精品解析：上海市向明中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

向明中学高二期中数学试卷 一．填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，，则___________. 2. 已知全集，，，则_____． 3. 不等式的解集为，则_____． 4. 设函数的导函数为，若，则_____． 5. 已知圆与圆内切，则______. 6. 若双曲线的一条渐近线与直线平行，则_____． 7. 若函数的导函数为，则_____． 8. 双曲线以椭圆的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________． 9. 已知集合，记，，若在上为严格增函数，则实数的取值范围是______. 10. 探照灯，汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程为_____． 11. 已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围为________. 12. 已知满足方程，则的取值范围为_____． 二．单选题（本大题共4题，满分20分） 13. 已知两条直线“”是“直线与直线的夹角为”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在区间内至多有两个零点 15. 双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（ ） A. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 B. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 C. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 D. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 16. 设曲线在点处的切线为l.则以下说法正确的个数是（ ） ①l与曲线可能没有交点 ； ②l与曲线一定只有一个交点；③l与曲线不可能有且仅有两个交点；④l与曲线可能有无穷多个交点 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三．解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知曲线． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的极值． 18. 已知圆，动直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的方程 （2）若直线与圆相交于两点，求中点的轨迹方程. 19. 已知函数 （1）若是函数的驻点，求实数的值； （2）当时，求函数的单调区间. 20. 如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点、，它们距离城市中心的距离均为是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路，如图所示，道路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，其中道路起点到东西方向主干道的距离为，线路段上的任意一点到的距离都相等，以为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求道路的曲线方程； （2）现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置（即确定点的坐标）并写出最短距离． 21. 已知椭圆，依次连接椭圆的四个顶点构成的四边形面积为． （1）若，求椭圆的标准方程； （2）当时，设直线与椭圆交于、两点，设的中点为为坐标原点，直线的斜率分别为、，求证：为定值； （3）在第（2）小题的前提下，设点为椭圆的右焦点，，若与的交点、均不与点重合，直线的斜率分别为，若，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 向明中学高二期中数学试卷 一．填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分） 1. 已知集合，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用交集定义求解即可. 【详解】由题知：. 故答案为： 2. 已知全集，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用分式不等式的解法，求得或，利用补集的定义得，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由得到或，所以或， 又，则，所以， 故答案为：. 3. 不等式的解集为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程根与系数的关系求出即可. 【详解】由不等式的解集为，得是方程的两根， 则，解得，所以. 故答案为： 4. 设函数的导函数为，若，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】由题设， 所以. 故答案为：4. 5. 已知圆与圆内切，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两圆内切的定义表达式即可求得. 【详解】由圆知圆心为半径为由圆知圆心为,半径为 因两圆内切，故，即，解得： 故答案为： 6. 若双曲线的一条渐近线与直线平行，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可得出渐近线的斜率，据此列方程求解即可. 【详解】若双曲线的一条渐近线与直线平行， 故，解得：. 故答案为：3. 7. 若函数的导函数为，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】求导，得到，再代入求出答案. 【详解】因为， 所以 故答案为：. 8. 双曲线以椭圆的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程求得焦点坐标即离心率，继而求得双曲线的焦点坐标和离心率，进一步计算即可求解. 【详解】因为椭圆方程为， 则 所以其焦点坐标为， 离心率为， 则双曲线的焦点为， 离心率为， 即，所以， 则， 所以双曲线的方程为. 9. 已知集合，记，，若在上为严格增函数，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】若在(0,1]上为严格递函数，则，即在上恒成立，令，只需即可. 【详解】由已知得， ∵在(0,1]上为严格增函数， ∴，即在上恒成立． 令，而在(0,1]上为严格增函数， ∴，∴. 当时，， 对也有，当且仅当时等号成立. ∴时，在(0,1]上为严格增函数． 故答案为：． 10. 探照灯，汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据抛物线的光学性质以及焦半径公式，结合抛物线定义计算可得结果. 【详解】设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为，显然直线过焦点， 分别从向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，如下图所示： 由抛物线方程可知准线方程为， 再由抛物线定义可得， 因此光线从点到点经过的总路程为. 故答案为：20 11. 已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】对分类讨论：，和，分别求出对应情况下的实根情况列不等式，即可求解. 【详解】函数的导函数为. 当时，令，解得：，所以函数有两个零点，不符合题意. 当时，要使函数只有一个零点，只需的极大值小于0或的极小值大于0. 令，解得：或. 列表： 0 + 0 - 0 + 单增 极大值 单减 极小值 单增 所以极大值不符合题意. 所以极小值，解得：； 当时，要使函数只有一个零点，只需极大值小于0或的极小值大于0. . 令，解得：或. 列表： 0 - 0 + 0 - 单减 极小值 单增 极大值 单减 所以极大值不符合题意. 所以极小值，解得：. 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 12. 已知满足方程，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】对给定方程进行分类讨论，画出对应图形，再结合双曲线渐近线方程以及直线和椭圆相切，利用点到直线距离公式得出的几何意义，代入计算可得结果. 【详解】根据题意可知当，原方程可化为， 此时表示的是椭圆在第一象限的部分，包含与坐标轴的交点； 当时，原方程可化为， 此时表示的是双曲线在第四象限的部分； 当时，原方程可化为， 此时表示的是双曲线在第二象限的部分， 当时，方程为不表示任何图形， 画出图形如下图所示： 易知点到直线的距离为， 因此表示曲线上的点到直线的距离的5倍， 设直线与椭圆在第一象限相切，切点为时，取得最小值； 联立，整理可得， 显然，解得或（舍）； 由此可知与曲线没有交点， 此时与之间的距离为； 此时取得最小值为； 又双曲线和的一条渐近线方程为， 因此当或时，点到直线的距离无限接近于两条平行线到的距离， 易知两平行线间的距离为，所以可得； 所以的取值范围为. 故答案为： 二．单选题（本大题共4题，满分20分） 13. 已知两条直线“”是“直线与直线的夹角为”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线夹角公式可以求出当两条直线夹角为时的值,然后根据充分性、必要性的定义,选出正确答案. 【详解】两条直线的斜率分别是.当两条直线的夹角为时,则有：或.因此“”是“直线与直线的夹角为”的充分不必要条件. 故选B 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断,掌握两直线夹角的计算公式是解题的关键. 14. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在区间内至多有两个零点 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解. 【详解】根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，A错误；在，故在区间上单调递减，故B错误，在的左右两侧，故不是极值点，故C错误，在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，D正确； 故选：D 15. 双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（ ） A. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 B. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 C. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 D. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 【答案】A 【解析】 【分析】根据离心率公式及渐近线方程，得到两曲线渐近线斜率的关系，即可判断. 【详解】因为，， 又双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为， 因为，所以，即，即， 所以的渐近线斜率的绝对值较大，又离心率越大，双曲线开口越开阔. 故选：A. 16. 设曲线在点处的切线为l.则以下说法正确的个数是（ ） ①l与曲线可能没有交点 ； ②l与曲线一定只有一个交点；③l与曲线不可能有且仅有两个交点；④l与曲线可能有无穷多个交点 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的定义，结合直线与曲线的位置关系，即可判断. 【详解】①因为直线为曲线在点处的切线，所以至少有交点，故①错误； ②有可能切线与曲线有其他的交点，故②错误； ③切线与曲线有可能除切点外，还有1个交点，即仅有两个交点，故③错误； ④切线与曲线有可能有无穷多个交点，比如与，故④正确. 故选：B 三．解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知曲线． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的极值． 【答案】（1） （2）极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，再由点斜式方程即可得出答案； （2）利用导数考查函数的单调性，求出极值点，进一步计算即可. 【小问1详解】 由题意可知：，则 因为曲线在处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在处的切线方程：， 化简可得：. 【小问2详解】 因为， 当时，；当时，； 可知函数的单调递增区间为和； 函数的单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. 18. 已知圆，动直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的方程 （2）若直线与圆相交于两点，求中点的轨迹方程. 【答案】（1）或 （2）且 【解析】 【分析】（1）讨论直线l斜率不存在易得直线l为，再根据两条切线关于CP对称，结合倾斜角的关系､二倍角正切公式求得另一条切线的斜率为，即可写出切线方程. （2）设，根据，应用两点距离公式化简得到M的轨迹方程，注意x､y的范围. 【小问1详解】 当直线l斜率不存在时，显然直线l与圆C相切且切点为， 所以，对于另一条切线，若切点为D，则，又 所以，由图知，直线DP的倾斜角的补角与互余， 所以直线DP的斜率为，故另一条切线方程为，即， 综上，直线l的方程为或. 【小问2详解】 由（1）知直线与圆相交于､两点，则斜率必存在， 设，则， 所以，整理得， 当直线与圆相切于点时，直线的斜率为，其方程为： ，由，得，即切点， 对于的轨迹方程，当时，， 所以，且， 综上，的轨迹方程为且， 19. 已知函数 （1）若是函数的驻点，求实数的值； （2）当时，求函数的单调区间. 【答案】（1）1 （2） 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时的单调递增为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可得解. （2）求出函数的定义域与导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【小问1详解】 因为， 则，依题意，即，解得； 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， 当时， 由，解得或，所以在，上单调递增， 由，解得，所以在上单调递减； 当时恒成立（且仅在处等于），所以在上单调递增； 当时， 由，解得或，所以在，上单调递增， 由，解得，所以在上单调递减； 综上可得， 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时的单调递增为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 20. 如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点、，它们距离城市中心的距离均为是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路，如图所示，道路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，其中道路起点到东西方向主干道的距离为，线路段上的任意一点到的距离都相等，以为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求道路的曲线方程； （2）现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置（即确定点的坐标）并写出最短距离． 【答案】（1）段：；NP段： （2），距离最小为 【解析】 【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义可得线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上，求得其标准方程，再结合圆的定义，得到线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆，求得此圆的方程，即可得到答案； （2）根据题意，分点在线路与线路上两种情况讨论，分别求得的最小值，比较大小，得出最小值，以及点的坐标. 【小问1详解】 根据题意，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多， 则线路所在的曲线在定点为左右焦点的双曲线的右支上，且， 所以，且道路起点到东西方向主干道的距离为， 则线路所在的曲线方程为，即， 又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆， 其方程为， 故道路曲线方程为段：，段：. 【小问2详解】 设，又，则， 当点在线路上，由（1）知，则， 可得当时，有最小值，且， 当点在线路上，由（1）知，则， 又，则当时，有最小值，且， 因为，所以有最小值为，此时，则， 则点的坐标为，此时到的距离最小，最小距离为. 21. 已知椭圆，依次连接椭圆的四个顶点构成的四边形面积为． （1）若，求椭圆的标准方程； （2）当时，设直线与椭圆交于、两点，设的中点为为坐标原点，直线的斜率分别为、，求证：为定值； （3）在第（2）小题的前提下，设点为椭圆的右焦点，，若与的交点、均不与点重合，直线的斜率分别为，若，求的周长． 【答案】（1）； （2） 设直线的方程为，，，的中点为， 将椭圆方程与直线方程联立可得， ，即， ，， ； （3）8 【解析】 【分析】（1）直接利用四边形面积可知，由即可求出值，即可求得椭圆方程； （2）设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理计算斜率计算求出定值； （3）设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理及可求出直线方程，得出直线恒过定点，即可求出三角形的周长. 【小问1详解】 由已知得椭圆四个顶点构成的四边形面积为， 即， ∵，∴， ∴椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线的方程为，，， 则，，故， 则 ， 当时椭圆的方程为， 将椭圆方程与直线方程联立可得， ，即， ，， 即 ， 故或，此时均满足， 若，则直线的方程为，此时直线恒过， 若，则直线的方程为，此时直线恒过，与题意矛盾， 点为椭圆的左焦点， 故的周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $