精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高二下学期期中考试数学试卷 一、单选题 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知向量，如果向量与垂直，则实数的值为(　　) A. 1 B. －1 C. D. － 4. 等差数列中，，则的公差（ ） A. 3 B. 2 C. D. 5. 已知为的三个内角，下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知时，直线与直线相交于点，则的值（ ） A. 无最大值，最小值为8 B. 最大值为32，无最小值 C. 最大值为32，最小值为8 D. 不存在最值 7. 定义在上的函数满足对任意，（）时，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，，其中，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 不是的周期 B. 成立的充要条件是， C. 的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到 D. 在区间上单调递减 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若关于直线对称，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 在的展开式中，的系数为______，各项系数之和为______． 13. 在正六棱锥中，，，则此正六棱锥的侧面积为___________；该正六棱锥的外接球的表面积为___________. 14. 某工厂由甲、乙两条生产线来生产口罩，产品经过质检后分为合格品和次品，已知甲生产线的次品率为，乙生产线的次品率为，且甲生产线的产量是乙生产线产量的2倍．现在从该工厂生产的口罩中任取一件，则取到合格品的概率为_____． 四、解答题 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的值域. 16. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，点在上，长轴长与短轴长之比为． （1）求椭圆的方程． （2）设为的下顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在线段上．若点在线段上，，证明：． 17. 如图，在四棱锥中，，且，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考.现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据（见下表）： 成绩 性别 合格 不合格 合计 男性 45 10 女性 30 合计 105 （1）完成此表； （2）根据此表判断：是否可以认为性别与考试是否合格有关？如果可以，请问有多大把握；如果不可以，试说明理由. 参考公式：①相关性检验的临界值表： 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 ②卡方值计算公式：.其中. 19. 对于给定的数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“优美数列”． （1）若，数列是否为“优美数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由； （2）已知数列满足．若数列是“优美数列”，求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高二下学期期中考试数学试卷 一、单选题 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用对数函数的定义域求法和指数函数的值域的求法，化简集合A，B，然后利用补集和交集的运算求解. 【详解】因为， 所以， 又， 所以， 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及对数函数的定义域的求法，指数函数的值域，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的模、乘法运算、虚部等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以，， 的虚部为. 故选：D 3. 已知向量，如果向量与垂直，则实数的值为(　　) A. 1 B. －1 C. D. － 【答案】C 【解析】 【分析】写出两个向量的坐标，根据垂直数量积等于零，可以列出关于的等式，解方程即可求出的值 【详解】由题可得：， 因为向量与垂直， 所以，解得. 故选：C. 4. 等差数列中，，则的公差（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据等差数列的公差计算公式即可求解． 【详解】由得，， 故选：A． 5. 已知为的三个内角，下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为，逐个去分析即可选出答案． 【详解】由题意知，在中，， 对A选项，，故A选项正确； 对B选项，，故B选项正确； 对C选项，，故C选项正确； 对D选项，，故D选项不正确． 故选：D 6. 已知时，直线与直线相交于点，则的值（ ） A. 无最大值，最小值为8 B. 最大值为32，无最小值 C. 最大值为32，最小值为8 D. 不存在最值 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线恒过的点得出两直线交点的轨迹，结合轨迹可得最值. 【详解】可整理为， 令且得，，． 知直线恒过．但不是过所有的直线， 表示过的直线，但不包含直线． 同理表示恒过的直线，但不包含直线． 又时，与垂直，时，的斜率为， 的斜率为，故． 所以点的轨迹为以为直径的圆去掉点，圆心为，半径为． 而表示点到原点距离的平方． 所以的最大值为32，最小值不存在． 故选：B． 7. 定义在上的函数满足对任意，（）时，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，函数在上单调递减，进而结合分段函数单调性求解即可. 【详解】由题意得，函数在上单调递减， 则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：D. 8. 已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，由条件判断其奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】令，所以，因为，所以，化简得， 所以是上的奇函数； ， 因为当时，， 所以当时，，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增； 考虑到，由， 得，即， 由在上单调递增，得解得， 所以不等式的解集为， 故选：B. 二、多选题 9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，，其中，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平均数、方差公式判断数据添加后新的平均数、方差变化情况，由中位数、极差定义判断中位数、极差的变化情况. 【详解】新数据的平均数，故两组数据平均数相同，A正确； 若为偶数且两组数据1到n或(n+1)依次从小到大排序后，则原数据中位数，而新数据中位数为，不一定相等，B错误； 原数据方差，而新数据方差，故标准差不一定相同，C错误； 由必大于原数据中的最小值，而小于最大值，所以两组数据的极差相等，D正确. 故选：AD 10. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 不是的周期 B. 成立的充要条件是， C. 的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到 D. 在区间上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的性质判断周期、解方程判断A、B；由图象平移写出解析式判断C；根据已知有，结合正弦函数性质判断单调性判断D. 【详解】A：是的最小正周期，故是的周期，错． B：当时，，，则，，正确． C：把的图象上所有点向左平移个单位长度得到，正确． D：，则， 在区间上单调递减，正确． 故选：BCD 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若关于直线对称，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件和导数的运算性质，以及函数的对称行与周期逐项进行检验即可求解. 【详解】因为关于直线对称，所以， 则，令，得，故选项A正确； 由可得到，所以， 则，则函数的图象关于点对称，令， 则，故选项B错误； 又因为为奇函数，所以，即， 所以函数的图象关于点对称，所以，故选项D正确； 由得，又，所以，所以函数的周期为， 所以，故选项D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12. 在的展开式中，的系数为______，各项系数之和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，进而可确定展开式中的系数； 令，代入二项式中即可求展开式各项系数之和. 【详解】二项式的展开式的通项为： 令，得，所以的系数为． 令，则二项式展开式各项系数之和为. 故答案为：①；②. 13. 在正六棱锥中，，，则此正六棱锥的侧面积为___________；该正六棱锥的外接球的表面积为___________. 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】第一空：取中点，连接，由勾股定理求得，再计算面积即可；第二空：求出棱锥的高，找出外接球球心，由勾股定理建立方程，解出外接球半径，由表面积公式求解即可. 【详解】 第一空：如图，易得侧面的六个三角形均为全等的等腰三角形，取中点，连接，则，， 则，则侧面积为； 第二空：连接，取中点，易得为正六边形的中心，连接，则平面，易得， 则，易得外接球球心在上，连接，设外接球半径为，则，则， 解得，则表面积为. 故答案为：；. 14. 某工厂由甲、乙两条生产线来生产口罩，产品经过质检后分为合格品和次品，已知甲生产线的次品率为，乙生产线的次品率为，且甲生产线的产量是乙生产线产量的2倍．现在从该工厂生产的口罩中任取一件，则取到合格品的概率为_____． 【答案】0.95## 【解析】 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】由题意取到合格品的概率为. 故答案为：0.95. 四、解答题 15. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的值域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由图象可得，，则可得，再将点代入解析式中可求出的值，从而可求得函数的解析式； （2）先利用三角函数图象变换规律求出，再由，得，然后再利用正弦函数的性质可求得值域 【详解】解：（1）由最大值可确定，因为，所以， 此时，代入最高点，可得：， 从而，结合，于是当时，， 所以. （2）由题意，， 当时，，则有，即， 所以在区间上的值域为. 16. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，点在上，长轴长与短轴长之比为． （1）求椭圆的方程． （2）设为的下顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在线段上．若点在线段上，，证明：． 【答案】（1） （2） 由（1）可知． 设，直线的方程为． 由，得， 则，所以． 由，得， 所以，则， 所以点在线段的垂直平分线上，即．易知． 设，则， 则．① 又点在直线上，所以， 则， 所以，则． 整理，得．②由①②，得． 所以，则，所以，故． 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，由已知可得，求解即可得椭圆的方程． （2）设，直线的方程为，联立直线与椭圆方程可得，由根与系数的关系可得，由已知可得点在线段的垂直平分线上，易得，设，可得，利用点在直线上，可得，计算可得，可得，可证结论. 【小问1详解】 设椭圆的方程为． 由题意可知，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 【点睛】难点点睛：此类题目的解题思路并不困难，一般是利用联立方程，得根与系数的关系，进行化简，难点是计算量较大，基本都是字母参数的运算，比较复杂，需要有较强的计算能力. 17. 如图，在四棱锥中，，且，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 取中点，连， 由为的中点，则，又， 则，又， 所以四边形为平行四边形， 则，平面，平面， 则平面. （2）存在，1 【解析】 【分析】（1）取中点，连，证明为平行四边形，得线线平行，进而证明线面平行； （2）由长度计算利用勾股定理证明垂直关系，建立空间直角坐标系，假设存在点，设，利用法向量方法得两平面夹角的余弦值建立方程求得，则得的值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取中点，连， 由且，则四边形是平行四边形， 故，又，则， 所以，由，则， 在中，， 由余弦定理得， 则，而，所以， 则，即，又，所以平面， 在平面内作. 以为轴正向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 假设存在点满足题意，设， 则可得， 设平面的法向量， 则，令， 则； 设平面的法向量， 则，令，则； 所以， 解得， 所以假设成立，即存在，且时，使得平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考.现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据（见下表）： 成绩 性别 合格 不合格 合计 男性 45 10 女性 30 合计 105 （1）完成此表； （2）根据此表判断：是否可以认为性别与考试是否合格有关？如果可以，请问有多大把握；如果不可以，试说明理由. 参考公式：①相关性检验的临界值表： 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 ②卡方值计算公式：.其中. 【答案】（1） 成绩 性别 合格 不合格 合计 男性 45 10 55 女性 30 20 50 合计 75 30 105 （2）可以，有97.5%的把握【解析】 【分析】（1）直接根据题意即可完成表格； （2）计算得出，根据独立性检验思想即可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设：性别与考试是否合格无关，. 若成立，， ∵， ∴有97.5%的把握认为性别与考试是否合格有关. 19. 对于给定的数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“优美数列”． （1）若，数列是否为“优美数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由； （2）已知数列满足．若数列是“优美数列”，求数列的通项公式． 【答案】（1）为“优美数列”，理由如下： ， ∴数列是“优美数列”，对应的实常数分别为1，2． ∵，， ∴数列是“优美数列”，对应的实常数分别为2，0． （2） 【解析】 【分析】（1）由可得数列是“优美数列”．由可得是“优美数列”． （2）根据数列是“优美数列”证明是等比数列再写出通项公式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 数列是“优美数列” ， ∴存在实常数、，使得对于任意都成立， 则对于任意都成立， ∴对于任意都成立， 又 ∵，且， 则有对于任意都成立， 即对于任意都成立， 因此； 此时，，且，所以是等比数列， 又∵，∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $