精品解析：上海市建平中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

建平中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若，则正整数_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用组合数计算公式求解即可. 【详解】由可得， 化简可得， 故答案为：. 2. 已知，，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据列出比例式，求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：. 3. 曲线在处的切线斜率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，然后分别计算在处的函数值和导数值，最后可得结果. 【详解】由题可知：，所以， 所以曲线在处的切线斜率为2 故答案为：2 4. 展开式中的常数项为______． 【答案】##0.9375 【解析】 【分析】根据二项式展开公式得到，令上的指数为0，得到值，再代入回去得到常数值. 【详解】二项式的展开式的通项公式为 , 令,解得, 则展开式的常数项为, 故答案为：. 5. 函数在区间上的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得结果． 【详解】数， ， ，， ， 当，时，函数单调递增； 函数在区间，上的最大值为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6. 已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则_________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理即可求得. 【详解】∵， 由空间向量共面定理得：， 故答案为：. 7. 某小组有男生3名，女生2名，现从中任选3名代表，则选出的代表中男生和女生都有的选法有_________种． 【答案】 【解析】 【分析】易知选出代表中都有男女生的情况有：1男2女或2男1女，即可求解. 【详解】由题意知，选出代表中都有男女生的情况有：1男2女或2男1女， 共有种选法. 故答案为：9 8. 已知，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】，由于，所以，所以， 故答案为：3 9. 4名学生和2位老师随机站成一排拍照，则两位老师不相邻的排法有_________种． 【答案】 【解析】 【分析】根据不相邻问题插空法,结合排列即可求解. 【详解】首先,将4名学生全排列,共有种方法,接下来,将2名老师安放在5个空隙中,共有种方法,故总的排法有, 故答案为:480 10. 已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数刻画函数的图象，结合过原点与特殊点处的直线的斜率可求参数的取值范围. 【详解】， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 且时，恒成立，故的图象如图所示， 因为，，故， 又，因为,所以, 因为有且仅有一个整数，使得点在直线上方，故， 故答案为：. 11. 已知“”为“”的一个全排列，设是实数，若“”可推出“或”则满足条件的排列“”共有_______个. 【答案】224. 【解析】 【分析】中有1和6，分同在 或和 不同在或两种情况分类讨论即可. 【详解】如果为或为，则余下4个元素无限制，共有种， 如果中有1，有6，则共有种， 如果中有6，有1，则共有种， 综上，共有种，填. 【点睛】对于排数问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如偶数、奇数等，可考虑末位数字的特点，还有零不能排首位等；（2）先选后排，比如要求所排的数字来自某个范围，我们得先选出符合要求的数字，在把它们放置在合适位置；（3）去杂法，也就是从反面考虑． 12. .已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先将问题等价于恒成立，构造函数，由导数分析单调性得到最小值，再次构造函数，由导数分析单调性可得. 【详解】由函数，，所以不等式恒成立，等价于恒成立； 因为，所以； 设函数， ，则， 计算，且； 所以， 当，时，令，解得， 所以时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以； 设 则， 所以在上单调递增，且； 要使恒成立， 需使恒成立，即， 所以a的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，满分18分）第13，14题每题4分，第15，16题每题5分． 13. 在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出和，然后求出平面的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可. 【详解】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 14. 根据组合数的性质可知，（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由,利用组合数性质计算即可. 【详解】, 故选:C. 15. 已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，由可知是函数的极小值点，则，即可求出的值，即可求出函数解析式，再检验，最后再解不等式. 【详解】函数，则， 由图象可知，是函数的极小值点，则，解得， 此时，所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则是函数的极小值点，符合题意；， 所以不等式，即，解得， 所以不等式的解集为． 故选：C． 16. 若为非负整数，则方程的解有（ ） A. 83组 B. 84组 C. 85组 D. 以上答案都不对 【答案】C 【解析】 【分析】就及分类讨论，后者可利用放缩法得到，再就、分类讨论后可得所有解的个数. 【详解】若，则， 此时是满足条件的一组解． 若，不妨设，则， 此时必有（否则，矛盾），因此问题即 且由，可得． 情形一 ，此时， 解得． 情形二 ，此时，无解． 综上所述，及其对称式，有85组解． 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. （1）写出从这4个字母中，取出2个不同字母的所有排列； （2）已知正整数满足，求正整数的值； （3）有7名学生排成一排，其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？ 【答案】（1） ；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）列出所有可能结果即可； （2）根据排列数公式计算可得； （3）分甲在排尾与甲不在排尾两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】（1）从这4个字母中，取出2个不同字母的排列有个， 分别为：； （2）因为， 所以且， 解得； （3）有7名学生排成一排，其中甲不站排头，乙不站排尾， 若甲在排尾，则有种排法； 若甲不在排尾，则甲有种排法，乙有种排法，其余人全排列有种排法， 即有种排法； 综上可得一共有种不同的排法. 18. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （2）利用向量法可求出点到平面的距离． 【小问1详解】 依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 又分别是棱，，的中点，，． 所以, 所以有：， 设平面的法向量为，则有 所以，令，有， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 因为，由（1）有平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为：. 19. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 【答案】（1）x=15cm （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）先设包装盒的高为，底面边长为，写出，与的关系式，并注明的取值范围，再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积关于的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可； （2）利用体积公式表示出包装盒容积关于的函数解析式，利用导数知识求出何时它取得的最大值即可． 设包装盒的高为，底面边长为 由已知得 （1）∵ ∴当时，取得最大值 （2）根据题意有 ∴． 由得，(舍)或． ∴当时；当时 ∴当时取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为 即包装盒的高与底面边长的比值为． 考点：1．函数的应用问题；2．函数的最值与导数；3．二次函数的图像与性质． 20. 我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． （1）求和的值； （2）求的值； （3）当为偶数时，求（用表示）． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义可知，当，范数为奇数时，中0的个数为0或2，根据乘法原理和加法原理求解即可； （2）当为奇数时，要使范数为奇数，则0的个数一定为偶数，可按0的个数为分情况讨论，再根据和的展开式得到的通项公式即可求解； （3）同（2），按0的个数分情况讨论，利用新定义求出的通项公式，再根据组合数的性质化简求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，当，范数为奇数时，的个数为偶数， 即中0的个数为0或2， 所以根据乘法原理和加法原理可得，. 【小问2详解】 由题意可知，当为奇数时，在中要使范数为奇数，则0的个数一定为偶数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 根据乘法原理和加法原理可得， 因为①， ②， 所以得， 所以. 【小问3详解】 当为偶数时，在向量中，要使范数为奇数，则的个数一定为奇数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 所以， ， 解法一：因为， 所以 . 解法二：因为③， ④， 得， 又因为， 所以 . 【点睛】难点点睛：本题的难点在于理解新定义，学会类比的方法从特殊到一般，其次对组合数，二项式定理的灵活应用，化简变形要求较高，属于难题. 21. 函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的＂函数＂． （1）判断函数是否是上的“函数”，请说明理由； （2）若函数是上的“函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数是上的“函数”．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值． 【答案】（1）不是，理由如下： 因为，则， 由于，即对任意的不恒成立， 所以函数不是上的“函数”. （2）； （3）6. 【解析】 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）结合定义可得对任意的恒成立，进而得到对任意的恒成立，令，进而结合导数分析单调性求得最值即可求解； （3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论求得，再结合题意可得，令，，进而结合导数分析求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 因为函数是上的“函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以， 因为函数是上的“函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，对任意的，上式恒成立，符号题意； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，. 若对任意的，当时，都有成立， 不妨设，则，于是有， 即， 令，， 则存在，使得在上为增函数， 于是存在，使得， 即对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 而函数在上单调递增，所以，即， 另一方面，当，时，，， 可得知恒成立，满足题意， 所以实数的最大值为6. 【点睛】方法点睛：与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的函数定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若，则正整数_________． 2. 已知，，且，则______. 3. 曲线在处的切线斜率为_________． 4. 展开式中的常数项为______． 5. 函数在区间上的最大值为__________. 6. 已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则_________． 7. 某小组有男生3名，女生2名，现从中任选3名代表，则选出的代表中男生和女生都有的选法有_________种． 8. 已知，若，则________． 9. 4名学生和2位老师随机站成一排拍照，则两位老师不相邻的排法有_________种． 10. 已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围是_________． 11. 已知“”为“”的一个全排列，设是实数，若“”可推出“或”则满足条件的排列“”共有_______个. 12. .已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是______. 二、选择题（本大题共4题，满分18分）第13，14题每题4分，第15，16题每题5分． 13. 在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（ ）． A. B. C. D. 14. 根据组合数的性质可知，（ ）． A. B. C. D. 15. 已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 16. 若为非负整数，则方程的解有（ ） A. 83组 B. 84组 C. 85组 D. 以上答案都不对 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. （1）写出从这4个字母中，取出2个不同字母的所有排列； （2）已知正整数满足，求正整数的值； （3）有7名学生排成一排，其中甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？ 18. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 19. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 20. 我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数．已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． （1）求和的值； （2）求的值； （3）当为偶数时，求（用表示）． 21. 函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的＂函数＂． （1）判断函数是否是上的“函数”，请说明理由； （2）若函数是上的“函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数是上的“函数”．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $