精品解析：北京市东城区北京宏志中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

北京宏志中学2024—2025学年度第二学期 （高二年级数学学科）考试卷 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 书架上层放有4本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从书架上任取数学书和语文书各1本，不同取法的种数为（ ） A. 9 B. 12 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】分两步完成： 第一步，从上层取1本数学书，有4种不同的取法； 第二步，从下层取1本语文书，有5种不同的取法， 由分步乘法计数原理得共有种不同的取法. 故选：C 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 由可得，故展开式中的系数为. 故选：A. 3. 下列导数运算错误的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据求导法则，求导公式逐个选项计算即可. 【详解】A选项，，则，A正确； B选项，，，B错误； C选项，，，C正确； D选项，，，D正确. 故选：B 4. 是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系，结合图象进行判断即可. 【详解】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，只有选项C符合， 故选：C 5. 在一段时间内，甲去博物馆的概率为0.8，乙去博物馆的概率为0.7，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是（ ） A. 0.56 B. 0.24 C. 0.94 D. 0.84 【答案】C 【解析】 【分析】先根据独立事件的乘法公式求出甲乙两人都不去博物馆的概率，进而对立事件求概率的公式即可计算出结果. 【详解】甲乙两人至少有一个去博物馆的对立事件为甲乙两人都不去博物馆， 设甲去博物馆为事件,乙去博物馆为事件， 则甲乙两人都不去博物馆的概率, 因此甲乙两人至少有一个去博物馆的概率, 故选：C. 6. 从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到奇数的条件下，第2次又抽到奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概型的知识求得正确答案. 【详解】在第1次抽到奇数的条件下，余下个奇数和个偶数， 再次抽取时，抽到奇数的概率为. 故选：C 7. 设随机变量的概率分布列为 1 2 3 4 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析： ，故选B 考点：概率分布 8. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数判断的单调性，结合单调性比较大小. 【详解】因为在上恒成立，可知在上单调递增， 又，所以. 故选：D. 9. 某成品仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器成品，第一、二车间生产的成品比例为2:3，已知第一车间的一等品率为0.85，第二车间的一等品率为0.88.今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，该产品是一等品的概率为（ ） A. 0.8884 B. 0.868 C. 0.1325 D. 0.112 【答案】B 【解析】 【分析】代入全概率公式，即可求解. 【详解】由条件可知，该产品是第一车间生产的概率为，是第二车间生产的概率为， 所以该产品是一等品的概率. 故选：B 10. 定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出每个选项中函数，判断每个选项中方程是否有解，由此可得合适的选项. 【详解】对于A选项，，则，由， 即，，因此，存在“自足点”，A满足条件； 对于B选项，，则，由， 可得，其中，令，则，， 所以，函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，B选项满足条件； 对于C选项，，则，其中， 因为，故函数存在“自足点”，C选项满足条件； 对于D选项，，则， 由，可得， 因为，， 所以，， 所以，方程无实解，D选项不满足条件. 故选：D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 设函数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由的导数为，将 代入，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 12. 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B不相邻，则不同的摆法有_____________种. 【答案】72 【解析】 【分析】利用间接法求出5件不同的产品排成一排及产品与产品相邻的情况，即可得出结论. 【详解】5件不同的产品摆成一排共有， 产品与产品相邻，把和看做一个元素,使得它与另外3个元素排列，再者和之间还有一个排列，共有， 所以产品与产品不相邻，不同的摆法有. 故答案为：72 13. 已知的展开式的二项式系数之和为16，则___________；各项系数之和为___________.(用数字作答) 【答案】 ①. 4 ②. 81 【解析】 【分析】根据二项式系数和的公式，求解；再根据赋值法求各项系数之和. 【详解】展开式中的二项式系数的和是，所以， 令，，即各项系数和为. 故答案为：； 14. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是______ 用数字作答 【答案】36 【解析】 【详解】解：由题意可知，分组方案为两名学生，一名学生，一名学生分别分到3个班， 由排列组合的知识可得：不同的分法的总数是 种. 15. 设函数(为常数)，若在单调递增，写出一个可能的值________. 【答案】0（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】求得，根据题意转化为当时，恒成立，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为在单调递增，即当时，恒成立， 即当时，恒成立，所以， 所以，即为一个可能的值. 故答案为：（答案不唯一，即可）. 16. 人的心率会因运动而变化，并且用的大小评价心率变化的快慢．已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示（为定义域的四等分点），给出如下结论： ①在这段时间内，甲的心率变化比乙快； ②在时刻，甲的心率变化比乙快； ③在时刻，甲、乙的心率变化相同； ④乙在这段时间内的心率变化，比甲在这段时间内的心率变化快． 其中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】观察图象，割线斜率的绝对值大小表示区间的心率变化快慢，切线斜率的绝对值大小表示某点处的心率变化快慢,对选项一一判断即可. 【详解】对于①，在这段时间内，图象割线斜率的绝对值比图象割线斜率的绝对值大，所以甲的心率变化比乙快，故①正确： 对于②，图象切线斜率的绝对值比图象切线斜率的绝对值大，甲的心率变化比乙快，故②正确； 对于③，在时刻，图象切线斜率和图象切线斜率相同， 所以甲、乙的心率变化相同，故③正确； 对于④，乙（虚线）在这段时间的割线斜率小于甲（实线）在这段时间的割线斜率的绝对值，故④错误． 故选：①②③ 三、解答题共4小题，共70分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在上的最值． 【答案】（1）减区间为，增区间为和 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）求出函数在区间上的极大值和极小值，再与、比较大小，即可得出结论. 【小问1详解】 解：因为，其中，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的减区间为，增区间为和. 【小问2详解】 解：列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 又因为，，则， 因此，函数在上的最大值为，最小值为. 18. 袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X． （1）求的值； （2）求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 期望为 【解析】 【分析】（1）直接利用古典概型求解概率即可. （2）得出的可能取值，求出对应的概率，列出分布列，即可得出数学期望. 【小问1详解】 根据题意可知， “”指事件“取出的个球中，恰有个白球”， 所以. 【小问2详解】 根据题意可知，的可能取值为：． ；；． 所以随机变量X的分布列为： 则的数学期望． 19. 《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指点到次日凌晨点）.相关数据表明，人睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表． 组别 睡眠指数 早睡人群占比 晚睡人群占比 注：早睡人群为前入睡的人群，晚睡人群为后入睡的人群． （1）若从早睡人群中随机抽取一人，求其睡眠指数落在区间的概率； （2）据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占从睡眠指数得分在区间内的人群中随机抽取人，以表示这人中属于早睡人群的人数，求的分布列与数学期望； （3）已知有两组早睡人群的睡眠指数数据，第一组为，，，第二组为，，，有同学认为两组数据平均数相同，所以方差相等，请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】（1） （2）的分布列为： （3）不正确，理由如下： 这种说法不正确，理由如下：平均数反映的事一组数据的平均水平，而方差反映的事一组数据的离散程度或波动大小. 第一组数据的平均数，其方差为； 第二组数据的平均数，其方差为. 虽然两组数据平均数相同，但第二组数据中和距离平均数比第一组数据中的和距离平均数更远， 数据更为分散，所以方差更大，即两组数据方差并不相等. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布表中的数据可得出结果； （2）由题意可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，由二项分布的期望公式可得出的值； （3）计算出两组数据的平均数和方差，即可得出结论. 【小问1详解】 睡眠指数落在区间的概率为. 【小问2详解】 由题意可知，，随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 的分布列为： 由二项分布的期望公式得. 【小问3详解】 略 20. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）单调递减区间为和，单调递增区间为； （3）． 【解析】 【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把代入原函数求出，最后由点斜式写出直线方程即可； （2）求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可； （3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到，，，解不等式得到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可. 【小问1详解】 因为，所以． 所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 因为，定义域为， 所以． 因为，令，即， 解得，，所以． 当x变化时，，的变化情况如下表所示． x 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为． 【小问3详解】 在（2）的条件下，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 因为对于任意，不等式成立， 所以，，． 所以，得，，得； ，得． 因为， 所以． 所以a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京宏志中学2024—2025学年度第二学期 （高二年级数学学科）考试卷 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 书架上层放有4本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从书架上任取数学书和语文书各1本，不同取法的种数为（ ） A. 9 B. 12 C. 20 D. 24 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列导数运算错误的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 4. 是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（ ） A. B. C. D. 5. 在一段时间内，甲去博物馆的概率为0.8，乙去博物馆的概率为0.7，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是（ ） A. 0.56 B. 0.24 C. 0.94 D. 0.84 6. 从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到奇数的条件下，第2次又抽到奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 设随机变量的概率分布列为 1 2 3 4 则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）. A. B. C. D. 9. 某成品仓库里混放着来自第一、第二两个车间的同型号的电器成品，第一、二车间生产的成品比例为2:3，已知第一车间的一等品率为0.85，第二车间的一等品率为0.88.今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，该产品是一等品的概率为（ ） A. 0.8884 B. 0.868 C. 0.1325 D. 0.112 10. 定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 设函数，则__________． 12. 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B不相邻，则不同的摆法有_____________种. 13. 已知的展开式的二项式系数之和为16，则___________；各项系数之和为___________.(用数字作答) 14. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是______ 用数字作答 15. 设函数(为常数)，若在单调递增，写出一个可能的值________. 16. 人的心率会因运动而变化，并且用的大小评价心率变化的快慢．已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示（为定义域的四等分点），给出如下结论： ①在这段时间内，甲的心率变化比乙快； ②在时刻，甲的心率变化比乙快； ③在时刻，甲、乙的心率变化相同； ④乙在这段时间内的心率变化，比甲在这段时间内的心率变化快． 其中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题共4小题，共70分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在上的最值． 18. 袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X． （1）求的值； （2）求随机变量X的分布列和数学期望． 19. 《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指点到次日凌晨点）.相关数据表明，人睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表． 组别 睡眠指数 早睡人群占比 晚睡人群占比 注：早睡人群为前入睡的人群，晚睡人群为后入睡的人群． （1）若从早睡人群中随机抽取一人，求其睡眠指数落在区间的概率； （2）据统计，睡眠指数得分在区间内的人群中，早睡人群约占从睡眠指数得分在区间内的人群中随机抽取人，以表示这人中属于早睡人群的人数，求的分布列与数学期望； （3）已知有两组早睡人群的睡眠指数数据，第一组为，，，第二组为，，，有同学认为两组数据平均数相同，所以方差相等，请判断该同学的观点是否正确，并说明理由． 20. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $