精品解析：云南省煤炭第二中学2025届高三下学期3月月考数学试卷

2025届云南省煤炭第二中学高三3月月考 数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对于任意集合，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用韦恩图进行判断即可得到结果. 【详解】 对于：如图所知，为区域①，所以，故错误； 对于：为区域①和③；为区域③，为区域①，则也为为区域①和③；两边相等，故正确； 对于：为区域①，为区域①，不等于区域②（区域②为），故错误； 对于：为区域①和③；而为区域③，为区域①，所以为空集，所以错误； 故选：. 2. 已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题得，再利用基本不等式求解. 【详解】解：由可知， ， 当，即时，“”成立， 故选：A. 3. 已知向量，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由和及和的关系可知，四边形为直角梯形，由梯形面积计算即可. 【详解】因为，，所以四边形为直角梯形. ，，，则面积， 故选：B. 4. 已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意计算出周期，再由周期求，又因为在区间上单调， 所以列出不等式，计算出，判断即可. 【详解】由题意知，，则， 因为，所以，又因为在区间上单调， 所以，解得，则的最大值为. 故选：B. 5. 已知为复数，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】正向可得，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得或，则必要性不成立. 【详解】若，则，则，故充分性成立； 若，设，则，， 则，或与不一定相等，则必要性不成立， 则“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 6. 过抛物线上的一点作切线，设与轴相交于点为的焦点，直线交于另一点，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据条件得到，从而得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最小值，即可求解. 【详解】设，由抛物线的对称性，不妨设，设直线， 由，消得， 因直线与抛物线相切，得到，得到， 故直线的方程为， 令，得点M的坐标为，设直线的方程为， 联立，得，所以有，于是， 则， 令，则， 当时，，得到在区间单调递减；当时，，得到在区间上单调递增， 故， 所以的最小值为 故选：C. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，设，根据条件得到 ，再构造函数，求出的最值，即可求解. 7. 一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4和8，高为3，用它加工成一个与圆台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大．现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是（ ）（加工过程中不计损耗） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先求出圆台的相关数据，再确定四棱台的形状，进而分析余下木料的情况，找出能车削出最大半径球的木料并计算其半径. 【详解】 为上底面圆心，为下底面圆心，记棱台为， 棱台最大时，上下边之比为，不妨设，则， 所以球在与圆台围成部分可更大， 记中点为中点为交上底面圆于交下底面圆周于， 设球半径最大为，球心为，则如图，球与相切， 设，则，则， 所以，得． 故选：C 8. 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求在上的值域记作集合，利用二次函数的单调性求在上的值域，根据题意可得两函数值域的关系，可得关于的不等式组，解不等式即可. 【详解】由可得， 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，，， 所以在上的值域为，记， 的对称轴为，，， 且在上单调递减，所以， 记， 若对任意的，存在唯一的，使得， 则，所以，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则． B. 某单位有个连在一起的车位，现有辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的个空车位连在一起，则不同的停放方法的种数为． C. 从，，，，这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为，共可得到的不同值的个数是． D. 用，，，十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为． 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项利用组合数的计算公式进行计算；B选项相邻问题进行捆绑，再进行排列即可；C选项先求出总排列数，再减去重复的即可；D选项利用间接法进行求解. 【详解】对于A选项，因为， 所以，且， 化简得，，解得，故A正确； 对于B选项，将个连在一起的空车位“捆绑”，作为一个整体考虑，然后将辆车放在余下的个车位， 则不同的停放方法的种数，故B正确； 对于C选项，首先从，，，，这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法， 因为，，所以从，，，，这五个数中， 每次取出两个不同的数分别记为，共可得到的不同值的个数是，故C错误； 对于D选项，利用间接法，用所有的三位数减去没有重复数字的三位数， 即个，故D错误. 故选：. 10. 设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意确定圆心坐标和半径，易知该圆过原点，作出函数在的图象，结合图形分析，即可求解. 【详解】由，得该圆心为，半径为， 易知该圆过原点，由，当时， 得，作出函数的图象，如图， 由图可知，当时，圆与函数的图象有2个交点， 当时，圆与函数的图象有1个交点， 当时，圆与函数的图象有2个交点， 当时，圆与函数的图象有4个交点， 根据圆与函数的对称性，后续交点情况类比即可. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于理解取整函数的定义，利用数形结合的思想分析圆与函数图象交点的个数. 11. 如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则（ ） A. 当为的中点时，异面直线与所成角为 B. 当平面时，点的轨迹长度为 C. 当时，点到的距离可能为 D. 存在一个体积为的圆柱体可整体放入内 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AC：建立空间直角坐标系计算求解；对于B：过作面的平行平面，进而可得点的轨迹；对于D：由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥内接最大圆柱的体积，表示出体积，然后利用导数求其最值即可. 【详解】对于A，因为为正方形，如图，连接与，相交于点，连接， 则两两垂直，故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 为的中点，则， 当为的中点时，， 设异面直线与所成角为， 则，故，故正确； 对于B，如图，设为的中点，为的中点， 则，平面，平面， 则平面，又平面，又，设， 故平面平面，平面平面，平面平面， 则，则为的中点，点在四边形内（包含边界）运动，则， 点的轨迹是过点与平行的线段，长度为4，故B错误； 对于C，当时，设， ，得，即， 即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧（如下图）， 到的距离为3，弧上的点到的距离最小值为， 因为，所以存在点到的距离为，故C正确； 对于D，如图，由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥内接最大圆柱的体积， 设圆柱底面半径为，高为，为的中点，为的中点，， 根据，得，即， 则圆柱体积， 设，求导得， 令得，或，因为，所以舍去，即， 所以当时，，当时，， 即当时，， 则， 所以， 故存在一个体积为的圆柱体可整体放入内，故D正确． 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦差公式将已知条件展开，结合，求得，再利用正弦二倍角公式，将展开，代入即可求解. 【详解】因为，而， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】分析函数的单调性及零点，可得出或，数形结合可得出原不等式的解集. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且， 则函数在上也为减函数，且， 作出函数的草图如下图所示： 由可知， 当时，则，则或， 解得或，此时，； 当时，则，则或， 解得或，此时. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 14. 设，，，，则数列的通项公式=___________． 【答案】 【解析】 【详解】由条件得，且，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，，为的中点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理或正弦定理进行边角转化，可求角. （2）法一：在中，利用余弦定理，先求边与，再在中利用余弦定理求. 法二：利用，在和中利用余弦定理列式，可求的值. 法三：在中，利用余弦定理，先求边，再利用，结合平面向量数量积的有关运算，可求的值. 【小问1详解】 法一：因为，由余弦定理：， 得：，则，因为，所以． 法二：因为，由正弦定理得： ，， ，， 因为，所以，因为，所以． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得：， 得：， 法一：， 在中，由余弦定理得：，得：． 法二：因为，所以， 所以， 所以，解得：． 法三：因为，所以， ，所以． 16. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）在线段上找一点，使平面平面，求的长； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，可得，又可得，进而可得平面，可得平面平面，可求得的长； （2）取中点为，连接，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 取中点为，连接，因为，所以， 又平面，平面，， 因为平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以平面平面， 此时； 【小问2详解】 取中点为，连接，在平面内过点作的平行线为轴，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以与平面所成角的正弦值． 17. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】（1） （2）（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【小问1详解】 甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. 【小问2详解】 （i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 18. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. （1）求的方程； （2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； （3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，即可求解； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解； （3）由（2）结合两点斜率公式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，所以抛物线方程为. 【小问2详解】 由题意可设直线的方程为，，，则，，. 所以，得， 所以，. 所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去， 解得，同理. 所以.所以. 所以直线的斜率为. 【小问3详解】 设， 因为. 因为，. 所以， 当时，为定值.所以. 19. 我们把称为区间的长度．若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间．已知函数，． （1）若，任取的一个自映射区间，求其区间的长度的概率； （2）若存在自映射区间， ①求的取值范围； ②求证：，且的长度． 【答案】（1） （2） ①；②因为，所以， 下证：．记， 则， 则在上单调递增，则，即， 即，所以． 所以，所以． 记，则， 时，单调递减；时，单调递增； 所以，即， 则，即，同理 因为函数的，且对称轴为， 则方程存在两根，且， 又，且，所以， 则， 所以区间的长度． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由自映射区间定义结合古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果； （2）①由自映射区间定义，结合函数的单调性，将问题转化为函数至少存在两个零点问题，然后结合导数，代入计算，即可得到结果；②构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可证明不等式. 【小问1详解】 因为恒成立，则在上单调递增， 若存在自映射区间，则， 即方程，即至少有两个不同实数解． 则的解集为，所以区间的选择共有种． 若，共有6种选择， 所以区间的长度的概率为． 【小问2详解】 ①因为在上单调递增， 若存在自映射区间，则， 即至少有两个零点， 因为时，单调递增； 时，单调递减； 若要存在两个零点，则，即． 此时，使得． 因为当时，，即函数单调递减， 所以，又， 所以，则，使得． 所以的取值范围为． ②略 【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义问题与导数的综合应用，难度较大，解答本题的关键在于理解所给的定义，然后结合导数的知识解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届云南省煤炭第二中学高三3月月考 数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对于任意集合，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ). A. B. C. D. 5. 已知为复数，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 6. 过抛物线上的一点作切线，设与轴相交于点为的焦点，直线交于另一点，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 一个圆台形的木块，上、下底面的半径分别为4和8，高为3，用它加工成一个与圆台等高的四棱台，棱台下底面为一边长等于9的矩形，且使其体积最大．现再从余下的四块木料中选择一块车削加工成一个球，则所得球的半径最大值是（ ）（加工过程中不计损耗） A. B. C. 1 D. 8. 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则． B. 某单位有个连在一起的车位，现有辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的个空车位连在一起，则不同的停放方法的种数为． C. 从，，，，这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为，共可得到的不同值的个数是． D. 用，，，十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为． 10. 设函数的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数的图象与圆（）的公共点个数可以是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则（ ） A. 当为的中点时，异面直线与所成角为 B. 当平面时，点的轨迹长度为 C. 当时，点到的距离可能为 D. 存在一个体积为的圆柱体可整体放入内 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为________． 14. 设，，，，则数列的通项公式=___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，，为的中点，求． 16. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）在线段上找一点，使平面平面，求的长； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值． 17. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 18. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. （1）求的方程； （2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； （3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 19. 我们把称为区间的长度．若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间．已知函数，． （1）若，任取的一个自映射区间，求其区间的长度的概率； （2）若存在自映射区间， ①求的取值范围； ②求证：，且的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $