精品解析：四川省南充市阆中北大博雅骏臣学校2024-2025学年高二下学期3月考试数学试题

阆中北大博雅骏臣学校2025年春第一学月知识整理 高二年级 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：张世成 审题人：何长江 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数列前项和与第项的关系求出. 【详解】数列的前项和，则. 故选：A 2. 设等差数列的前项和为，若，则的值为（ ） A. 28 B. 39 C. 56 D. 117 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的求和公式及等差数列的性质即可求解. 【详解】因为等差数列中，， 则. 故选：B. 3. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为点，为点，比较A点切线的斜率、B点切线的斜率、直线AB的斜率即可判断． 【详解】设为点，为点， 由题图可知函数的图象在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数， 所以，而直线的斜率为，其比在处的切线的斜率小， 但比在处的切线的斜率大，所以． 4. 已知抛物线上一点，则在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的定义求出抛物线在点处的切线的斜率，即可得出该切线的倾斜角. 【详解】抛物线在点处的切线的斜率为 ，故切线的倾斜角为． 故选：B. 5. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数导数公式求导，进而求切线方程并得到，即可求目标式的值. 【详解】对求导得． 令，得在点处的切线的斜率， 在点处的切线方程为． 令，得， ． 故选：B 6. “数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离常数后可得，再利用倒序相加法，即可求解． 【详解】当时，， ， ， ， ， ，即. 故选：D． 7. 已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用作商法判断数列单调性，得出数列的最小值即可得解. 【详解】由，则， 令，则，由，解得， 所以当时，，当时，， 即当时，数列单调递减，当时，数列单调递增， 又，，所以，即为数列的最小值， 故当取得最小值时，. 故选：B 8. 图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设，则， 依题意，有，且， 所以，故， 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 设等差数列的前项和，则（ ） A. 该数列的公差为 B. C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】利用、关系先求出通项公式，由此判断A、B，再利用数列函数的性质判断C、D. 【详解】设等差数列的公差为，因为， ， 当时，有， 得， 检验符合上式，所以， 对于A，，A正确， 定义B，，B错误， 对于C，根据， 可知时，有最小值， 所以C正确，D错误. 故选：AC 10. 直线与曲线相切于点，则（    ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据切点即在切线上也在曲线上，结合导数的几何意义即可得解. 【详解】由题意，直线与曲线相切于点， 所以点代入直线，可得， 令，则， ， ，解得， 即， 把点代入得， 解得，故． 故选：ABC． 11. 若数列满足对任意的正整数，都有，则称为“凸数列”．下列结论正确的是（ ） A. 若，则数列为“凸数列” B. 若，则数列为“凸数列” C. 若单调递减数列的前项和为，则数列为“凸数列” D. 若数列的前项和为，数列为“凸数列”，则为单调递减数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由“凸数列”的定义，即可判断AB，再由单调数列的定义以及“凸数列”的定义分别判断CD，即可得到结果. 【详解】因为，， 且，则，所以数列不是“凸数列”，故A错误； 因为，， 且，所以， 则数列为“凸数列”，故B正确； 因为，， ， 则， ， 所以， 又数列是单调递减数列，则，即， 所以，即， 即数列为“凸数列”，故C正确； 因为数列为“凸数列”，则， 即，即， 所以，而的符号不确定， 故不一定为单调递减数列，故D错误； 故选：BC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12. 已知曲线上一点，记为函数的导数，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】对求导，即可求出，再求出，即可求解. 【详解】因为，则，又，则， 所以， 故答案为：. 13. 推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得__________. 【答案】. 【解析】 【分析】通过诱导公式可知，结合，可求出原式为. 【详解】解：设， ， ，则 ，即， 故答案为: 【点睛】本题考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系.本题的关键是结合诱导公式对所求式子倒序求和. 14. 已知等比数列的公比，存在，满足，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得，再根据基本不等式结合对勾函数性质求解即可． 【详解】在等比数列中，由，得，即， 则，则， 当且仅当，即时取等号，此时，而， 由对勾函数的性质知，当时，； 当时，，又， 所以当时，取得最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在等差数列中，公差，其前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）通过构造一个新的数列，求非零常数c，使也为等差数列． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差中项性质及已知求得，即可得通项公式； （2）由（1）写出前三项，根据等差中项性质求出参数c即可. 【小问1详解】 由题意且，可得或（舍）， 所以，则，故. 【小问2详解】 由（1）知：，则． 所以，，． 因为为等差数列，所以，即，可得或（舍）， 所以是等差数列，有． 16. 已知函数． （1）求函数的解析式； （2）设，求曲线的斜率为的切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先对给定函数求导，然后将代入导函数求出的值，进而得到函数的解析式. （2）先求出的表达式，再对求导，根据切线斜率求出切点坐标，最后利用点斜式求出切线方程. 【小问1详解】 对求导，可得. 把代入，得到. 解得. 把代入，得到. 【小问2详解】 已知，把代入可得. 对求导，可得. 因为曲线切线斜率为，所以令，即. 解得或. 当时，. 当时，. 当切点为，切线方程为，整理得. 当切点为，切线方程为，整理得. 综上所得，的斜率为的切线方程为或. 17. 若数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知，， 故， ， 两式作差得：. 所以，因为，所以. 【解析】 【分析】（1）利用和的关系求解即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 当时，，， 因为，当时，， 两式作差得：， 即，故， 又因为，所以，且 所以. 【小问2详解】 略 18. 已知曲线，求 （1）曲线在点处的切线方程； （2）曲线过点的切线方程； （3）曲线平行于直线的切线方程. 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程； （2）设出切点，写出切线方程，代入点，即可求得切线方程. （3）设出切点，用导数求得切点处切线的斜率与已知直线斜率相等，进而求出切点，写出切线方程即可. 【小问1详解】 由得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为：， 即. 【小问2详解】 因为切点在曲线上，所以可设切点为， 则， 则切线方程为， 因为切线过，代入切向方程得： 化简得， 则或 所以曲线过点的切线方程为： 或. 【小问3详解】 直线的斜率为， 设切点为， 则由（2）知切线方程为， 则由切线与直线平行得， 即或， 所以切线方程为或， 即或 19. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，. （1）求，的通项公式； （2）若，求的值； （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合条件计算等差数列的公差、等比数列的首项和公比，由此可得结果. （2）由题目条件得，结合函数的单调性可得结果. （3）根据（1）得到数列的通项公式，利用裂项相消法计算可得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为. ∵，，，，∴， 由得.由①③得， ①④代入②得，，解得，故， ∴. 【小问2详解】 ∵，∴， 令，由函数和在上为增函数得在上为增函数， ∵，∴. 【小问3详解】 由（1）得，， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阆中北大博雅骏臣学校2025年春第一学月知识整理 高二年级 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题人：张世成 审题人：何长江 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 设等差数列的前项和为，若，则的值为（ ） A. 28 B. 39 C. 56 D. 117 3. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线上一点，则在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 6. “数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ） A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 设等差数列的前项和，则（ ） A. 该数列的公差为 B. C. 有最小值 D. 有最小值 10. 直线与曲线相切于点，则（    ） A. B. C. D. 11. 若数列满足对任意的正整数，都有，则称为“凸数列”．下列结论正确的是（ ） A. 若，则数列为“凸数列” B. 若，则数列为“凸数列” C. 若单调递减数列的前项和为，则数列为“凸数列” D. 若数列的前项和为，数列为“凸数列”，则为单调递减数列 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12. 已知曲线上一点，记为函数的导数，则_______． 13. 推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得__________. 14. 已知等比数列的公比，存在，满足，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在等差数列中，公差，其前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）通过构造一个新的数列，求非零常数c，使也为等差数列． 16. 已知函数． （1）求函数的解析式； （2）设，求曲线的斜率为的切线方程． 17. 若数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，证明：. 18. 已知曲线，求 （1）曲线在点处的切线方程； （2）曲线过点的切线方程； （3）曲线平行于直线的切线方程. 19. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，. （1）求，的通项公式； （2）若，求的值； （3）若，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $