. 如图是两张不同类型火车的车票（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： （1）已知A、B两地之间的距离为，高铁的平均速度是动车平均速度的倍，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，那么动车和高铁的平均速度分别是多少时？ （2）高铁出发前，两车在什么时刻相距？ 【答案】（1）动车的平均速度为时，高铁的平均速度为时 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数除法的应用，理解题意是解题关键． （1）设动车的平均速度为时，则设高铁的平均速度为时，根据题意列分式方程求解即可； （2）根据动车的平均速度求出所需时间，即可求解． 【小问1详解】 解：设动车的平均速度为时，则设高铁的平均速度为时． 由题意可得， 解得， 经检验，为方程的解， ∴， 答：动车的平均速度为时，高铁的平均速度为时； 【小问2详解】 解：解：∵高铁出发前，动车的平均速度为h， ∴， 此时的时间为． 22. 如图，已知直线过点，且与直线相交于点． （1）求直线的解析式； （2）当且时，自变量的取值范围是______； （3）若双曲线与直线相交于两点，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，一次函数与不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出，然后利用待定系数法即可求解； （）由题意得，然后解出不等式组即可； （）联立方程组，求出另一个交点B的坐标为，作轴于点E，轴于点，然后通过即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， 把和点代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵且， ∴， 解得：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：联立方程组，得， 解得（舍去）或， ∴另一个交点B的坐标为， 如图，作轴于点E，轴于点， ∴，，，， ∴． 23. 某数学兴趣小组在探究矩形的折叠问题．如图9，他们把矩形的边折叠，折叠后点与边上的点重合． （1）怎么找出这条直线折痕呢？兴趣小组发现可以通过尺规作图，准确地找到这条折痕．请你利用尺规作图帮他们确定折痕所在的直线（不写作法，保留作图痕迹）； （2）折痕与边的交点为，连结，以为直径作，兴趣小组进一步探究点与的位置关系，请你与兴趣小组一起思考分析，确定点与的位置关系并说明理由； （3）如果折痕，，通过探究，兴趣小组发现可以求出矩形的周长．请你帮助兴趣小组写出详细的求解过程． 【答案】（1） 如图所示，射线为所求． （2）点在上， 理由如下： ∵沿折叠得到， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， 连接， 则， ∴点在上． （3） 由（2）知， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴设，则， 由勾股定理得． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 设，则， 在中，， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质和尺规作角平分线的方法作图即可； （2）连接，利用折叠的性质得到，再利用全等三角形的性质得到，最后由点与圆的位置关系求解； （3）利用矩形的性质得到，根据相似三角形的性质，全等三角形的性质，解直角三角形的知识、勾股定理来求出和的长度即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点晴】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，基本作图，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，点与圆的位置关系，熟练掌握相关知识是解答关键． 24. 如图，已知和都是等腰三角形，，，． （1）求证：； （2）如图1，连接，若，以A、D、E、G为顶点的四边形是平行四边形，求与的数量关系及的度数； （3）如图2，若，，与交于点P，绕点A顺时针旋转，从与重合开始，到与第一次重合时停止，求此时点P所经过的路径的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴． ∴． （2），或 （3） 【解析】 【分析】（1）运用证明，即可作答． （2）结合题意，先进行分类讨论且逐个情况作图，根据平行四边形的性质以及运用勾股定理得，即可作答． （3）先证明和都是等边三角形，则，，由（1）同理可证，故，A、B、D、P四点共圆，即点P在等边的外接圆上，结合．当的边绕点A从边所在直线开始逆时针旋转至与第一次重合时,旋转角为，运用求弧长公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图（1），当四边形为平行四边形时， 则有，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 则． 如图（2），当四边形为平行四边形时， 则有，， ∵，， ∴，， ∴，． 综上所述，当四边形为平行四边形时，，或． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴和都是等边三角形， ∴，， 由（1）同理可证， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴A、B、D、P四点共圆， 即点P在等边的外接圆上， 设中点为M，圆心为O，连接、， 则，， ∴． 当的边绕点A从边所在直线开始顺时针旋转至与第一次重合时,旋转角为， ∴点P此时运动的路径所在的弧所对的圆心角也为． ∴点P此时运动的路径长为：． 25. 定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线． （1）抛物线的对称轴为直线且其伴随直线为，求该抛物线的解析式； （2）若抛物线的伴随直线是． ①试用含a的代数式表示b和c； ②抛物线经过定点Q，且与x轴交于点D和点E，若为直角三角形，求m的值； （3）顶点在第一象限的抛物线与它的伴随直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，当时，y轴上存在点P，使得取得最大值，求此时点P的坐标． 【答案】（1） （2）①，；② （3） 【解析】 【分析】（1）把伴随直线解析式变形为，再根据定义即可得到答案； （2）①根据定义可得抛物线解析式为，据此可得，，，则，；根据②所求，可得定点，进而可证明Q为抛物线顶点，则，故为等腰直角三角形，由于点Q到的距离为3，则，可得点E坐标为或，据此利用待定系数法求解即可； （3）根据题意写出线的伴随函数，联立求出交点，在求出抛物线与x轴的交点，用勾股定理列出关于的方程，求出，先证明当取得最大值，的外接圆与轴相切，根据题意画出图形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，且伴随直线． ∴抛物线． 【小问2详解】 解：①依题意得原抛物线解析式为， ∴，，， ∴，． ②由①得抛物线解析式为， ∴时的函数值与m值无关，此时， ∴即抛物线过定点，且点Q为抛物线顶点，对称轴为直线． ∵点E、D为抛物线与x轴的交点，Q为抛物线顶点， ∴， ∵点E、D与定点Q构成直角三角形， ∴，即为等腰直角三角形． ∵为抛物线顶点，对称轴为直线， ∴点Q到的距离为3， ∴， ∴点E到对称轴的距离为3， ∴点E坐标为或， 选择其中一点代入，可解得． 【小问3详解】 ∵抛物线的解析式为：， ∴其伴随直线为即，顶点坐标为， ∵抛物线顶点在第一象限， ∴， 联立抛物线与伴随直线的解析式为：， 解得：，， ∴，， ，令， 即， 解得：或， ∴， ∴，，， ∵， ∴ 即， 解得：或（舍去）， ∴当时，． 设的外接圆为，当与轴相切时， 在轴上任意取一点，连接交于一点，则， ∵， ∴当取得最大值，的外接圆与轴相切， 当时，则，，如图所示，此时， 设过，，的直线解析式为， ∴， 解得：， ∴， 设经过的外心的直线解析式为， ∵，， ∴中点坐标为， ∴， 解得：， ∴直线为：， ∵轴，则， ∴设， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，切线的性质，圆周角定理，三角形的外心的性质，新定义运算，熟练掌握新定义以及二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业班综合测试（一） 数 学 本试卷共三大题，25小题，满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡上用黑色字迹的签字笔或钢笔填写自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答（作图题可用铅笔），答案必须写在答题卡指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动后的答案也不能超出指定的区域．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生不可以使用计算器． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，四个选项中只有一个是正确的） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 2. 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 的出现，不仅推动了技术的进步，还让更多的开发者能够使用高性能的模型，推动了技术的普惠化．2025年开年，仅用二十天就实现了21600000的日活跃用户（），超过了发布之初的数据表现，展现出巨大的市场潜力．其中用科学记数法表示21600000为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A、点B、点C在上，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 正比例函数的图象过二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况描述准确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 8. 《九章算术》有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（　　） A. 4 B. ﹣4 C. 8 D. ﹣8 10. 如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：___________． 12. 如图，直线，线段分别与，交于点D，C，过点B作，交直线于点A．若，则的度数是______． 13. 电学中，串联电路电压U（伏特）一定时，电流I（安培）和电阻R（欧姆）成反比例函数关系，当安培时，欧姆，则电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数关系是______． 14. 一个立体图形的主视图、左视图、俯视图完全相同，则这个立体图形可以是______． 15. 一个扇形的半径为9，圆心角为，用这个扇形围成圆锥的侧面（接缝处重叠部分忽略不计），则圆锥底面圆的半径为______． 16. 如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点E恰好落在边上，若，则的长是_______． 三、解答题（本题共9小题，共72分） 17. 解不等式：． 18. 如图，，．求证：． 19. 已知． （1）化简T； （2）若，求T的值． 20. 为抓住文化产业赋能乡村振兴契机，争创国家全民健身示范区，打造环“两山”体育品牌赛事，助力“百千万工程”高质量发展，2024年6月29日，广州市从化区成功举办首届龙舟邀请赛．为了给组织单位献计献策，某校初三学生随机对部分市民进行了问卷调查，调查市民对于2025年龙舟赛增设比赛项目的关注程度（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）．请你根据统计图、表解答下列问题： 比赛项目 频数（人） 频率 300米直道竞速赛（A） 30 0.1 彩龙竞艳赛（B） 90 0.3 10公里龙舟马拉松（C） a 0.35 200米环绕赛（D） 75 0.25 （1）a的值为______；扇形统计图中D部分圆心角的度数为______； （2）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，现安排4名志愿者（2男2女）对河滨北路段进行值守，若在4名志愿者中任意抽取2名志愿者安排在街口大桥驶入河滨北路路口执勤，请求出恰好抽到的两名志愿者性别相同的概率． 21. 如图是两张不同类型火车的车票（“D×××次”表示动车，“G×××次”表示高铁）： （1）已知A、B两地之间的距离为，高铁的平均速度是动车平均速度的倍，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，那么动车和高铁的平均速度分别是多少时？ （2）高铁出发前，两车在什么时刻相距？ 22. 如图，已知直线过点，且与直线相交于点． （1）求直线的解析式； （2）当且时，自变量的取值范围是______； （3）若双曲线与直线相交于两点，求的面积． 23. 某数学兴趣小组在探究矩形的折叠问题．如图9，他们把矩形的边折叠，折叠后点与边上的点重合． （1）怎么找出这条直线折痕呢？兴趣小组发现可以通过尺规作图，准确地找到这条折痕．请你利用尺规作图帮他们确定折痕所在的直线（不写作法，保留作图痕迹）； （2）折痕与边的交点为，连结，以为直径作，兴趣小组进一步探究点与的位置关系，请你与兴趣小组一起思考分析，确定点与的位置关系并说明理由； （3）如果折痕，，通过探究，兴趣小组发现可以求出矩形的周长．请你帮助兴趣小组写出详细的求解过程． 24. 如图，已知和都是等腰三角形，，，． （1）求证：； （2）如图1，连接，若，以A、D、E、G为顶点的四边形是平行四边形，求与的数量关系及的度数； （3）如图2，若，，与交于点P，绕点A顺时针旋转，从与重合开始，到与第一次重合时停止，求此时点P所经过的路径的长． 25. 定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线． （1）抛物线的对称轴为直线且其伴随直线为，求该抛物线的解析式； （2）若抛物线的伴随直线是． ①试用含a的代数式表示b和c； ②抛物线经过定点Q，且与x轴交于点D和点E，若为直角三角形，求m的值； （3）顶点在第一象限的抛物线与它的伴随直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，当时，y轴上存在点P，使得取得最大值，求此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $