精品解析：云南省玉溪第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

玉溪一中2024-2025学年下学期高二年级期中考 数学学科试卷 总分：150分，考试时间：120分钟 命题人：龚其斌 赵海帆 审题人：邓永梅 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若点，到直线的距离相等，则（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 或 5. 若实数数列：成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ） A. 1小时 B. 0.3小时 C. 0.5小时 D. 0.2小时 7. 甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法种数共有（ ） A. 480 B. 360 C. 240 D. 144 8. 若在上有两个极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多个选项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是的一条对称轴 B. 在上单调递增 C. 在上的最小值为 D. 向右平移个单位后为一个偶函数 10. 一个铁罐中装有4块白巧，6块黑巧，除口味外包装完全一样，每次随机拿出一块后不放回.则下列说法正确的是（ ） A. 两次都拿到白巧的概率为 B. 第一次拿到黑巧的条件下，第二次拿到白巧的概率为 C. 第一次拿到黑巧且第二次拿到白巧的概率为 D. 第三次拿到黑巧的概率为 11. 如图，长方体中，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 若与平面所成的角为，则 B. 的取值范围是 C. 的最小值为 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____________. 13. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理.已知大衍数列满足，，数列满足，则_____________，数列的前项和与数列的前_____________项和相等. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 14. 已知是正项等差数列，是的前项和.若且. （1）求的值和通项公式； （2）若，求数列的前项和. 15. 已知函数的图象在处的切线与直线平行，其中为常数. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为棱上的一点. （1）当为的中点时，求证：平面平面； （2）当平面和平面所成的角的余弦值为时，求的值. 17. 甲、乙两名同学最近50次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 30 25 未投中 20 25 用频率估计概率，解答下列问题. （1）若从甲、乙两人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率； （2）若甲、乙两人各投篮2次，甲、乙每次投中与否相互独立，求至少投中3次的概率； （3）设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投.规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则为平局.甲、乙每次投中与否相互独立.求甲投了第三次后停止比赛的概率. 18. 已知椭圆上右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. （1）求椭圆的方程； （2）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点； （3）在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于、两点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2024-2025学年下学期高二年级期中考 数学学科试卷 总分：150分，考试时间：120分钟 命题人：龚其斌 赵海帆 审题人：邓永梅 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集运算即可. 【详解】由， 故选：D. 2. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数及复数的概念可得结果. 【详解】因为，则，因此，的虚部为. 故选：D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可求得，进而利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】由，得．又，则， 所以，所以． 故选：C． 4. 若点，到直线的距离相等，则（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 5. 若实数数列：成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的定义和性质可求得，进而得到离心率. 【详解】成等差数列，，解得：， ，解得：，圆锥曲线方程为， 离心率. 故选：D. 6. 如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ） A. 1小时 B. 0.3小时 C. 0.5小时 D. 0.2小时 【答案】B 【解析】 【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果. 【详解】由题意，在中，，，，所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：B. 7. 甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法种数共有（ ） A. 480 B. 360 C. 240 D. 144 【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊元素优先排列，再用分步计数乘法原理解题即可. 【详解】优先甲、乙、丙进行排列，先从6个位置中选出3个位置，共有种， 根据甲、乙均在丙同侧，有甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙、丙乙甲共4种排法， 剩下3人共有种排法， 根据分步计数乘法原理，所求不同的排法共有种. 故选:A. 8. 若在上有两个极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，将问题转化为在上有两个不相等实数根，换元，令，进而根据二次函数的图像以及的图像交点个数求解. 【详解】． 要使在上有两个极值点，则在上有两个不相等实数根， 令，由，则. 令; 故，且图象如下： 当时,有两个解，则在上有四个不相等实数根，不合题意； 当时，只有一个变号零点，不合题意； 当时，此时无实数根，不符合题意， 当，函数在时与只有一个交点，对应的有两个；对应的值有1个，故不为0，所以． 故选：B． 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多个选项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是的一条对称轴 B. 在上单调递增 C. 在上的最小值为 D. 向右平移个单位后为一个偶函数 【答案】BD 【解析】 【分析】由图可知，结合周期求得，进而求得，进而逐项计算判断即可. 【详解】由图知，则， ，所以，则， 即 因为，所以，，即，. 因为，得，所以， 对于选项A，时，，又因为函数不关于对称， 所以不是的对称轴，故A错误； 对于选项B，当时，，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 对于选项C，当时，，最小值为，故C错误； 对于选项D，，又因为， 所以是偶函数，故向右平移个单位后为一个偶函数，故D正确. 故选：BD. 10. 一个铁罐中装有4块白巧，6块黑巧，除口味外包装完全一样，每次随机拿出一块后不放回.则下列说法正确的是（ ） A. 两次都拿到白巧的概率为 B. 第一次拿到黑巧的条件下，第二次拿到白巧的概率为 C. 第一次拿到黑巧且第二次拿到白巧的概率为 D. 第三次拿到黑巧的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用概率的乘法公式求解判断AC；利用条件概率公式求解判断B；利用等可能事件概率求解判断D. 【详解】对于A，两次都拿到白巧的概率为，A正确； 对于B，第一次拿到黑巧的条件下，第二次拿到白巧的概率为，B正确； 对于C，第一次拿到黑巧且第二次拿到白巧的概率为，C错误； 对于D，袋子里共有十块巧克力，其中黑巧有6块，则每次拿到黑巧的概率都是，D正确. 故选：ABD 11. 如图，长方体中，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 若与平面所成的角为，则 B. 的取值范围是 C. 的最小值为 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项,构造出线面角再计算，对于选项B，，利用求数量积范围；对于选项C，转化为最小值问题；对于选项D，可以建立空间直角坐标系求解. 【详解】如图，， 连接，由于平面， 所以与平面所成的角为，如图， 所以，因为，所以，故A正确； 连接，在中，， 所以，而 所以的取值范围是，故B错误； 设为中点，连接，如上图示， 则，且， 故，故C正确； 以为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴，如图， 则点的坐标满足 可设的坐标为， 由球心在BC的中垂线（即过外接圆圆心且与底面垂直的直线）上，可设球心坐标为， 因为，所以， 解得，故，所以外接球的半径， 所以，故D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】问题转化为在上恒成立，则恒成立，利用导数确定函数在上的单调性得最值即可得实数的取值范围. 【详解】由题可知，在上恒成立， 即恒成立， 令，则，所以函数在上单调递增 所以，解得，则实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理.已知大衍数列满足，，数列满足，则_____________，数列的前项和与数列的前_____________项和相等. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分别由和的关系式可推导得到，利用累加法可求得为奇数时的通项公式，进而得到，结合等差数列前项和公式可构造方程求得结果. 【详解】当时，①； 当时，②； 由①②得：， ，，，， 累加得：； 令，则当且为奇数时，； 当时，满足；当为奇数时，； 此时，当为偶数时，； ，，， 的前项和为； 的前项和为， 令，解得：（舍）或，. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 14. 已知是正项等差数列，是的前项和.若且. （1）求的值和通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为且>，由已知求得，，可求的通项公式； （2）利用裂项相消法可求得的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为且>， 由题意得且， 解得，，所以； 【小问2详解】 由（1）可得 ， 所以， =. 15. 已知函数的图象在处的切线与直线平行，其中为常数. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，在处的切线的斜率等于，据此求解； （2）利用导数判断的单调性，进而利用单调性解不等式. 【小问1详解】 ， 在处的切线与直线平行， ， 【小问2详解】 函数的定义域为，  和都大于0，可得 又 所以在上单调递减 又 所以，解得：或 因此原不等式的解集为． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为棱上的一点. （1）当为的中点时，求证：平面平面； （2）当平面和平面所成的角的余弦值为时，求的值. 【答案】（1） 因平面，平面，则， 又因底面为正方形，则， 因，平面，则平面， 又平面，则， 因，为的中点，则， 因平面，则平面， 因平面，则平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再证明平面，最后利用面面垂直的判定定理即可； （2）以为原点，设，再分别求平面和平面的法向量为，再通过即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，可设， 则 ， 则， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量， 则，， 令，则，， 因平面和平面所成的角的余弦值为， 则，得， 则. 17. 甲、乙两名同学最近50次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 30 25 未投中 20 25 用频率估计概率，解答下列问题. （1）若从甲、乙两人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率； （2）若甲、乙两人各投篮2次，甲、乙每次投中与否相互独立，求至少投中3次的概率； （3）设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投.规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则为平局.甲、乙每次投中与否相互独立.求甲投了第三次后停止比赛的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出甲、乙投篮的命中率，再由全概率公式计算可得； （2）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （3）依题意甲投了3次，则乙投了2次，又甲比乙多投中2次，则有2种情况，第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次，第二种情况，甲投中了2次，乙投中了0次，根据相互独立事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 甲同学的投篮命中率为， 乙同学的投篮命中率为， 从甲、乙中随机选择人投篮次，投中的概率为. 【小问2详解】 由题意：至少投中3次的概率为 ； 【小问3详解】 由题意得：甲投了3次，则乙投了2次，又甲比乙多投中2次，则有2种情况， 第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次， 即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投中，其概率为， 第二种情况，甲投中了2次，乙投中了0次， 即甲第一、三次投篮都投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都没投中；或甲第二、三次投篮投中，第一次投篮没投中，乙每次投篮都没投中. 其概率为， 甲投了第三次后停止比赛的概率为. 18. 已知椭圆上右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. （1）求椭圆的方程； （2）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点； （3）在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于、两点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 如图所示： 由题意，可设直线的方程为 ，， 联立方程组消去得方程：， ，所以， 所以直线的方程为：， 令，则， 故直线过定点； （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质列方程确定的值，即可得椭圆方程； （2）由题意，可设直线的方程为，，根据直线与椭圆交点坐标关系，确定直线的方程，从而可得直线与轴交点坐标，即可证得结论； （3）根据直线与椭圆交点坐标关系，结合数量积的坐标运算与函数求最值即可得结论. 【小问1详解】 由题意可得 ：且， 解得：， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当直线与轴重合时，， ②当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 联立，消去得方程， 可知，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是， 综上可知，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $